专题九 高考数学附加选做题训练第25讲 几何证明选讲1.如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若△ABC面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．解：连结BE，由AD是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠CAE.由圆周角结论，得∠AEB＝∠ACB，∴△ABE∽△ADC，∴AD·AE＝AB·AC.∴S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，∴sin∠BAC＝.∵∠BAC∈，∴∠BAC＝.2.如图，PA与圆O相切于点A，D为PA的中点，过点D引割线交圆O于B、C两点，求证：∠DPB＝∠DCP.证明：∵PA与圆相切于A，∴DA2＝DB·DC.∵D为PA中点，∴DP＝DA，∴DP2＝DB·DC，即＝.又∠BDP＝∠PDC，∴△BDP∽△PDC，∴∠DPB＝∠DCP.3.如图，已知梯形ABCD为圆内接四边形，AD∥BC，过C作该圆的切线，交AD的延长线于E，求证：△ABC∽△EDC. 证明：∵CE为圆的切线，∴∠DCE＝∠DAC.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DCE＝∠BCA.∵梯形ABCD为圆内接四边形，∴∠EDC＝∠ABC.∴△ABC∽△EDC.4.如图，已知AB是圆O的直径，圆O交BC于点D，过点D作圆O的切线DE交AC于点E，且DE⊥AC.求证：AC＝2OD.-3-\n证明：连结OD，∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE.又DE⊥AC，∴OD∥AC.∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AC，即AC＝2OD.5.如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于点E，且EC＝ED.(1)求证：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，求证：A、B、G、F四点共圆．证明：(1)∵EC＝ED，∴∠EDC＝∠ECD.∵A、B、C、D四点在同一圆上，∴∠EDC＝∠EBA.∴∠ECD＝∠EBA，∴CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.∵EF＝EG，∴∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连结AF、BG，则△EFA≌△EGB，有∠FAE＝∠GBE.∵CD∥AB，∴∠EDC＝∠EAB，∠ECD＝∠EBA.又∠EDC＝∠ECD，∴∠FAB＝∠GBA，∴∠AFG＋∠GBA＝180°.∴A、B、G、F四点共圆．6.如图，MN为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A、B、C、D、E，求证：AB·CD＝BC·DE.证明：由相交弦定理，得AC·CD＝MC·NC，BC·CE＝MC·NC，∴AC·CD＝BC·CE.-3-\n即(AB＋BC)·CD＝BC·(CD＋DE)，即AB·CD＋BC·CD＝BC·CD＋BC·DE，∴AB·CD＝BC·DE.-3-
