第23讲 高考题中的应用题解法1.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为__________．答案：0.032解析：这组数据的平均数为10，s2＝[(9.7－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(10.1－10)2]＝0.032.2.一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为________m时，帐篷的体积最大．答案：23.一栋n(n≥3，n∈N*)层大楼，各层均可召集n个人开会，现每层指定一人到第k层开会，为使n位开会人员上下楼梯所走路程总和最短，则k＝________．答案：k＝4.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30km后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是________km.答案：105.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值为______________．答案：20解析：3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，x%≥20%，x≥20，则x的最小值为20.6.根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满足关系式p＝(日产品废品率＝×100%)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．(该车间的日利润y＝日正品赢利额－日废品亏损额)(1)将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；(2)当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？解：(1)由题意可知，y＝2x(1－p)－px＝-4-\n(2)考虑函数f(x)＝当1≤x≤9时，f′(x)＝2－，令f′(x)＝0，得x＝15－3.当1≤x＜15－3时，f′(x)＞0，函数f(x)在[1，15－3)上单调递增；当15－3＜x≤9时，f′(x)<0，函数f(x)在(15－3，9]上单调递减．所以当x＝15－3时，f(x)取得极大值，也是最大值，又x是整数，f(8)＝，f(9)＝9，所以当x＝8时，f(x)有最大值.当10≤x≤20时，f′(x)＝－＝≤0，所以函数f(x)在[10，20]上单调递减，所以当x＝10时，f(x)取得极大值，也是最大值．由于>，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．7.图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB＝2x，BC＝y.(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；(2)求当x取何值时，凹槽的强度T最大．解：(1)易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为πx.所以，4＝2x＋2y＋πx，得y＝.依题意，知：0<x<y，得0<x<.所以，y＝.(2)依题意，T＝AB·S＝2x＝8x2－(4＋3π)x3.令T′＝16x－3(4＋3π)x2＝0，得x＝∈，另一解舍去．xT′(x)＋0－T(x)极大值所以当x＝，凹槽的强度最大．8.某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具，-4-\n现准备定制长与宽分别为a、b(a>b)的硬纸板截成三个符合要求的△AED、△BAE、△EBC.(如图所示)(1)当θ＝时，求定制的硬纸板的长与宽的比值；(2)现有三种规格的硬纸板可供选择，A规格长80cm、宽30cm，B规格长60cm、宽40cm，C规格长72cm、宽32cm，问可以选择哪种规格的硬纸板使用．解：(1)由题意∠AED＝∠CBE＝θ.∵b＝BE·cos30°＝AB·sin30°·cos30°＝a，∴＝.(2)∵b＝BE·cosθ＝AB·sinθ·cosθ＝AB·sin2θ，∴＝sin2θ.∵≤θ≤，∴≤2θ≤，∴∈.A规格：＝<，不符合条件.B规格：＝>,不符合条件.C规格：＝∈，符合条件.∴选择买进C规格的硬纸板.9.一化工厂因排污趋向严重，2022年1月决定着手整治．经调研，该厂第一个月的污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：月数1234…污染度6031130…污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)、g(x)、h(x)分别表示污染度．(1)问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过60，若以比较合理的模拟函数预测，该厂最晚在何时开始进行再次整治？(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解：(1)因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5，则h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4上是增函数，又h(16)＝60.这说明第一次整治后有16个月的污染度不超过60，故应在2022年5月起开始再次整治．10.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB＝20km，BC＝10km，为了处理这三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm.(1)按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO＝θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；-4-\n②设OP＝x(km)，将y表示成x的函数关系式；(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．解：本小题主要考查函数最值的应用．(1)①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO＝θ(rad)，则OA＝＝，故OB＝.又OP＝10－10tanθ，所以y＝OA＋OB＋OP＝＋＋10－10tanθ，即所求函数关系式为y＝＋10.②若OP＝x(km)，则OQ＝10－x，所以OA＝OB＝＝，故所求函数关系式为y＝x＋2(0<x<10)．(2)选择函数模型①，y′＝＝.令y′＝0得sinθ＝，因为0<θ<，所以θ＝.当θ∈时，y′<0，y是θ的减函数；当θ∈时，y′>0，y是θ的增函数，所以当θ＝时，ymin＝10＋10.这时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处。-4-
