第28讲 不等式选讲1.已知实数x、y、z满足x＋y＋z＝2，求2x2＋3y2＋z2的最小值．解：由柯西不等式得(x＋y＋z)2≤[(x)2＋(y)2＋z2]·，故2x2＋3y2＋z2≥，当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时，2x2＋3y2＋z2取得最小值为.2.解不等式：|2x＋1|－|x－4|＜2(x∈R)．解：当x≥4时，2x＋1－(x－4)＜2，∴x∈；当－≤x＜4时，2x＋1＋x－4＜2，∴－≤x<；当x＜－时，－2x－1＋x－4＜2，∴－7＜x＜－.综上，该不等式解集为.3.设a1、a2、a3均为正数，且a1＋a2＋a3＝m，求证：＋＋≥.证明：∵m＝(a1＋a2＋a3)(＋＋)≥3··3＝9，当且仅当a1＝a2＝a3＝时等号成立．又a1＋a2＋a3＝m＞0，∴＋＋≥.4.已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.证明：因为[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2](12＋22＋32)≥[(x－1)＋2(y＋2)＋3(z－3)]2＝(x＋2y＋3z－6)2＝142，当且仅当＝＝，即x＝z＝0，y＝－4时，取等号，所以(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.5.设a、b、c均为正数，abc＝1.求证：＋＋≥＋＋.证明：由a、b、c为正数，根据平均值不等式，得＋≥，＋≥，＋≥.将此三式相加，得2≥＋＋，即＋＋≥＋＋.由abc＝1，则有＝1.所以＋＋≥＋＋＝＋＋.6.若正数a、b满足a＋b＝1，求＋的最小值．解：(解法1)因为a＋b＝1，所以(3a＋2)＋(3b＋2)＝7.-2-\n所以＋＝[(3a＋2)＋(3b＋2)]≥＝.当且仅当3a＋2＝，即a＝，b＝时取等号．所以＋的最小值为.(解法2)因为a＋b＝1，所以(3a＋2)＋(3b＋2)＝7.所以＋＝[(3a＋2)＋(3b＋2)]＝≥＝.当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．所以＋的最小值为.-2-
