第5讲 不等式及其应用1.理解并掌握不等式的基本性质及解法．2.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并能灵活运用其解决问题．1.已知集合A＝，集合B＝{x|y＝lg(x2＋x－2)}，则A∩B＝________．答案：(1，2)解析：A＝(－1，2)，B＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，∴A∩B＝(1，2)．2.设0<a<b，a＋b＝1，则，b，2ab，a2＋b2中的最大的是________．答案：b解析：由0＜a＜b，a＋b＝1，得0＜a＜，＜b＜1，则b－(a2＋b2)＝b－b2－(1－b)2＝(2b－1)(1－b)＞0.3.已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m、n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是________．答案：7解析：由log2(m－2)＋log2(2n－2)＝3，得(m－2)(n－1)＝4，则m＝＋2，所以m＋n＝＋2＋n＝＋(n－1)＋3≥2＋3＝7(当且仅当“n＝3”时，取等号)，故m＋n的最小值为7.4.若正数a、b满足2a＋b＝1，则4a2＋b2＋的最大值为________．答案：解析：1＝2a＋b≥2，≤.设t＝，则0＜t≤，所以4a2＋b2＋＝1－4t2＋t＝－4＋≤.题型一三个“二次”之间的关系应用问题例1设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R)．(1)已知f(1)＝－，①若f(x)<1的解集为(0，3)，求f(x)的表达式；②若a>0，求证：函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．(2)已知a＝1，若x1、x2是方程f(x)＝0的两个根，且x1、x2∈(m，m＋1)，其中m∈R，求f(m)f(m＋1)的最大值．(1)①解：-10-\n∴f(x)＝x2－2x＋1.②证明：a＋b＋c＝－，f(0)＝c，f(1)＝－＜0，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，若c＞0，则f(0)＞0，f(1)＜0，函数f(x)在(0，1)上连续，则f(x)在(0，1)内必有一实根；若c≤0，a＞0,则f(2)＝a－c＞0，f(1)＜0，函数f(x)在(1，2)上连续，∴f(x)在(1，2)内必有一实根．综上，函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．(2)解：f(x)＝(x－x1)(x－x2)，x1、x2∈(m，m＋1)，m－x1＜0，m－x2＜0，m＋1－x1＞0，m＋1－x2＞0,∴f(m)·f(m＋1)＝(m－x1)(m－x2)(m＋1－x1)(m＋1－x2)＝[(x1－m)(m＋1－x1)][(x2－m)(m＋1－x2)]≤·＝，当且仅当x1＝x2＝时取等号，∴f(m)f(m＋1)的最大值为.已知f(x)＝x2－x＋k，k∈Z，若方程f(x)＝2在上有两个不相等的实数根．(1)确定k的值；(2)求的最小值及对应的x值．解：(1)设g(x)＝f(x)－2＝x2－x＋k－2，由题设有＜k＜.又k∈Z，∴k＝2.(2)∵k＝2，∴f(x)＝x2－x＋2＝＋＞0，∴＝f(x)＋≥2＝4，当且仅当f(x)＝，即[f(x)]2＝4时取等号．∵f(x)＞0，∴f(x)＝2时取等号，即x2－x＋2＝2，解得x＝0或1.故当x＝0或1时，取最小值4.题型二含参数的不等式的解集问题例2已知函数f(x)＝(x≠0，a>0)，当x∈[1，3]时的取值范围恰为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若向量m＝，n＝(k2＋k＋2，3k＋1)(k>－1)，解关于x的不等式f(x)<m·n.解：(1)若c≥0，则x∈[1，3]时f(x)>0；-10-\n若c<0，f(x)＝在[1，3]上单调递增，所以得故f(x)＝.(2)由题意，<－＋，即x(x－2k)[x－(k＋1)]<0.①当－1<k<0时，不等式的解集是(－∞，2k)∪(0，k＋1)；②当0≤k<1时，不等式的解集是(－∞，0)∪(2k，k＋1)；③当k＝1时，不等式的解集是(－∞，0)；④当k>1时，不等式的解集是(－∞，0)∪(k＋1，2k)．已知函数f(x)＝x2－kx＋m(k∈R，m≥0且m为常数)．(1)当m＝4，k>0时，解不等式f(x)>0；(2)若f(x)>0对一切正数x恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)Δ＝k2－16，因为k>0，所以当0<k<4时，Δ<0，不等式解为一切实数；当k＝4时，Δ＝0，x≠2；当k>4时，Δ>0，x>或x<.∴当0<k<4时，解集为R；当k＝4时，解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；当k>4时，解集为(－∞，)∪(，＋∞)．(2)因为x>0，由x2－kx＋m>0得k<x＋.当m>0时，因为x＋≥2，所以k<2；当m＝0时，因为x＋＝x>0，所以k≤0.题型三利用不等式解应用题例3(2022·南通二模)为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000m2，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx＋800)元(其中k为常数)．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．(每平方米平均综合费用＝)(1)求k的值；(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？解：(1)如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5m2，所有建筑费用为[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k＋800)＋(5k＋800)]×1000×10，所以1270＝{16000000＋[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k＋800)＋(5k＋800)]×1000×10}/(10×1000×5)，解得k＝50.(2)设小区每幢为n(n∈N*)层时，每平方米平均综合费用为f(n)，由题设可知f(n)＝{16000000＋[(50＋800)＋(100＋800)＋…＋(50n＋800)]×1000×10}/(10×1000×n)-10-\n＝＋25n＋825≥2＋825＝1225(元)．当且仅当＝25n，即n＝8时等号成立．答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元．某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB、CD的长，可使建造这个支架的成本最低？解：设BC＝am(a≥1.4)，CD＝bm，连结BD.则在△CDB中，＝b2＋a2－2abcos60°.∴b＝.∴b＋2a＝＋2a.设t＝a－1，t≥－1＝0.4，则b＋2a＝＋2(t＋1)＝3t＋＋4≥7，等号成立时t＝0.5＞0.4，a＝1.5，b＝4.∴当AB＝3m，CD＝4m时，建造这个支架的成本最低．题型四不等式的综合应用例4设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出不等式h(x)≥1的解集(不需给出演算步骤)．解：(1)若f(0)≥1，则－a|a|≥1a≤－1.∴a的取值范围是(－∞，－1]．(2)当x≥a时，f(x)＝3x2－2ax＋a2，f(x)min＝当x≤a时，f(x)＝x2＋2ax－a2，f(x)min＝-10-\n综上，f(x)min＝(3)x∈(a，＋∞)时，h(x)≥1得3x2－2ax＋a2－1≥0，Δ＝4a2－12(a2－1)＝12－8a2.当a≤－或a≥时，Δ≤0，x∈(a，＋∞)；当－＜a＜时，Δ＞0，得讨论得：当a∈时，解集为(a，＋∞)；当a∈时，解集为∪；当a∈时，解集为.综上，当a∈∪时，解集为(a，＋∞)；当a∈时，解集为[，＋∞)；当a∈时，解集为(a，]∪[，＋∞)．已知函数f(x)＝ax2＋ax－4(a∈R)．(1)若函数f(x)恰有一个零点，求a的值；(2)若对任意a∈[1，2]，f(x)≤0恒成立，求x的取值范围；(3)设函数g(x)＝(a＋1)x2＋2ax＋2a－5，是否存在实数a，使得当x∈(－2，－1)时，函数g(x)的图象始终在f(x)图象的上方？若存在，试求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)当a＝0时，f(x)＝－4无零点，舍去；当a≠0时，有Δ＝a2＋16a＝0，解得a＝－16或a＝0(舍去)；综上得a＝－16.(2)由题意得，因为任意a∈[1，2]，f(x)≤0恒成立，令H(a)＝ax2＋ax－4＝(x2＋x)a－4，所以，本题等价于H(a)≤0在a∈[1，2]上恒成立.又H(0)＝－4.所以H(2)＝2(x2＋x)－4≤0，即x2＋x－2≤0.又x≠0，解得－2≤x≤1且x≠0.(3)令F(x)＝g(x)－f(x)＝x2＋ax＋2a－1，假设存在这样的实数a，则必有F(x)＝x2＋ax＋2a－1>0在区间(－2，－1)上恒成立．因为F(x)对称轴方程为x＝－，所以有①解得 所以a≥4.②解得 所以0≤a≤2.-10-\n③解得 所以2<a<4.综上，得a≥0所以，存在这样的实数a，当实数a≥0时，函数g(x)的图象始终在f(x)图象的上方．1.(2022·北京卷)设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．答案：解析：画出区域，最小距离即为点(1，0)到直线2x－y＝0的距离，由点到直线的距离公式得到．2.(2022·江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意的x∈[m，m＋1]都有f(x)<0，则实数m的取值范围为________．答案：解析：据题意解得－<m<0.3.(2022·江苏卷)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是__________．答案：解析：抛物线y＝x2在x＝1处的切线方程为y＝2x－1，围成的区域D为目标函数z＝x＋2y的取值范围是.4.(2022·天津卷)设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．答案：解析：＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故最小值为.-10-\n5.已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是________．答案：[e，7]解析：条件5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，可化为设＝x，y＝，则题目转化为：已知x，y满足求的取值范围．作出(x，y)所在平面区域(如图)．求出y＝ex的切线的斜率e，设过切点P(x0，y0)的切线为y＝ex＋m(m≥0)，则＝＝e＋，要使它最小，须m＝0.∴的最小值P(x0，y0)处，为e.此时，点P(x0，y0)在y＝ex上A、B之间．当(x，y)对应点C时，y＝7x＝7，∴的最大值在C处，为7.∴的取值范围为[e，7]，即的取值范围是[e，7]．6.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn.已知2a2＝a1＋a3，数列{}是公差为d的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式(用n、d表示)；(2)设c为实数，对满足m＋n＝3k且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式Sm＋Sn>cSk都成立．求证：c的最大值为.(1)解：由题意知d＞0，＝＋(n－1)d＝＋(n－1)d，2a2＝a1＋a33a2＝S33(S2－S1)＝S3，即3[(＋d)2－a1]＝(＋2d)2，化简得a1－2·d＋d2＝0，即＝d，则a1＝d2，＝d＋(n－1)d＝nd，Sn＝n2d2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝(2n－1)d2，适合n＝1情形．故所求an＝(2n－1)d2(n∈N*)．(2)证明：Sm＋Sn＞cSkm2d2＋n2d2＞c·k2d2m2＋n2＞c·k2，即c＜恒成立．又m＋n＝3k且m≠n，2(m2＋n2)＞(m＋n)2＝9k2＞，故c≤，即c的最大值为.-10-\n(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2022·无锡一模)要制作一个如图的框架，要求所围成的总面积为19.5m2，其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h＝AB，tan∠FED＝，设AB＝xm，BC＝ym.(1)求y关于x的表达式；(2)如何设计x、y的长度，才能使所用材料最少？解：(1)如图，在等腰梯形CDEF中，DH是高．依题意：DH＝AB＝x，EH＝＝×x＝x，(3分)∴＝xy＋x＝xy＋x2，∴y＝－x.(6分)∵x＞0，y＞0，∴－x＞0，解之得0＜x＜.∴所求表达式为y＝－x.(7分)(2)在Rt△DEH中，∵tan∠FED＝，∴sin∠FED＝，∴DE＝＝x×＝x，(9分)∴l＝(2x＋2y)＋2×x＋＝2y＋6x＝－x＋6x＝＋x≥2＝26，(11分)当且仅当＝x，即x2＝9，即x＝3时取等号，(12分)此时y＝－x＝4，∴AB＝3m，BC＝4m时，能使整个框架所用材料最少．(14分)-10-\n1.若函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥的解集为________．答案：[－3，1]解析：本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考查．由|f(x)|≥－3≤x＜0.由|f(x)|≥0≤x≤1.综上，不等式|f(x)|≥的解集为{x|－3≤x≤1}．2.设函数f(x)＝x3＋3bx2＋3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[－1，0]，x2∈[1，2]．(1)求b、c满足的约束条件，并在坐标平面内画出满足这些条件的点(b，c)的区域；(2)求证：－10≤f(x2)≤－.(1)解：f′(x)＝3x2＋6bx＋3c.由题意知方程f′(x)＝0有两个根x1、x2，且x1∈[－1，0]，x2∈[1，2]．则有f′(－1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0，故有图中阴影部分即是满足这些条件的点(b，c)的区域．(2)证明：由题意有f′(x2)＝3x＋6bx2＋3c＝0， ①又f(x2)＝x＋3bx＋3cx2， ②消去b可得f(x2)＝－x＋x2.∵x2∈[1，2]且c∈[－2，0]，∴－10≤f(x2)≤－.3.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2m的无盖长方体沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为am，高度为bm．已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积成反比．现有制箱材料60m2.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(A、B孔的面积忽略不计)-10-\n解：(解法1)设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k为比例系数且k＞0，依题意，即所求的a、b值使y值最小．根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，得b＝(30－a)/(2＋a)(0<a<30),①于是y＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2＝时取等号，y取最小值，此时a＝6或a＝－10(舍)．将a＝6代入①式得b＝3，故当a为6m，b为3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(解法2)依题意，即所求的a、b的值使ab最大．由题设知4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0).∵a＋2b≥2，∴2＋ab≤30,当且仅当a＝2b时，上式取等号.由a>0，b>0，解得0<ab≤18.即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18，即2b2＝18，解得b＝3，a＝6.故当a为6m，b为3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．-10-
