第9讲 平面向量及其应用1.已知向量a＝(3，4)，b满足a·b＝0且|b|＝1，则b＝________．答案：或2.设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝____________．答案：解析：a＋c＝(1，2m)＋(2，m)＝(3，3m)．∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝(3，3m)·(m＋1，1)＝6m＋3＝0，∴m＝－.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝.3.已知向量a、b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________.答案：解析：∵(a＋2b)·(a－b)＝－6，∴|a|2－2|b|2＋a·b＝－6，∴a·b＝1，∴cos〈a，b〉＝＝.4.在△ABC中，O为△ABC的重心，AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，则·＝________．答案：4解析：设BC边中点为D，则＝，＝(＋)，∴·＝(＋)·＝(3×2×cos60°＋32)＝4.5.若平面向量a、b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________．答案：(－3，1)或(－1，1)解析：设a＝(x，y)，∴a＋b＝(x＋2，y－1)，∴∴或6.在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长为________．答案：2解析：由·＝2，·＝2，得·(－)＝2， 2＝4，∴AB＝2.7.已知a、b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是____________．答案：[－1，＋1]解析：∵a·b＝0，且a、b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋1.∵|a|＝|b|＝1且a·b＝0，∴|a＋b|＝，∴c2＋1＝2|c|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．又－1≤cosθ≤1，∴0<c2＋1≤2|c|，∴c2－2|c|＋1≤0，∴－1≤|c|≤＋1.8.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x、y∈R，则x＋y的最大值是________．-8-\n答案：2解析：取O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A(1，0)，B，设∠COA＝θ，则θ∈，C(cosθ，sinθ)，∴(cosθ，sinθ)＝x(1，0)＋y，则x＋y＝sinθ＋cosθ＝2sin，∴当θ＝时取最大值2.9.如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(＋)·(＋)＝____________．答案：5解析：由于＝＋，＝＋，所以＋＝＋＋＋＝－.(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝||2－||2＝9－4＝5.10.在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，函数y＝ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y＝ex图象上的任意一点，则·的最小值为____________．答案：1解析：P(x，ex)，·＝ex－x，对函数y＝ex－x求导得函数在(－∞，0)上单调减，在(0，＋∞)上单调增，x＝0时取最小值1.11.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求tanB＋tanC的值；(2)已知a2－c2＝8b，且sinAcosC＋3cosAsinC＝0，求b.解：(1)由题意：x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，∵z∥(x＋y)，∴cosB(sinC＋cosC)＝－cosC(sinB＋cosB)，∴cosBsinC＋cosCsinB＝－2cosBcosC，∴＝－2，即tanB＋tanC＝－2.(2)∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＝－2cosAsinC.∴sin(A＋C)＝－2cosAsinC，即sinB＝－2cosAsinC.∴b＝－2c·，∴－b2＝b2＋c2－a2，即a2－c2＝2b2.又a2－c2＝8b，∴2b2＝8b，∴b＝0(舍去)或4，故b＝4.12.如图，在四边形ABCD中，AD＝8，CD＝6，AB＝13，∠ADC＝90°，且·＝50.(1)求sin∠BAD的值；-8-\n(2)设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求的值．解：(1)在Rt△ADC中，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，则AC＝10，cos∠CAD＝，sin∠CAD＝.∵·＝50，AB＝13，∴cos∠BAC＝＝.∵0＜∠BAC＜π，∴sin∠BAC＝.∴sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝.(2)S△BAD＝AB·AD·sin∠BAD＝，S△BAC＝AB·AC·sin∠BAC＝60，S△ACD＝24，则S△BCD＝S△ABC＋S△ACD－S△BAD＝，∴＝.13.已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx，2cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝，所以f(x)的最小正周期是.(2)由(1)知f(x)＝2sin＋λ.由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－，故f(x)＝2sin－.-8-\n由0≤x≤有－≤x－≤，所以－≤sin≤1，得－1－≤2sin－≤2－，故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．-8-\n滚动练习(二)1.已知集合A＝{x|x2＋3x－4＜0}，B＝，则A∩B＝________．答案：(0，1)2.如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是__________．答案：解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a＜0，且－≥4，解得0＞a≥－.综上，得－≤a≤0.3.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为__________．答案：π解析：∵tanα＝＝＝－，且sin＞0，cos＜0，∴α在第四象限，由tanα＝－，得α的最小正值为π.4.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则f＝________．答案：5.函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．答案：2解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，则函数的增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)，减区间是(0，2)，所以函数在x＝2处取极小值．6.已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________．答案：1解析：a－2b＝(，3)与c共线，则·＝3k，∴k＝1.7.定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为________．答案：6解析：A*B＝{0，2，4}．8.“m＝－2”是函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充要解析：f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称－＝1m＝－2.9.已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是________．答案：(－∞，2ln2－2]解析：f′(x)＝ex－2.当x∈(－∞，ln2)时，f′(x)＜0；当x∈(ln2，＋∞)时，f′-8-\n(x)＞0；x＝ln2时，f(x)取极小值即为最小值2－2ln2＋a≤0，a≤2ln2－2.本题也可转化为a＝－ex＋2x，求函数g(x)＝－ex＋2x的值域即可判断．10.已知函数f(x)＝x2－cosx，对于上的任意x1、x2，有如下条件：①x1>x2；②x>x；③|x1|>x2；④x1>|x2|.其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件是________．(填序号)答案：②④解析：函数为偶函数，在上单调增，画图即可．11.在平面内，已知||＝1，||＝，·＝0，∠AOC＝30°，设＝m＋n(m、n∈R)，则＝____________．答案：±3解析：因为∠AOC＝30°，所以〈，〉＝30°.因为＝m＋n，·＝0，所以||2＝(m＋n)2＝m2||2＋n2||2＝m2＋3n2，即||＝.又·＝·(m＋n)＝m 2＝m，则·＝||·||cos30°＝m，即1××＝m，平方得m2＝9n2，即＝9，所以＝±3.12.设x、y是正实数，且x＋y＝1，则＋的最小值是____________．答案：解析：设x＋2＝s，y＋1＝t，则s＋t＝4，所以＋＝＋＝＋＝(s＋t)＋－6＝－2.因为＋＝(s＋t)＝≥，所以＋≥.13.已知奇函数f(x)＝(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．点拨：本题考查函数的概念和性质，在讨论分段函数的性质时要整体考虑．对二次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题．解：(1)函数f(x)为奇函数，f(－x)＋f(x)＝0对x∈R恒成立，m＝2.(2)由f(x)＝知f(x)在[－1，1]上单调递增，∴解得1＜a≤3，即实数a的取值范围是(1，3]．14.已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；-8-\n(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最小值．点拨：本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力．解：(1)f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx＝sinωxcosωx＋＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin(2ωx＋)＋，由ω＞0，得＝π，∴ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝sin＋，∴g(x)＝f(2x)＝sin＋，当0≤x≤时，≤4x＋≤，∴≤sin≤1.∴1≤g(x)≤.故x＝0时，g(x)在此区间内取最小值为1.15.已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA，1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时，B的大小．解：(1)∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，∴sin2A＝，sinA＝.∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.(2)y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°＝1－cos2B＋sin2B＝1＋sin(2B－30°)，当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.16.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)求a＝－时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．解：(1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1.f′(x)＝3x2－6x＋3.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；-8-\n当x∈(－1，＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．(2)由f(2)≥0得，a≥－.当a≥－，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3(x2－x＋1)＝3(x－2)>0，所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.综上，a的取值范围是.-8-
