相似形一、选择题1、（2022年湖北荆州模拟题）如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3，则CE的值为（ ▲ ）A.9B.6C.3D.4答案：Ｂ2.（2022年湖北荆州模拟题）已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD为（▲）A． B．C． D．2答案：Ｂ第1题图3．（2022年北京平谷区一模）如图，点分别是三边的中点，若的周长为，则的周长为A．B．C．D．答案：D4、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD，CD⊥BD,且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米,那么该古城墙的高度是（B）A.6米B.8米C.18米D.24米ABPDCC5、（2022云南勐捧中学二模）如图，是的中位线，则与的面积之比是（）A．1:1B．1:2C．1:3D．1:4【答案】D第8题图6、(2022年广东省中山市一模)如图，与的边分别相交于两点，且．若AD：BD=3：1,DE=6，则BC等于（）．13\nABCDEA.8B.C.D.2答案：A7、（2022宁波五校联考二模）如图，中，、是边上的点，，在边上，，交、于、，则等于()A．B．C．D．答案：D15m6m2m第1题图8、（2022山东德州特长展示）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距6m，与树相距15m，则树的高度为()A．9mB．7mC．4mD．5mB9.（2022上海黄浦二摸）如图，E、F分别是平行四边形ABCD边BC、CD的中点，AE、AF交BD于点G、H，若△AGH的面积为1，则五边形CEGHF的面积是BCHGDFEA（A）1（B）2（C）3（D）4二、填空题1、（2022年上海奉贤区二模）如图，已知E=C，如果再增加一个条件就可以得到，那么这个条件可以是▲（只要写出一个即可）.13\n答案：B=D（等）；2、（2022年上海长宁区二模)已知，△ABC的重心G到BC边中点D的距离是2，则BC边上的中线长是.答案：63、(2022年江苏南京一模)根据图中所给两个三角形的角度和边长，可得x＝▲．（第1题）45°81°754°81°3x4.24、如图，Rt△ABC中，∠B=Rt∠，点D在边AB上，过点D作DG∥AC交BC于点G，分别过点D，G作DE∥BC，FG∥AB，DE与FG交于点O．当阴影面积等于梯形ADOF的面积时，则阴影面积与△ABC的面积之比为▲．5、（2022云南勐捧中学三模）已知△ABC∽△，且∶＝16∶9，若AB＝2，则＝．ADBCFE12【答案】1.5第13题图6、(2022珠海市文园中学一模）如图，平行四边形ABCD中，，,平分交的延长线于点，则=___________．答案：2；三、解答题13\n1．（2022年北京龙文教育一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=.点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设，则k=；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．答案：解：（1）k=1；…………………1分（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.由题意，tan∠BAC=，∴.∵D、E、B三点共线，∴AE⊥DB.∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,∴∠QBC=∠EAQ.∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，∴∠ECA=∠BCG.∴.∴.∴GB=DE.∵F是BD中点，13\n∴F是EG中点.在中，,∴..……………4分（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，∵∠ACB=90°，tan∠BAC=，且BC=6,∴AC=12，AB=.∵M为AB中点，∴CM=,∵AD=，∴AD=.∵M为AB中点，F为BD中点，∴FM==2.∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=..…………………………….……………………………5分情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为.………6分综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为.7分2、（2022年聊城莘县模拟）如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD。（1）求证：△ABF∽△CEB，（2）若DEF的面积为2，求平行四边形ABCD得面积。（8分）13\n答案：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB∥CD，∴∠ABF=∠CEB，∴△ABF∽△CEB。（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD且AB=CD，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF。∵DE=CD，∴，，∴，∴，。∴，∴。3.（2022浙江锦绣·育才教育集团一模）（本小题满分12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.（1）直接写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.13\n答案：（本小题满分12分）解：（1）A（8，0），B（0，4）。（2）∵AB=AC，∴OB=OC。∴C（0，－4）。设直线AC：，由A（8，0），C（0，－4）得，解得。∴直线AC：。∵直线l移动的速度为2，时间为t，∴OE=2t。设P，在中，令x=2t，得，∴M（2t，）。∵BC=8，PM=，OE=2t，EA=，∴。∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0＜t＜4）。∵，∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。（3）存在。∵由（2），在0＜t＜4，即0＜t＜8时，∠AMP和∠APM不可能为直角。若∠PAM为直角，则PA⊥CA，∴△AOC∽△PEA。∴。设P（p，），则OC=4，OA=8，EA=8－p，EP=，13\n∴，整理得，解得（舍去）。当时，EP==10。∴P（3，10）。∴当P（3，10）时，△PAM是直角三角形。4、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分10分)如图1，在长方形纸片ABCD中，，其中≥1，将它沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0＜n≤1．(1)如图2，当（即M点与D点重合），=2时，则=；（2）如图3，当（M为AD的中点），的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3)如图1，当（AB=2AD），的值发生变化时，的值是否发生变化？说明理由．解：⑴⑵延长PM交EA延长线于G，则△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG.∴EP=EG=EA+AG=EA+DP.⑶设AD=1,AB=2,过E作EH⊥CD于H,∵∠EFP=∠FPN=∠MPD=∠EMA.∴△EFH∽ΔEMA∴∵AE的长度发生变化,∴的值将发生变化.5、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线13\n，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．、解：⑴由题意得：A(-1,0)、B(3,2)∴解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2⑵设AB交y轴于D，则D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=，∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠CDN=∠ADO,∴Rt△ADO∽Rt△PNM.∴.∴=×PN=PN.∴当PN取最大值时,取最大值.设P(m,-m+m+2)N(m,m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.∵-1﹤m﹤3.∴当m=1时,PN取最大值.∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n)+t.∵E在抛物线上，∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形.∴DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2（n-）.13\n∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=.∴t=-.∴存在点E，坐标为E(,-).6、（2022年湖北武汉模拟）（本题满分8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，过A、B两点作⊙O，AP为⊙O的切线，交DE于点P，且AE2=EF·EP.（1）求证：∠AFE＝∠B；（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长.答案：、（1）证明△EAP∽△EFA，得∠EAP=∠EFA，由AE⊥BC得AB是⊙O的直径，AP为⊙O的切线，可以证明∠EAP=∠B=∠EFA；（2）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴∴AF=7.（2022年湖北宜昌调研）菱形ABCD中，∠BAD是锐角，AC，BD相交于点O，E是BD的延长线上一动点（不与点D重合），连接EC并延长和AB的延长线交于点F，连接AE.（1）比较∠F和∠ABD的大小，并说明理由；（2）当△BFC有一个内角是直角时，求证：△BFC∽△EFA；（3）当△BFC与△EFA相似（两三角形的公共角为对应角），且AC=12，DE=5时，求△BFC与△EFA的相似比.13\n第23题图（1）∵∠ABD为△BFE的一个外角∴∠ABD＞∠F………………………(1分)（2）∵菱形ABCD∴BC∥AD，∠ABD=∠ABC∴∠BAD=∠FBC,∠BAD+∠ABC=180°又∵∠BAD为锐角∴∠FBC为锐角，∠ABC为钝角∴∠ABD为锐角由（1）得∠F也为锐角又∵△BFC有一个角是直角，∴∠BCF为直角…………………………(2分)证明△ABE≌Rt△CBE…………………(4分)证明△BFC∽△EFA…………………(5分)（3）当△BFC与△EFA相似（两三角形的公共角为对应角）时∵∠BCE为△BFC的外角∴∠BCE﹥∠FBC∠BCE﹥∠F∴∠BAE=∠BCF＝∠BCE＝90°∠FBC＝∠AEF，…………………(7分)∴∠OAD＝∠OEA∴△OAD∽△OEA∴AO2＝OD×OE…………………(9分)设OD=x，列方程得：36＝x(x+5)…………………(10分)解方程的x＝4，∴BC∶AE＝AD∶AE＝AO∶OE＝2∶3…………………(11分)8．（2022年上海静安区二摸）（本题满分12分，每小题满分6分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC．求证：（1）AF=CE；（2）．答案：13\n证明：（1）∵DA=DB，∴∠FBA=∠EAC，………………………………………（2分）∵∠AFD=∠BEC，∴180º–∠AFD=180º–∠BEC，即∠BFA=∠AEC．……（2分）∵BA=AC，∴△BFA≌△AEC．……………………………………………（1分）∴AF=CE．……………………………………………………………………（1分）（2）∵△BFA≌△AEC，∴BF=AE．……………………………………………（1分）∵∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，∴△EFA∽△EAC．…………………（2分）∴．………………………………………………………………（1分）∴．…………………………………………………………（1分）∵EA=BF，CE=AF，∴．…………………………………（1分）第21题图9．（2022年上海浦东新区二摸）（本题满分10分，每小题各5分）已知：如图，在△ABC中，点在边上，将△沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，点在线段的延长线上，如果，，．求：（1）的值；（2）的值．答案：21．解：（1）∵△ABE≌△ADE，∴∠BAE=∠CAF．∵∠B=∠FCA，∴△ABE∽△ACF．…………………………………（2分）∴．…………………………………………………………（1分）∵AB=5，AC=9，∴．…………………………………………（2分）（2）∵△ABE∽△ACF，∴∠AEB=∠F．∵∠AEB=∠CEF，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．……………………（1分）∵△ABE≌△ADE，∴∠B=∠ADE，BE=DE．∵∠ADE=∠ACE+∠DEC，∠B=2∠ACE，∴∠ACE=∠DEC．∴CD=DE=BE=4．………………………………………………………（2分）∵，∴．∴．……………………………………………………………（2分）13\n13
