相似形一、选择题1（2022荆州中考模拟）．在直角坐标系中，已知O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3)，D为x轴上一点．若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个答案：C2、EABDFGC（图1）如图1，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案：C3、ABCDEF(10题图)（杭州市2022年中考数学模拟）如图，在中，是斜边上两点，且将绕点顺时针旋转90°后，得到连接下列结论：①②③的面积等于四边形的面积；④⑤其中正确的是（ ）A．①②④B．③④⑤C．①③④D．①③⑤答案：C4、如图，在⊿ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AD=3,DB=2,DE∥BC，则DE:BC的值是（A）；（B）；（C）；（D）.答案：D二、填空题1、（2022山东省德州四模）如图,△ABC,△DCE,△22\nGEF都是正三角形,且B,C,E,F在同一直线上,A,D,G也在同一直线上,设△ABC,△DCE,△GEF的面积分别为.当时,_____________答案：93、（2022上海市奉贤区调研试题）已知△中，点是△的重心，过点作∥，与相交于点，与相交于点，如果△的面积为9．那么△的面积是．答案：44、2022江西高安）长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为 _______ ______．第一次操作第二次操作答案：5、（2022年，瑞安市模考）如图，中，，两点分别在边上，且与不平行．请填上一个你认为合适的条件：，使．（不再添加其他的字母和线段）1DCE2BA答案：或或6、(2022学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，在△ABC中，DE∥BC，如果DE=1，BC=4，那么△与△面积的比是．22\n答案：7马鞍山六中2022中考一模）．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是直角三角形的是__________________．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）一定能确定①ACD＝∠B；②∠A∶∠B∶∠C＝4∶3∶5；②③AC·BC＝AB·CD；④．答案：①③④8（2022年上海金山区中考模拟）如果线段AB=4cm，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段BP=cm.答案：；9、（2022年上海金山区中考模拟如图，已知AD为△ABC的角平分线，交AC于E，如果，那么=．答案：MADNECB图4M10、（盐城市亭湖区2022年第一次调研考试）如图4，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似。答案CM＝或CM＝；三、解答题1、（2022广西贵港）（本题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧），已知点坐标为（，）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，22\n如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.答案：解：（1）设抛物线为.……………1分∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.……………2分∴抛物线为.……………………………3分(2)答：与⊙相交…………………………………………………………………4分证明：当时，，.∴为（2，0），为（6，0）.∴.…………………5分设⊙与相切于点，连接，则.∵，∴.又∵，∴.∴∽.……6分∴.∴.∴.…………………………7分∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.∴抛物线的对称轴与⊙相交.……………………………………………8分(3)解：如图，过点作平行于轴的直线交于点。可求出的解析式为.…………………………………………9分设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.∴.……………10分∵,∴当时，的面积最大为.……………11分此时，点的坐标为（3，）.………12分22\n2、（2022年上海市黄浦二模）如图9，已知中，，，，是边上的中点，是边上的点（不与端点重合），是边上的点，且∥，延长与直线相交于点，点是延长线上的点，且，联结，设，.（1）求关于的函数关系式及其定义域；图9（2）联结，当以为半径的和以为半径的外切时，求的正切值；（3）当与相似时，求的长.备用图b备用图a答案：解：（1）∵∥，∴，……………………………………（2分）∵，，，∴，∵是边上的中点，∴，………………………………………（1分）∵，，∴，∴.………（2分）（2）∵以为半径的和以为半径的外切，∴，又，∴，…………………（1分）∴，又，∴，∵，∴，∴，又，∴≌，∴，…………………（1分）∵，∴，∴，…………………………（1分）∵，，是边上的中点，∴，（1分）∵∥，∴，∴，∴，…（1分）（3）∵，当与相似时，22\n①若时，过点作，垂足为点.∴，∴，∴，………………………（1分）又，∴.………………………………………………………（1分）②若时，过点作，垂足为点.∴，∴，∴，……………………………………（1分）又，∴.………………………………………………………（1分）综上所述，当与相似时，的长为2或.（以上各题，若有其他解法，请参照评分标准酌情给分）3、（2022年上海市浦东新区中考预测）已知：如图，点D、E分别在线段AC、AB上，.（1）求证：⊿AEC∽⊿ADB；（2）AB=4，DB=5，sinC=,求.答案：证明：（1）∵∴……………………………………（2分）又∵∠DAB=∠EAC，∴⊿AEC∽⊿ADB.……………………………………（2分）解（2）∵⊿AEC∽⊿ADB，∴∠B=∠C.…………………………………………（2分）过点A作BD的垂线，垂足为F,则………………………（2分）∴……………（2分）4、(2022学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，四边形中，，点在的延长线上，联结，交于点，联结DB，，且.22\n(1)求证：；（2）当平分时，求证：四边形是菱形.答案：（1）证明：∵，∴．…………………………………………（2分）∵，…………………………………………（1分）∴∽．………………………………………（1分）∴．……………………………………………（1分）（2）∵，又∵，∴．………………………………………………（1分）∴．………………………………………………（1分）又∵，∴四边形是平行四边形………………………………………（1分）∵，∴．……………………………………………（1分）∵平分，∴．…………………………………………（1分）∴．∴．……………………………………………（1分）∴四边形是菱形．……………………………………………………（1分）5、(2022石家庄市42中二模)操作：如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E．22\n探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似，写出你的结论，（找出两对即可）；并选择其中一组说明理由；②当点P位于CD的中点时，直接写出①中找到的两对相似三角形的相似比和面积比．答案：分两种情况：①如图（1），∵∠BPE=90°，∴∠BPC+∠DPE=90°，又∠BPC+∠PBC=90°，∴∠PBC=∠DPE，又∠C=∠D=90°，∴△BPC∽△PED．如图（2），同理可证△BPC∽△BEP∽△PCE．
②如图（1），∵△BPC∽△PED，∴△PED与△BPC的周长比等于对应边的比，即PD与BC的比，∵点P位于CD的中点，∴PD与BC的比为1：2，∴△PED与△BPC的周长比1：2，△PED与△BPC的面积比1:4如图（2），∵△BPC∽△BEP，∴△BEP与△BPC的周长比等于对应边的比，即BP与BC的比，∵点P位于CD的中点，22\n设BC=2k，则PC=k，BP=k，∴BP与BC的比为：2，△BEP与△BPC的周长比为：2，△BEP与△BPC的面积比为5：4．同理：△PCE∽△BPC，周长比1：2，面积比1：4．66、（2022年江西南昌十五校联考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）先作△ABC关于直线成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．答案：解：如图：（1）…………………2分（2）……………………………4分22\n7、（2022年上海黄浦二模）（本题满分14分）如图，已知△中，，，，是边上的中点，是边上的点（不与端点重合），是边上的点，且∥，延长与直线相交于点，点是延长线上的点，且，联结，设，.（1）求关于的函数关系式及其定义域；（2）联结，当以为半径的和以为半径的外切时，求的正切值；（3）当与相似时，求的长．备用图a备用图b答案：解：（1）∵∥，∴，（2分）∵，，，∴，∵是边上的中点，∴，（1分）∵，，∴，∴（2分）22\n解：（2）∵以为半径的和以为半径的外切，∴，又，∴，（1分）∴，又，∴，∵，∴，∴，又，∴≌，∴，（1分）∵，∴，∴，（1分）∵，，是边上的中点，∴，（1分）∵∥，∴，∴，∴，（1分）（3）∵，当与相似时，①若时，过点作，垂足为点．∴，∴，∴，（1分）又，∴（1分）②若时，过点作，垂足为点．∴，∴，22\n∴，（1分）又，∴（1分）综上所述，当与相似时，的长为2或.（以上各题，若有其他解法，请参照评分标准酌情给分）8（2022山东省德州四模）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF,设OD＝t.⑴求tan∠FOB的值；⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S；⑶是否存在点C,使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．答案：解：(1)∵A(2,2)∴∠AOB=45°∴CD=OD=DE=EF=∴……………………（2分）(2)由△ACF～△AOB得∴∴……………………（4分）(3)要使△BEF与△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°∴只要或即:或①当时,,22\n∴∴(舍去)或∴B(6,0)…………………（2分）①当时,(Ⅰ)当B在E的左侧时,,∴∴(舍去)或∴B(1,0)……………（2分）(Ⅱ)当B在E的右侧时,,∴∴(舍去)或∴B(3,0)……………（2分）9、（2022山东省德州四模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形？⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．ABCDPQEABCD（备用图2）ABCD（备用图1）ABCDQEHP答案：解：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，∴DH=BC=4，HB=CD=6∴AH=2，AD=2…………………1分∵AP=x，∴PH=x－2，情况①：当AP=AD时，即x=2……………………………2分情况②：当AD=PD时，则AH=PH∴2=x－2，解得x=4………………………………………………………·3分情况③：当AP=PD时，则Rt△DPH中，x2=42+(x－2)2，解得x=5…………………………………4分∵2<x<8，∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形…………………………5分⑵易证：△DPH∽△PEB………………………………………………………………7分∴，∴整理得：y=(x－2)(8－x)=－x2+x－4………8分⑶若存在，则此时BE=BC=4，即y=－x2+x－4=4，整理得：x2－10x+32=0∵△=(－10)2－4×32<0，∴原方程无解，……………………………………………9分∴不存在点P，使得PQ经过点C……………………………………………………10分当BC满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过点C……………………………12分22\n相似形一、选择题1、（2022江苏东台实中）在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（）A、缩小2倍B、扩大2倍 C、不变 D、不能确定答案：C2、（2022·温州市中考模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AB=6，DE=3，则BC的长为A．9B．6C．4D．3答案：A3、（2022·湖州市中考模拟试卷3）如果两个相似三角形的相似比是1∶2，那么它们的面积比是().A.1∶2B.1∶C.1∶4D.2∶1答案：C4、6．(2022年河北二摸)两个相似三角形的面积比是9∶16，则这两个三角形的相似比是A．9∶16B．3∶4C．9∶4D．3∶16答案：B二、填空题1、（2022·湖州市中考模拟试卷1）在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为________m.答案：1002、（2022·湖州市中考模拟试卷7）与的比例中项是.答案：±13、(2022年河南西华县王营中学一摸)如图，已知△ABC的面积是的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）.答案：22\n三、解答题1、（2022安徽芜湖一模）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．（本小题满分12分）解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组解得：∴抛物线的解析式为……………………………（4分）（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4,∴P1若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4,∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）……………………（8分）（3）如图设点E，则22\n①当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：,即∵△=(-4)2-4×7=-12<0∴此方程无解②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：即，∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分）2、（2022江苏射阴特庸中学）如图a，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0).（1）按要求画图：在图a中，以原点O为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB缩小，得到△DOC，使△AOB与△DOC在原点O的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为,点B的对应点C的坐标为；（2）已知某抛物线经过B、C、D三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；（3）连接DB，若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD上，从点B向点D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发，经过t秒，当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？答案：(1)画图1分;C(-2,0),D(0,-3).……3分(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8.……5分∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3.……6分22\n大致图象如图所示.……7分(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形，此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s.……9分②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s.……10分③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s.……11分∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.……12分3、（2022温州市一模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上一点，且AD∥OC．（1）求证：△ADB∽△OBC．（2）若AB=6，BC=4．求AD的长度．（结果保留根号）答案：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，∴∠D＝∠OBC＝90°∵AD∥OC[∴∠A＝∠COB∴△ADB∽△OBC（2）∵AB=6,∴OB=3,∵BC=4,∵△ADB∽△OBC[∴4、(2022年深圳育才二中一摸)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC=，求的值．答案：22\n（1）证明：连接OC．∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC…………1分∵∠BOC=2∠BAC…………………………2分∴∠BOC=∠BAF∴OC∥AF…………………………………………3分∴CF⊥OC．∴CF是⊙O的切线…………………………4分（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．…………………………5分∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，∴△ABC∽△CBE………………………………………6分∴==（sin∠BAC）2==．…………………………7分∴=…………………………8分5、(2022年广西南丹中学一摸)如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．第25题图【解答】（1）（3分）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF，∴∠EFG=∠EGF，22\n∴EF=EG=AG，∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形．………………3分
（2）（3分）连接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，∴ON⊥BC，∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线，∴点N是线段BC的中点．………………6分（3）（4分）解法一：作OM⊥AB于M，则四边形OMBN是矩形。∴OM＝BN＝12BC＝1令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝MB＝x（外接圆半径），∵AM＝AB－MB＝4－x在Rt△AOM中，由勾股定理得：OA2＝AM2+OM2即x2=(4－x)2+12解之得：x＝∴AM＝4－＝又∵Rt△AOM∽Rt△EFO∴＝即＝∴OF＝∴FG＝2OF＝………………………………10分解法二：（4分）延长NO交AD于H，则AH＝BN＝1，NH＝4令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝x（外接圆半径），∵OH＝4－x在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝AH2+OH222\n即x2=12+(4－x)2解之得：x＝∴HO＝4－＝又∵Rt△AOM∽Rt△EFO∴＝即：＝∴OF＝∴FG＝2OF＝…………………………………………10分6、(2022年河北二摸)探究一：如图1，正△ABC中，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连结AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．探究二：如图2，若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，E为AB上任一点，△CDE为等腰三角形，DE=DC，且∠BAC=∠EDC，连接AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．ADBCE图1ADBCE图2答案：解（1）…………………………………………………………1分ADBCE（8-2）123与为正三角形…………………………………………………………2分在与中………………………………………………3分…………………………………………………4分22\n…………………………………………………………5分ADBCE（8-3）231（2）与为等腰三角形，且∠BAC=∠EDC即……………………………………………………7分……………………………………………………8分又………………………………………………………………10分7、(2022年河北二摸)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：；（3）点是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值．ABCPONM解：（1），又，．…………………………2分又是的直径，，，即，…………3分而是的半径，是的切线．………………………………………………4分（2），，又，∴∠AOB=∠CBO……………………………………………………6分∴BC=OC∴BC=AB……………………………………………………7分（3）连接，……………………………………………………………………8分22\n点是弧AB的中点，∴=，，∵，，…………………………9分又∵，，，∴BM=MN·MC，…………………………………10分又是的直径，=，．…………………………………………………………11分∴MN·MC=BM=()=8……………………………………………………12分22
