第31讲 圆锥曲线与方程、导数及其应用、推理与证明1.已知抛物线C1：y2＝x＋1和抛物线C2：y2＝－x－a在交点处的两条切线互相垂直，求实数a的值．解：因为图形关于x轴对称，所以不妨设y＞0，则由y＝，得y′＝，同理由y＝，得y′＝.设交点为(x0，y0)，则·＝－1.解得(x0＋1)(－x0－a)＝. ①又由解得x0＝，y＝. ②由①②，得＝.因为y＝＞0，所以＝，得a＝.2.已知动圆Q与x轴相切，且过点A(0，2)．(1)求动圆圆心Q的轨迹M的方程；(2)设B、C为曲线M上两点，已知P(2，2)且PB⊥BC，求点C横坐标的取值范围．解：(1)设P(x，y)为轨迹上任一点，则|y|＝≠0，化简得y＝x2＋1为所求的轨迹方程．(2)设B，C.∵·＝0，∴x2＝－，∴x2≥10或x2≤－6.3.已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)．用数学归纳法证明：an<an＋1(n∈N*)．证明：当n＝1时，a2＝1＋＝，a1<a2，所以n＝1时，不等式成立；假设当n＝k(k∈N*)时，ak<ak＋1成立，显然ak>0.则当n＝k＋1时，ak＋2－ak＋1＝1＋－ak＋1＝1＋－＝>0，所以n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式an<an＋1(n∈N*)成立．4.(1)当k∈N*时，求证：(1＋)k＋(1－)k是正整数；(2)试证明大于(1＋)2n的最小整数能被2n＋1整除(n∈N*)．证明：(1)(1＋)k＋(1－)k＝2[1＋C()2＋C·()4＋…]，∵的偶数次幂均为正整数，∴(1＋)k＋(1－)k是正整数．(2)∵0＜(1－)2n＜1，由(1)知(1＋)2n＋(1－)2n为正整数，∴大于(1＋)2n的最小整数为(1＋)2n＋(1－)2n，(1＋)2n＋(1－)2n＝2n[(2＋)n＋(2－)n]．由二项式定理可知(2＋)n＋(2－)n是一偶数，∴大于(1＋)2n-3-\n的最小整数能被2n＋1整除(n∈N*)．5.已知数列{an}满足a1＝，an＋1·(1＋an)＝1.(1)试计算a2，a3，a4，a5的值；(2)猜想|an＋1－an|与(其中n∈N*)的大小关系，并证明你的猜想．解：(1)由已知计算得a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.(2)由(1)得|a2－a1|＝，|a3－a2|＝，|a4－a3|＝，|a5－a4|＝，而n分别取1、2、3、4时，分别为、、、，故猜想|an＋1－an|≤.下面用数学归纳法证明以上猜想：①当n＝1时，已证；②当n＝k≥1时，假设|ak＋1－ak|≤对n∈N*结论成立；由a1＝，an＋1＝，得an>0，∴0<an＋1＝<1，且0<a1＝<1，∴0<an<1，∴<an＋1＝<1，且<a1＝<1，∴<an<1.则当n＝k＋1时，∵(1＋ak＋1)(1＋ak)＝(1＋)(1＋ak)＝2＋ak>2＋＝，∴|ak＋2－ak＋1|＝|－|＝≤≤＝.∴当n＝k＋1≥1时，结论成立．由①和②知，以上猜想成立．6.设数列{an}共有n(n≥3，n∈N)项，且a1＝an＝1，对每个i(1≤i≤n－1，i∈N)，均有∈.(1)当n＝3时，写出满足条件的所有数列{an}(不必写出过程)；(2)当n＝8时，求满足条件的数列{an}的个数．解：(1)当n＝3时，a1＝a3＝1.因为∈{，1，2}，∈{，1，2}，即a2∈{，1，2}，∈{，1，2}，-3-\n所以a2＝或a2＝1或a2＝2.故此时满足条件的数列{an}共有3个：1，，1；1，1，1；1，2，1.(2)令bi＝(1≤i≤7)，则对每个符合条件的数列{an}，满足条件：b1·b2·b3·…·bi＝···…·＝＝1，且bi∈{，1，2}(1≤i≤7)．反之，由符合上述条件的7项数列{bn}可唯一确定一个符合条件的8项数列{an}．记符合条件的数列{bn}的个数为N.显然，bi(1≤i≤7)中有k个2；从而有k个，7－2k个1.当k给定时，{bn}的取法有CC种，易得k的可能值只有0，1，2，3，故N＝1＋CC＋CC＋CC＝393.因此，符合条件的数列{an}的个数为393.-3-
