第4讲 函数的实际应用1.若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．答案：－，－解析：由得∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点为－，－.2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是__________元．答案：108解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.3.方程x2－2mx＋m2－1＝0的一根在(0，1)内，另一根在(2，3)内，则实数m的取值范围是________．答案：(1，2)解析：令f(x)＝x2－2mx＋m2－1，则解得1＜m＜2.4.若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 答案：a＞1解析：设函数y＝ax(a＞0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a＞0且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点．由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合要求；当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0，1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a＞1.5.某公司将进价8元/个的商品按10元/个销售，每天可卖100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售价应定为每个________元．答案：14解析：设每个销售定价为x元，此时销售量为100－10(x－10)，则利润y＝(x－8)[100－10(x－10)]＝10(x－8)(20－x)≤10＝360，当且仅当x＝14时取等号．6.已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1，1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围是_____________．答案：解析：由题意得f(1)·f(－1)＜0，即(3a＋1)(a＋1)＜0，解得－1＜a＜－.7.已知函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________．答案：6解析：b＝6.-4-\n8.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________．答案：2解析：当0<x<1时，f(x)＝2xlog0.5x－1，令f(x)＝0，则log0.5x＝.由y＝log0.5x，y＝的图象知，在(0，1)内有一个交点，即f(x)在(0，1)上有一个零点．当x>1时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，令f(x)＝0得log2x＝，由y＝log2x，y＝的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点．9.已知函数f(x)＝则使f[f(x)]＝2成立的实数x的集合为________________．答案：{x|0≤x≤1，或x＝2}解析：x∈[0，1]时，f[f(x)]＝2即为f(2)＝2，2[0，1]，2＝2成立；x[0，1]，f[f(x)]＝2即为f(x)＝2，又f(x)＝x，所以x＝2.10.已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是________．答案：(0，1)解析：设t＝f(x)，则方程为t2－at＝0，解得t＝0或t＝a，即f(x)＝0或f(x)＝a.如图，作出函数f(x)的图象，由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个，故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的解，则方程f(x)＝a的解必有三个，此时0<a<1.所以a的取值范围是(0，1)．11.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈(1，3)时，有f(x)≤(x＋2)2成立．(1)证明：f(2)＝2；(2)若f(－2)＝0，求函数f(x)的表达式；(3)在(2)的条件下，设g(x)＝f(x)－x，x∈[0，＋∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y＝的上方，求实数m的取值范围．(1)证明：由条件知f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立．∵x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c≤(2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.(2)解：∵∴4a＋c＝2b＝1，∴b＝，c＝1－4a.又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立，∴a＞0，Δ＝－4a(1－4a)≤0，∴(8a－1)2≤0，解得a＝，b＝，c＝，∴f(x)＝x2＋x＋.-4-\n(3)解：g(x)＝x2＋x＋＞在x∈[0，＋∞)上必须恒成立，即x2＋4(1－m)x＋2＞0在x∈[0，＋∞)上恒成立．①Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0，解得1－＜m＜1＋；②解得m≤1－.综上，m∈.12.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解：设该店月利润余额为L，则由题设得L＝Q(P－14)×100－3600－2000，①由销量图易得Q＝代入①式得L＝(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；当20<P≤26时，Lmax＝元，此时P＝元．故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．13.某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000m2.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为4000×2000＝8000000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多100×2000＝200000(元)＝20(万元)，-4-\n即写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为y＝f(x)＝800x＋×20＋9000＝10x2＋790x＋9000(x∈N*)．(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g(x)＝×10000＝＝50≥50×(2＋79)＝6950(元)，当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．所以该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．-4-
