第11讲 数列求和及其综合应用1.数列1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n－1)的前n项和为________．答案：2n＋1－n－2解析：1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n－1)＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝2(2n－1)－n＝2n＋1－n－2.2.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝________．答案：2＋lnn解析：累加可得．3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________成等比数列．答案： 4.已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________.答案：解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝33＋2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n2－n＋33，＝n＋－1，数列在1≤n≤6，n∈N*时单调减，在n≥7，n∈N*时单调增，∴n＝6时，取最小值．5.数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，bn＝，n∈N*，则数列{bn}的通项公式bn＝________．答案：2n＋1解析：由条件得bn＋1＝||＝||＝2||＝2bn，且b1＝4，所以数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列，则bn＝4·2n－1＝2n＋1.6.设a1，a2，…，a50是从－1、0、1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋a3＋…＋a50＝9，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50中数字0的个数为________．答案：11解析：(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则(a＋a＋…＋a)＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴a＋a＋…＋a＝39，故a1，a2，…，a50中数字0的个数为50－39＝11.7.设Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S9＋S12＋S21＝__________．答案：10解析：相邻两项合并得S9，S12，S21.8.设数列an＝log(n＋1)(n＋2)，n∈N*，定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的实数k为中国梦吉祥数，则在[1，2014]内的所有中国梦吉祥数之和为____________．答案：2026解析：a1·a2·a3·…·ak＝log23·log34·…·log(k＋1)(k＋2)＝log2(k＋2)，仅当k＝2n－2时，上式为中国梦吉祥数．9.如图所示，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另两个顶点Cn、Dn在函数f(x)＝x＋(x＞0)的图象上，若点Bn的坐标为(n，0)(n≥2，n∈N*)，矩形AnBnCnDn的周长记为an，则a2-8-\n＋a3＋…＋a10＝____________．答案：216解析：由Bn的坐标为(n，0)(n≥2，n∈N*)，得Cn的坐标为，故Dn的坐标为，故an＝2＋2＝4n，故a2＋a3＋…＋a10＝4(2＋3＋…＋10)＝216.10.已知数列{an}满足a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为______________．答案：4，5，32解析：显然，an为正整数，a6＝1，故a5＝2，a4＝4，若a3为奇数，则4＝3a3＋1，即a3＝1；若a3为偶数，则a3＝8.若a3＝1，则a2＝2，a1＝4，若a3＝8，则a2＝16，a1＝5或32.11.设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项的和，满足：a＋a＝a＋a，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn；(2)设数列{bn}满足bn＝2an，其前n项的和为Tn，当n为何值时，有Tn＞512.解：(1)由{an}是公差不为0的等差数列，可设an＝a1＋(n－1)d，则由得整理，得由d≠0，解得所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－7，Sn＝na1＋d＝n2－6n.(2)由(1)得an＝2n－7，所以bn＝2an＝22n－7，又＝＝4(n≥2)，b1＝2a1＝，所以{bn}是首项为，公比为4的等比数列，所以它的前n项和Tn＝＝(4n－1)，于是由Tn＞512，得4n＞3×47＋1，所以n≥8时，有Tn＞512.12.数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，a3＝27.(1)求a1，a2的值；(2)是否存在一个实数t，使得bn＝(an＋t)(n∈N*)，且数列{bn}为等差数列？若存在，-8-\n求出实数t；若不存在，请说明理由；(3)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)由a3＝27，得27＝2a2＋23＋1，∴a2＝9.∵9＝2a1＋22＋1，∴a1＝2.(2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列，则2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2且n∈N*)．∴2×(an＋t)＝(an－1＋t)＋(an＋1＋t)，∴4an＝4an－1＋an＋1＋t，∴4an＝4×＋2an＋2n＋1＋1＋t，∴t＝1.即存在实数t＝1，使得{bn}为等差数列．(3)由(1)，(2)得b1＝，b2＝，∴bn＝n＋，∴an＝·2n－1＝(2n＋1)2n－1－1，Sn＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n＋1)×2n－1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1－n，①∴2Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n－2n，②由①－②得－Sn＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n＋n＝1＋2×－(2n＋1)×2n＋n＝(1－2n)×2n＋n－1，∴Sn＝(2n－1)×2n－n＋1.13.已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Tn；(2)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．解：(1)n＝1时，由a＝S1＝a1，且a1≠0，得a1＝1.因为{an}是等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d＝n＋d.于是由a＝S2n－1，得[1＋(n－1)d]2＝2n－1＋(2n－1)(n－1)d，即d2n2＋(2d－2d2)n＋d2－2d＋1＝2dn2＋(2－3d)n＋d－1，所以解得d＝2.所以an＝2n－1，从而bn＝＝＝所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝＝.(2)(解法1)T1＝，Tm＝，Tn＝，若T1，Tm，Tn成等比数列，则＝-8-\n，即＝.由＝，得＝＞0，即－2m2＋4m＋1＞0，所以1－＜m＜1＋.又m∈N*，且m＞1，所以m＝2，此时n＝12.因此，当且仅当m＝2，n＝12时，数列{Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．(解法2)因为＝＜，故＜，即2m2－4m－1＜0，所以1－＜m＜1＋(以下同上)．-8-\n滚动练习(三)1.设集合U＝Z，A＝{x|x2－x－2≥0，x∈Z}，则∁UA＝________．(用列举法表示)答案：{0，1}2.设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别是a、b、c，且＝，那么∠A＝________.答案：解析：由正弦定理＝，得sinA＝cosA，∴tanA＝1，∵0＜A＜π，∴∠A＝.3.已知在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则2a9－a10＝________．答案：12解析：由a1＋3a8＋a15＝60，得5a1＋35d＝60，即a8＝12，则2a9－a10＝a8＝12.4.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，则ω＝________.答案：解析：由题知周期是4π，∴ω＝＝.5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋x(x≥0)，若f(4－a2)＞f(3a)，则实数a的取值范围是____________．答案：(－4，1)6.已知变量x、y满足条件则z＝x＋y的最大值是________．答案：6解析：本题考查线性规划知识．7.函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝____________.答案：218.若△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，若m⊥n，则∠C＝________．答案：解析：∵m⊥n，∴(a＋c)(a－c)＋b(b－a)＝0，∴＝，∴cosC＝，∴∠C＝.9.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a、b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．答案：－1010.已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不是单调函数，则t的取值范围是__________．答案：(0，1)∪(2，3)-8-\n11.已知函数f(x)＝lnx－(m∈R)在区间[1，e]上取得最大值4，则m＝____________．答案：－3e解析：f′(x)＝＋，m≥－1时，f(x)在[1，e]上单调减，f(1)＝4，无解；－e<m<－1，f(x)在[1，－m]上增，在[－m，e]上减，则f(－m)＝4，无解；m≤－e时，f(x)在[1，e]上单调增，f(e)＝4，m＝－3e.12.数列{an}满足a1＞1，an＋1－1＝an(an－1)(n∈N＋)，且＋＋…＋＝2，则a2013－4a1的最小值为____________．答案：－解析：由题知，an>1，＝＝－，所以＝－，＋＋…＋＝－＝2，a2013＝1＋，a2013>1得>a1＞1，a2013－4a1＝－＋≥－＋2＝－.当且仅当a1＝∈时取等号．13.设函数f(x)＝sinxcosx－cos(x＋π)cosx(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后再向上平移个单位得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)在上的最大值．解：(1)f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋(1＋cos2x)＝sin＋，∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)依题意得g(x)＝f＋＝sin[2(x－)＋]＋＋＝sin＋，当x∈时，2x－∈，∴－≤sin≤，∴≤g(x)≤，∴g(x)在上的最大值为.14.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1、a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．解：(1)由题意得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，-8-\na2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d，an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.(2)由(1)得an＝an－1－d＝an－2－d－d＝－d＝…＝a1－d.整理得an＝(3000－d)－2d＝(3000－3d)＋2d.由题意，am＝4000，即(3000－3d)＋2d＝4000，解得d＝＝.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元．15.已知函数f(x)＝lnx－ax＋1，a∈R是常数．(1)求函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线l的方程；(2)证明函数y＝f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方；(3)讨论函数y＝f(x)零点的个数．(1)解：f′(x)＝－a，f(1)＝－a＋1，kl＝f′(1)＝1－a，所以切线l的方程为y－f(1)＝kl(x－1)，即y＝(1－a)x.(2)证明：令F(x)＝f(x)－(1－a)x＝lnx－x＋1，x＞0，则F′(x)＝－1＝(1－x)，解F′(x)＝0得x＝1.x(0，1)1(1，＋∞)F′(x)＋0－F(x)最大值因为F(1)＝0，所以x＞0且x≠1，F(x)＜0，f(x)＜(1－a)x，即函数y＝f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方．(3)解：令f(x)＝lnx－ax＋1＝0，a＝.令g(x)＝，g′(x)＝′＝＝－，则g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时，g(x)的最大值为g(1)＝1.所以若a＞1，则f(x)无零点；若f(x)有零点，则a≤1.若a＝1，f(x)＝lnx－ax＋1＝0，由(1)知f(x)有且仅有一个零点x＝1.若a≤0，f(x)＝lnx－ax＋1单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，-8-\n知f(x)有且仅有一个零点(或：直线y＝ax－1与曲线y＝lnx有一个交点)．若0＜a＜1，解f′(x)＝－a＝0得x＝，由函数的单调性得知f(x)在x＝处取最大值，f＝ln＞0，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x充分大时f(x)＜0，即f(x)在单调递减区间有且仅有一个零点；又f＝－＜0，所以f(x)在单调递增区间上有且仅有一个零点．综上所述，当a＞1时，f(x)无零点；当a＝1或a≤0时，f(x)有且仅有一个零点；当0＜a＜1时，f(x)有两个零点．16.设数列{an}的前n项积为Tn，已知对n，m∈N*，当n＞m时，总有＝Tn－m·q(n－m)m(q＞0是常数)．(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)设正整数k，m，n(k＜m＜n)成等差数列，试比较Tn·Tk和(Tm)2的大小，并说明理由．(1)证明：设m＝1，则有＝Tn－1·qn－1，因为Ti≠0(i∈N*)，所以有＝a1·qn－1，即an＝a1·qn－1，所以当n≥2时＝q，所以数列{an}是等比数列．(2)解：当q＝1时，an＝a1(n∈N*)，所以Tn＝a，所以Tn·Tk＝a·a＝a＝a＝T.当q≠1时，an＝a1·qn－1，Tn＝a1·a2…an＝a·q1＋2＋…＋(n－1)＝a·q，所以Tn·Tk＝a·q·a·q＝a·q，T＝a·qm(m－1)，因为n＋k＝2m且k＜m＜n，所以a＝a，＝－m＞－m＝m2－m，所以若q＞1，则Tm·Tk＞T；若0＜q＜1，则Tm·Tk＜T.-8-
