第6讲 导数及其应用1.设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则y＝f(x)的表达式是________________．答案：f(x)＝x2＋2x＋12.函数f(x)＝2x2－lnx的单调递增区间为____________．答案：解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－，令f′(x)＞0，得x＞.3.曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．答案：y＝4x－3解析：y′＝3lnx＋1＋3，k＝y′|x＝1＝4，则切线方程y－1＝4·(x－1)，∴y＝4x－3.4.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为____________.答案：(－2，15)解析：由C：y＝x3－10x＋3，得y′＝3x2－10＝2，即x2＝4，又切点在第二象限，∴x＝－2，y＝15.5.设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，在P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是________.答案：∪解析：y′＝3x2－≥－，∴tanα≥－，由0≤α＜π且α≠，结合正切函数图象可得α的取值范围为∪.6.已知函数f(x)＝lnx＋2x2＋ax＋1是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．答案：a≥－4解析：x∈(0，＋∞)，f′(x)＝＋4x＋a≥0恒成立，由基本不等式＋4x＋a≥4＋a，当且仅当x＝时取等号，∴a＋4≥0，∴a≥－4.7.设函数f(x)＝－x3＋3x＋2，若不等式f(3＋2sinθ)<m对任意θ恒成立，则实数m的取值范围为__________．答案：(4，＋∞)解析：由三角函数有界性，3＋2sinθ∈[1，5]，从而只需m>f(x)max，x∈[1，5]，f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，x＝±1，当x∈[1，5]时，f′(x)≤0恒成立，即f(x)在[1，5]上为减函数，f(x)max＝f(1)＝4，故所求实数m的取值范围为(4，＋∞)．8.若方程x3－3x＋a＝0有3个不同的实根，则实数a的取值范围是______________．答案：(－2，2)解析：设f(x)＝x3－3x＋a，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)在x＝－1取极大值，在x＝1时取极小值，－2＜a＜2.9.若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为____________．答案：9解析：f′(x)＝12x2－2ax－2b，f′(1)＝0，a＋b＝6，因为a＞0，b＞0，所以6＝a＋b≥2，ab≤9，当且仅当a＝b时取等号．10.已知a、b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0，1]上的最大值为4，-7-\n则f(x)在[－1，0]上的最小值为____________．答案：－解析：由a、b为正实数，可得函数y＝ax3＋bx的导函数y′＝3ax2＋b≥0恒成立，所以y＝ax3＋bx是R上的增函数，从而f(x)＝ax3＋bx＋2x是R上的增函数．所以当x∈[0，1]时，f(x)max＝f(1)＝a＋b＋2＝4，即a＋b＝2.当x∈[－1，0]时，f(x)min＝f(－1)＝－a－b＋＝－2＋＝－.11.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a、b、c、d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4，而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，∴a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)，设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)，由题设可得F(0)≥0，即k≥1，令F′(x)＝0得，x1＝－lnk，x2＝－2，①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，∴当x∈(－2，x1)时，F(x)＜0，当x∈(x1，＋∞)时，F(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在x＝x1取最小值F(x1)，而F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)，∴当x≥－2时，F′(x)≥0，∴F(x)在(－2，＋∞)上单调递增，而F(－2)＝0，∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述，k的取值范围为[1，e2]．12.已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a<－1.如果对任意x1、x2∈(0，＋∞)都有|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋2ax＝.当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调增；当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调减；当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，则当x∈时，f′(x)＞0；x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0.故f(x)在上单调增，在上单调减．(2)不妨假设x1≥x2，而a＜－1，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上单调减，从而|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1，①令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4，-7-\n①等价于g(x)在(0，＋∞)上单调减，即＋2ax＋4≤0，从而a≤＝＝－2，故a的取值范围为(－∞，－2].13.已知函数f(x)＝(m－3)x3＋9x.(1)若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调函数，求m的取值范围；(2)若函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值．解：(1)因为f′(0)＝9＞0，所以f(x)在区间(－∞，＋∞)上只能是单调增函数．由f′(x)＝3(m－3)x2＋9≥0在区间(－∞，＋∞)上恒成立，所以m≥3.故m的取值范围是[3，＋∞)．(2)当m≥3时，f(x)在[1，2]上是增函数，所以f(x)max＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，解得m＝＜3，不合题意，舍去．当m＜3时，f′(x)＝3(m－3)x2＋9＝0，得x＝±.所以f(x)的单调区间为单调减，单调增，单调减．①当≥2，即≤m＜3时，[1，2]，所以f(x)在区间[1，2]上单调增，f(x)max＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，m＝，不满足题设要求．②当1＜＜2，即0＜m＜时，f(x)max＝f＝0≠4舍去．③当≤1，即m≤0时，则[1，2]，所以f(x)在区间[1，2]上单调减，f(x)max＝f(1)＝m＋6＝4，m＝－2.综上所述，m＝－2.-7-\n滚动练习(一)1.幂函数f(x)的图象过点，那么f(8)＝________．答案：解析：f(x)＝xα，f(4)＝，α＝－，f(x)＝x－，f(8)＝.2.命题“x∈R，使得xsinx－1<0”的否定是________________________．答案：x∈R，使得xsinx－1≥03.已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是________．答案：(－∞，0]解析：x＜－1时，不等式可化为x＋(x＋1)(－x－1＋1)≤1，－x2≤1，∴x＜－1；x≥－1时，不等式可化为x＋x＋1≤1，x≤0，∴－1≤x≤0.综上x≤0.4.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．答案：[2，＋∞)解析：由f(1)＝得a2＝，∴a＝，即f(x)＝.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，∴f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．5.若函数f(x)＝在(－∞，2]上有意义，则实数k的取值范围是________．答案：(－∞，1]解析：函数f(x)＝在(－∞，2]上有意义，即4－k·2x≥0在(－∞，2]上恒成立，即k·2x≤4在(－∞，2]上恒成立，∵2x＞0，∴k≤在(－∞，2]上恒成立．∵在(－∞，2]上0＜2x≤4，∴k≤1.6.方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．答案：2解析：在同一个直角坐标系中作出函数y＝和y＝3－x2的图象，两个函数图象有两个交点．7.对于满足0≤a≤4的实数a，使x2＋ax>4x＋a－3恒成立的x取值范围是________．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：x2＋ax＞4x＋a－3可化为(x－1)a＋x2－4x＋3＞0对a∈[0，4]恒成立，设f(a)＝(x－1)a＋x2－4x＋3，∴解得x＜－1或x＞3.8.若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9(a≠0)都相切，则实数a＝________．答案：－1或－解析：设过(1，0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.又(1，0)在切线上，则x0＝0或x0＝.当x0＝0时，-7-\n由直线y＝0与抛物线y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；当x0＝时，由直线y＝x－与曲线y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.9.已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________．答案：2008解析：令3x＝t，则x＝log3t，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4log23(log321＋2＋…＋8)＋233×8＝2008.10.设a为实常数，y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝9x＋＋7.若f(x)≥a＋1对一切x≥0成立，则a的取值范围为____________．答案：(－∞，－]解析：f(0)＝0，故0≥a＋1a≤－1；当x＞0时，f(x)＝9x＋－7≥a＋1，即6|a|≥a＋8.又a≤－1，故a≤－.11.分别在曲线y＝ex与直线y＝ex－1上各取一点M与N，则MN的最小值为____________．答案：解析：在曲线y＝ex图象上任取一点M(a，b)，过点M的切线的斜率为k＝ea，令ea＝e，a＝1，M(1，e)，过点M的切线方程为y＝ex，则MN的最小值为直线y＝ex与y＝ex－1的距离为.12.对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是____________．答案：(，0)解析：f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝即f(x)＝如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则0＜m＜.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，即x1＜x2＜x3.当x＞0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1，∴0＜x2x3＜，即0＜x2x3＜；当x＜0时，由得x＝，∴＜x1＜0，∴0＜－x1＜.-7-\n∴0＜－x1x2x3＜，∴＜x1x2x3＜0.13.已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2－mx＋4≥0恒成立，若綈p是綈q的必要条件，求实数m的取值范围．解：p：1＜2x＜8，即0＜x＜3，∵綈p是綈q的必要条件，∴p是q的充分条件，∴不等式x2－mx＋4≥0对x∈(0，3)恒成立，∴m≤＝x＋对x∈(0，3)恒成立．∵x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，等号成立，∴m≤4.14.设二次函数f(x)＝x2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的两实根x1和x2满足0<x1<x2<1.(1)求实数a的取值范围；(2)试比较f(0)·f(1)－f(0)与的大小，并说明理由．解：(1)令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a，则由题意可得0＜a＜3－2.故所求实数a的取值范围是(0，3－2)．(2)f(0)·f(1)－f(0)＝2a2，令h(a)＝2a2.∵当a＞0时，h(a)单调递增，∴当0＜a＜3－2时，0＜h(a)＜h(3－2)＝2(3－2)2＝2(17－12)＝＜，即f(0)·f(1)－f(0)＜.15.已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，OC＝r，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．解：如图甲，设∠DBC＝α，则BD＝cosα，DC＝sinα，所以S△BDC＝r2sin2α≤r2，当且仅当α＝时取等号，此时点D到BC的距离为r，可以保证点D在半圆形材料ABC内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为r2.如图乙，设∠EOD＝θ，则OE＝rcosθ，DE＝rsinθ，-7-\n所以S△BDE＝r2(1＋cosθ)sinθ，θ∈.设f(θ)＝r2(1＋cosθ)sinθ，则f′(θ)＝r2(1＋cosθ)(2cosθ－1)，当θ∈时，f′(θ)≤0，所以θ＝时，即点E与点C重合时，△BDE的面积最大值为r2.因为r2＞r2，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为r2.16.已知函数f(x)＝(1)求f(x)的值域；(2)设函数g(x)＝ax－2，x∈[－2，2]，若对于任意x1∈[－2，2]，总存在x0∈[－2，2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求实数a的取值范围．解：(1)当x∈[－2，－1)时，f(x)＝x＋在[－2，－1)上是增函数(用导数判断)，此时f(x)∈；当x∈时，f(x)＝－2；当x∈时，f(x)＝x－在上是增函数，此时f(x)∈.∴f(x)的值域为∪.(2)①若a＝0，g(x)＝－2，对于任意x1∈[－2，2]，f(x1)∈∪，不存在x0∈[－2，2]使得g(x0)＝f(x1)都成立．②若a＞0，g(x)＝ax－2在[－2，2]上是增函数，g(x)∈[－2a－2，2a－2]，对于任意x1∈[－2，2]，f(x1)∈∪，若存在x0∈[－2，2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则∪[－2a－2，2a－2]，∴有解得a≥.③若a＜0，g(x)＝ax－2在[－2，2]上是减函数，g(x)∈[2a－2，－2a－2]，任给x1∈[－2，2]，f(x1)∈∪，若存在x0∈[－2，2]使得g(x0)＝f(x1)成立，则∪[2a－2，－2a－2]解得a≤－.综上，实数a的取值范围是∪.-7-
