相似形一、选择题1、（2022江苏东台实中）在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（）A、缩小2倍B、扩大2倍 C、不变 D、不能确定答案：C2、（2022·温州市中考模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AB=6，DE=3，则BC的长为A．9B．6C．4D．3答案：A3、（2022·湖州市中考模拟试卷3）如果两个相似三角形的相似比是1∶2，那么它们的面积比是().A.1∶2B.1∶C.1∶4D.2∶1答案：C4、6．(2022年河北二摸)两个相似三角形的面积比是9∶16，则这两个三角形的相似比是A．9∶16B．3∶4C．9∶4D．3∶16答案：B二、填空题1、（2022·湖州市中考模拟试卷1）在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为________m.答案：1002、（2022·湖州市中考模拟试卷7）与的比例中项是.答案：±13、(2022年河南西华县王营中学一摸)如图，已知△ABC的面积是的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）.答案：三、解答题9\n1、（2022安徽芜湖一模）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．（本小题满分12分）解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组解得：∴抛物线的解析式为……………………………（4分）（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4,∴P1若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4,∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）……………………（8分）（3）如图设点E，则9\n①当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：,即∵△=(-4)2-4×7=-12<0∴此方程无解②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：即，∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分）2、（2022江苏射阴特庸中学）如图a，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0).（1）按要求画图：在图a中，以原点O为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB缩小，得到△DOC，使△AOB与△DOC在原点O的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为,点B的对应点C的坐标为；（2）已知某抛物线经过B、C、D三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；（3）连接DB，若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD上，从点B向点D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发，经过t秒，当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？答案：(1)画图1分;C(-2,0),D(0,-3).……3分(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8.……5分∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3.……6分大致图象如图所示.……7分(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形，9\n此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s.……9分②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s.……10分③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s.……11分∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.……12分3、（2022温州市一模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上一点，且AD∥OC．（1）求证：△ADB∽△OBC．（2）若AB=6，BC=4．求AD的长度．（结果保留根号）答案：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，∴∠D＝∠OBC＝90°∵AD∥OC[∴∠A＝∠COB∴△ADB∽△OBC（2）∵AB=6,∴OB=3,∵BC=4,∵△ADB∽△OBC[∴4、(2022年深圳育才二中一摸)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC=，求的值．答案：（1）证明：连接OC．∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，9\n∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC…………1分∵∠BOC=2∠BAC…………………………2分∴∠BOC=∠BAF∴OC∥AF…………………………………………3分∴CF⊥OC．∴CF是⊙O的切线…………………………4分（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．…………………………5分∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，∴△ABC∽△CBE………………………………………6分∴==（sin∠BAC）2==．…………………………7分∴=…………………………8分5、(2022年广西南丹中学一摸)如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．第25题图【解答】（1）（3分）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF，∴∠EFG=∠EGF，∴EF=EG=AG，∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），9\n又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形．………………3分
（2）（3分）连接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，∴ON⊥BC，∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线，∴点N是线段BC的中点．………………6分（3）（4分）解法一：作OM⊥AB于M，则四边形OMBN是矩形。∴OM＝BN＝12BC＝1令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝MB＝x（外接圆半径），∵AM＝AB－MB＝4－x在Rt△AOM中，由勾股定理得：OA2＝AM2+OM2即x2=(4－x)2+12解之得：x＝∴AM＝4－＝又∵Rt△AOM∽Rt△EFO∴＝即＝∴OF＝∴FG＝2OF＝………………………………10分解法二：（4分）延长NO交AD于H，则AH＝BN＝1，NH＝4令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝x（外接圆半径），∵OH＝4－x在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝AH2+OH2即x2=12+(4－x)29\n解之得：x＝∴HO＝4－＝又∵Rt△AOM∽Rt△EFO∴＝即：＝∴OF＝∴FG＝2OF＝…………………………………………10分6、(2022年河北二摸)探究一：如图1，正△ABC中，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连结AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．探究二：如图2，若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，E为AB上任一点，△CDE为等腰三角形，DE=DC，且∠BAC=∠EDC，连接AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．ADBCE图1ADBCE图2答案：解（1）…………………………………………………………1分ADBCE（8-2）123与为正三角形…………………………………………………………2分在与中………………………………………………3分…………………………………………………4分…………………………………………………………5分9\nADBCE（8-3）231（2）与为等腰三角形，且∠BAC=∠EDC即……………………………………………………7分……………………………………………………8分又………………………………………………………………10分7、(2022年河北二摸)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：；（3）点是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值．ABCPONM解：（1），又，．…………………………2分又是的直径，，，即，…………3分而是的半径，是的切线．………………………………………………4分（2），，又，∴∠AOB=∠CBO……………………………………………………6分∴BC=OC∴BC=AB……………………………………………………7分（3）连接，……………………………………………………………………8分点是弧AB的中点，∴=，，9\n∵，，…………………………9分又∵，，，∴BM=MN·MC，…………………………………10分又是的直径，=，．…………………………………………………………11分∴MN·MC=BM=()=8……………………………………………………12分9
