第5讲 不等式及其应用1.不等式log2≤3的解集为____________．答案：{x|－3－2<x<－3＋2，或x＝1}解析：log2≤30<x＋＋6≤8.当x>0时，0<x2＋1＋6x≤8x(x－1)2≤0x＝1；当x<0时，8x≤x2＋1＋6x<0－3－2<x<－3＋2.综上所述，不等式log2≤3的解集为{x|－3－2<x<－3＋2，或x＝1}．2.已知关于x的不等式ax＋b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是________．答案：(－1，2)解析：由已知得a＜0，b＝－a，＞0即为＞0，得＜0，解得－1＜x＜2.3.设x、y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，求＋的最小值为____________．答案：解析：由图形可知，目标函数在(4，6)处取得最大值12，∴2a＋3b＝6，从而有＋＝(＋)(2a＋3b)＝＝＋＝＋≥＋2＝.4.若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．答案：9解析：由题意，x＝1是f′(x)＝12x2－2ax－2b的一个零点，所以12－2a－2b＝0，即a＋b＝6(a＞0，b＞0)，因此ab≤＝＝9，-4-\n当且仅当a＝b＝3时等号成立．5.若x>0，y>0且＋＝1，则x＋y的最小值是________．答案：9解析：∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取等号．6.当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案：m≤－5解析：由x2＋mx＋4＜0，x∈(1，2)可得m＜－，而函数y＝－在(1，2)上单调增，∴m≤－5.7.已知变量x、y满足约束条件则的取值范围是________．答案：解析：变量x、y满足约束条件构成的区域是以(1，3)，(1，6)，三点为顶点的三角形区域(含边界)，表示区域内的点与原点连线的斜率，∴∈.8.对于x∈，不等式＋≥9恒成立，则正实数p的取值范围为__________．答案：p≥4解析：＋＝(sin2x＋cos2x)＝1＋p＋＋≥1＋p＋2＝(＋1)2，所以由不等式＋≥9，得(＋1)2≥9，∴p≥4.9.在如图所示的等腰锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为____________(m)．答案：20解析：设矩形另一边长为y，则x＋y＝40，由40＝x＋y≥2，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20时取等号．10.定义运算ab＝，则关于非零实数x的不等式4≥8的解集为___________．答案：(－∞，0)∪∪[2，＋∞)解析：4＝x＝当x≤－1时，-4-\n不等式为x＋≥8x，所以x≤－1；当－1<x<0时，不等式为x＋≥，所以－1＜x＜0；当0<x≤1时，不等式为4≥8x，所以0<x≤；当x>1时，不等式为4≥，所以x≥2.综上，不等式解集为(－∞，0)∪∪[2，＋∞)．11.某隧道长2150m，通过隧道的车速不能超过20m/s.一个由55辆车身长都为10m的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持m的距离，其中a为常数且≤a≤1，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(s).(1)将y表示为x的函数；(2)求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．解：(1)y＝＝＋9ax＋18(0＜x≤20，≤a≤1)．(2)当≤a≤1时，y≥2＋18＝180＋18.当且仅当＝9ax，即x＝时取等号．即当x＝时，ymin＝180＋18；当≤a＜时，y′＝－＋9a＜0，故y＝f(x)在(0，20]上是减函数，故当x＝20时，ymin＝＋180a＋18＝153＋180a.故当≤a＜时，车队速度为20m/s时，通过隧道所用时间最少；当≤a≤1时，车队速度为m/s时，通过隧道所用时间最少．12.已知函数f(x)＝为奇函数，f(1)＜f(3)，且不等式0≤f(x)≤的解集是{x|－2≤x≤－1或2≤x≤4}．(1)求a、b、c的值；(2)是否存在实数m使不等式f(－2＋sinθ)＜－m2＋对一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的一切x都成立，即b＝0.从而f(x)＝.∵即∴f(2)＝0，解之，得c＝－4.再由f(1)＜f(3)，得或从而a＞0.此时f(x)＝在[2，4]上是增函数．注意到f(2)＝0，则必有f(4)＝，-4-\n∴＝，即a＝2.综上可知，a＝2，b＝0，c＝－4.(2)由(1)，得f(x)＝，该函数在(－∞，0)以及(0，＋∞)上均为增函数．∵－3≤－2＋sinθ≤－1，∴f(－2＋sinθ)的值域为.符合题设的实数m应满足－m2＞，即m2＜0，故符合题设的实数m不存在．13.因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm(即EF＝50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜．根据经验，一般顾客AB的眼睛B到地面的距离x(cm)在区间[140，180]内．设支架FG高为h(0＜h＜90)cm，AG＝100cm，顾客可视的镜像范围为CD(如图所示)，记CD的长度为y(y＝GD－GC)．(1)当h＝40cm时，试求y关于x的函数关系式和y的最大值；(2)当顾客的鞋A在镜中的像A1满足不等关系GC＜GA1≤GD(不计鞋长)时，称顾客可在镜中看到自己的鞋．若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h的取值范围．解：(1)因为FG＝40，AG＝100，所以由＝，即＝，解得GC＝.同理，由＝，解得GD＝，所以y＝GD－GC＝1000×＝5000×，x∈[140，180]．因为y′＝5000×＜0，所以y在[140，180]上单调递减，故当x＝140cm时，y取得最大值为140cm.(2)由＝，得GC＝；由＝，得GD＝，所以由题意知GC＜A1G＝AG≤GD，即＜100≤对x∈[140，180]恒成立．从而解得故h的取值范围是[40，70)．-4-
