专题四 平面解析几何第12讲 直线与圆的方程及应用1.过点(1，－2)且倾斜角是120°的直线方程是________________．答案：x＋y－＋2＝0解析：由点斜式得直线方程为y＋2＝tan120°(x－1)，∴y＋2＝－(x－1)，∴x＋y＋2－＝0.2.与直线x－y－2＝0垂直的直线的倾斜角是________．答案：135°解析：与直线x－y－2＝0垂直的直线的斜率是－1，因而对应倾斜角是135°.3.若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是______________．答案：(x＋5)2＋y2＝5解析：设圆心为(a，0)，且a＜0，则＝，∴a＝－5，∴圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.4.圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)、B(0，－2)，则圆C的方程为________．答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5解析：由题易知圆心纵坐标y＝－3，代入直线2x－y－7＝0得圆心D(2，－3)，r2＝22＋12＝5.因而圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.5.在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点．若OA⊥OB，则直线l的斜率为________．答案：1或解析：设直线方程y＝k(x－5)＋3，由OA⊥OB知圆心到直线的距离d＝rsin＝2×＝，从而＝，解得k＝1或.6.已知圆x2＋y2－2x－2y＝0上恰有2个点到直线x＋y＋a＝0的距离等于，则实数a的取值范围为________________．答案：－5＜a＜－3或－1＜a＜1解析：本题考查数形结合思想．圆的半径为，要满足题意，只需圆心到直线的距离－＜d＜＋，∴＜＜＋，∴－5＜a＜－3或－1＜a＜1.7.过点P的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为________________．答案：2x－4y＋3＝0解析：本题考查直线与圆相交的问题，解题时应注意数形结合．本题中结合图象可知当CP⊥AB时满足题意．8.当且仅当m≤r≤n时，两圆x2＋y2＝49与x2＋y2－6x－8y＋25－r2＝0(r>0)有公共点，则n－m的值为__________．答案：109.在直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)、B(0，1)，则满足PA2－PB2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为____________．答案：2解析：设P(x，y)，由PA2－PB2＝4知[(x＋1)2＋y2]－[x2＋(y－1)2]＝4，整理，-3-\n得x＋y－2＝0.又圆心(0，0)到直线x＋y－2＝0距离d＝＝＜2，因此直线与圆有两个交点，故符合条件的点P有2个．本题考查直线与圆位置关系，求点的轨迹方程等综合运用．本题属于中等题．10.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为______________．答案：[3＋2，3＋2)∪(3－2，3－2]解析：圆C的方程为(x－m)2＋(y－2)2＝32.圆心C(m，2)，半径r＝＝4.S△ABC＝r2sin∠ACB＝16sin∠ACB≤16，故当sin∠ACB＝1即∠ACB＝90°时，S△ABC取得最大值．即当△ACB为等腰直角三角形时，面积取到最大值．故此时圆心到动直线的距离d＝r×＝4，从而d≤PC＜r，即16≤(m－3)2＋4＜32，解得m∈[3＋2，3＋2)∪(3－2，3－2]．11.已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆经过原点O，且分别交x轴、y轴于点A、B.点A、B与点O不重合． (1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，且OM＝ON，求圆C的方程．(1)证明：设(x－t)2＋＝t2＋，所以x2－2tx＋y2－y＝0.因为A(2t，0)，B，所以S△OAB＝4.(2)解：因为OM＝ON，所以OC⊥MN，所以×(－2)＝－1，所以t2＝4.因为圆与直线相交，所以t＝2，即x2－4x＋y2－2y＝0.12.已知过点A(0，1)，且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．(1)求实数k的取值范围；(2)求证：·是定值；(3)若O为坐标原点，且·＝12，求k的值．(1)解：由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，∴d＝＜1，∴3k2－8k＋3＜0，∴＜k＜.(2)证明：设M(x1，y1)、N(x2，y2)，联立得(k2＋1)x2－4(k＋1)x＋7＝0，∴-3-\n∵＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，∴·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋k2x1x2＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)＝7.∴·为定值7.(3)解：由(2)可知·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝7＋k·＋1＝12，解得k＝1，符合(1)中所得范围，因此k＝1.13.已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l过点A(－1，0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于点N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当PQ＝2时，求直线l的方程；(3)探索·的值是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．(1)证明：∵l与m垂直，且km＝－，则kl＝3，故直线l：y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.显然圆心(0，3)在直线l上，即当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)解：①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵PQ＝2，∴CM＝＝1，则由CM＝＝1，得k＝，∴直线l的方程为4x－3y＋4＝0.综上，直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.(3)解：∵CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.①当l与x轴垂直时有N，∴＝.又＝(1，3)，∴·＝·＝－5.②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由得N，则＝，∴·＝·＝－5.综上，可知·的值与直线l的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且·＝－5.-3-
