相似的应用一、选择题1、（2022届宝鸡市金台区第一次检测）如图是跷跷板横板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1.若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（）A．h2＝2h1B．h2＝1.5h1C．h2＝h1D．h2＝0.5h1答案：C2、（2022温州模拟）10.如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ,△DKM,△CNH的面积依次为S1，S2，S3。若S1+S3=10，则S2的值为（ ▲ ）A、2 B、3 C、4 D、5【答案】C二、填空题NMOAB第1题1．（2022北京房山区一模）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方场内的点B，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离MN=米．答案：3.422、（第11题）OxyABC（2022浙江台州二模）15．如图，直线与双曲线（）交于点．将直线向右平移个单位后，与双曲线（）交于点，与轴交于点，若，则．【答案】123、(2022浙江永嘉一模)16．如图，Rt△ABC中，∠B=Rt∠，点D在边AB上，过点D作DG∥25\nAC交BC于点G，分别过点D，G作DE∥BC，FG∥AB，DE与FG交于点O．当阴影面积等于梯形ADOF的面积时，则阴影面积与△ABC的面积之比为▲．【答案】xyOABO3x2y第16题图4、（2022山东德州特长展示）如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD:AB=:2，CP:BP=1:2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AOAP=OB2．其中正确的序号是_______________．（把你认为正确的序号都填上）①②③5、（第11题）OxyABC（2022浙江台州二模）15．如图，直线与双曲线（）交于点．将直线向右平移个单位后，与双曲线（）交于点，与轴交于点，若，则．【答案】12三、解答题1、（2022盐城市景山中学模拟题）(本题满分10分)如图，△ABC是等边三角形，且AB∥CE．(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6，AD＝2CD，①求E到BC的距离EH的长．②求BE的长25\n答案：（1）略（2）EH=（2）BE的长为2、（2022杭州江干区模拟）（本小题12分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，过点C作CD⊥AB于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处两条直角边分别交线段BC于点E，交线段AC于点F，在三角板绕着点D旋转的过程中他发现了线段BE,CE,CF,AF之间存在着某种数量关系.(1)旋转过程中，若点E是BC的中点，点F也是AC的中点吗?请说明理由；(2)旋转过程中，若DE⊥BC，那么成立吗?请说明理由；(3)旋转过程中，若点E是BC上任意一点，(2)中的结论还成立吗?(第22题)（第22题备用图）【答案】解：（1）∵CD⊥AB，E是BC中点∴DE=CE=BE∴∠DCE=∠EDC1分∵∠ACB=∠FDE=90°∴∠FCD=∠FDC∴∠FAD=∠FDA（等角的余角相等）2分∴AF=FD=FC即F也是AC中点1分（2）DE⊥BC则四边形DECF为矩形，1分所以DE=CF，FD=CE，1分(第22题)由△DEB∽△AFD得，1分则成立1分（3）由△DEB∽△DFC，△DEC∽△DFA，1分得，，2分则成立1分3、（2022年广州省惠州市模拟）“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行研究.得出结论：如图8，在中，的对边分别是，如果，那么.下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法.已知：如图9，在中，,.25\n求证：.ACBabc证明：如图9，延长到，使得.∴，∵，∴，∵，∴，又∴∽图9∴，即D∴根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）：已知：如图8，在中，.求证：.证明：延长到，使得.…………………………（2分）∴，…………………………………………………（3分）∵，………………………………（5分）∵，∴，又∴∽∴，即………………………………………（10分）∴………………………………………………………（12分）bCABac（图8）4、(2022浙江永嘉一模)16．如图，Rt△ABC中，∠B=Rt∠，点D在边AB上，过点D作DG∥AC交BC于点G，分别过点D，G作DE∥BC，FG∥AB，DE与FG交于点O．当阴影面积等于梯形ADOF的面积时，则阴影面积与△ABC的面积之比为▲．【答案】5、（2022浙江台州二模）23．如图1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C．连结BC，作CD⊥BC，交AY于点D．(1)求证：△ABC∽△ACD；25\n(2)若P是AY上一点，AP=4，且sinA=，①如图2，当点D与点P重合时，求R的值；图2②当点D与点P不重合时，试求PD的长(用R表示)．图1【答案】．(1)由已知，CD⊥BC，∴∠ADC=90°–∠CBD，又∵⊙O切AY于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBC=90°–∠CBD，∴∠ADC=∠OBC．又在⊙O中，OB=OC=R，∴∠OBC=∠ACB，∴∠ACB=∠ADC．又∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．……6分(2)由已知，sinA=，又OB=OC=R，OB⊥AB，∴在Rt△AOB中，AO===R，AB==R，∴AC=R+R=R．由(1)△ABC∽△ACD，∴，∴，因此AD=R．①当点D与点P重合时，AD=AP=4，∴R=4，∴R=．②当点D与点P不重合时，有以下两种可能：i)若点D在线段AP上(即0<R<)，PD=AP–AD=4–R；ii)若点D在射线PY上(即R>)，PD=AD–AP=R–4．综上，当点D在线段AP上(即0<R<)时，PD=4–R；当点D在射线PY上(即R>)时，PD=R–4．又当点D与点P重合(即R=)时，PD=0，故在题设条件下，总有PD=|R–4|(R>0)．……6分（没分类或缺少绝对值的扣2分）6、（2022浙江台州二模）24．如图，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．25\n(1)求直线l的函数解析式；(2)求点D的坐标；(3)抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC=S△DPB?若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在请说明理由．【答案】(1)配方,得y=(x–2)2–1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1)．取x=0代入y=x2–2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)．设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有解得∴直线l的解析式为y=x–3．……4分(2)连结AD交O′C于点E，∵点D由点A沿O′C翻折后得到，∴O′C垂直平分AD．由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴O′C=2．据面积关系，有×O′C×AE=×O′A×CA，∴AE=，AD=2AE=．作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴，∴AF=·AC=，DF=·O′A=，又∵OA=1，∴点D的纵坐标为1–=–，∴点D的坐标为(，–)．……4分(3)显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，∴点P是线段BC的中点，∴S△DPC=S△DPB．故要使S△DQC=S△DPB，只需S△DQC=S△DPC．过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．容易求得过点C(0，–3)、D(，–)的直线的解析式为y=x–3，据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=x–．令x2–2x＋1=x–，解得x1=2，x2=，代入y=x–，得y1=–1，y2=，所以抛物线上存在两点Q1(2，–1)(即点P)和Q2(，)，使得S△DQC=S△DPB．……6分(仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣2分)7、（2022温州模拟）24．（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，25\n点C的坐标为(0，-3)，B是射线CO上的一个动点，经过B点的直线交x轴于点A(直线AB总有经过第二、四象限)，且OA=2OB，动点P在直线AB上，设点P的纵坐标为m，线段CB的长度为t.（1）当t=7，且点P在第一象限时，连接PC交x轴于点D.①直接写出直线AB的解析式；②当CD=PD时，求m的值；③求△ACP的面积S.(用含m的代数式表示)（2）是否同时存在m、t，使得由A、C、O、P为顶点组成的四边形是等腰梯形？若存在，请求出所有满足要求的m、t的值；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）① ……………2分②过P作PH⊥OA交OA于H当CD=PD时，△COD≌△PHD ……………1分∴PH=OC，即m=3 ……………1分③由PH∥OB，得△APH∽△ABO∴，即∴AH=2m，即OH=8-2m∴S△BCP=×7×(8-2m)=28-7m ……………2分∴S=S△ABC-S△BCP=28-(28-7m)=7m ……………2分（2）①当B运动在y轴的正半轴上时..当点P在第一象限时，如图1，若四边形OCAP是等腰梯形，则AP=OC=3，由△APH∽△ABO，得，即 ……………………1分由∠BCA=∠BAC，得BA=BC=t在Rt△AOB中，AB=OB，即t=(t-3)∴ ……………………1分(注：t的值没有化简的不扣分).当点P在第二象限时，如图2，四边形AOPC为凹四边形(或说明两组对边都相交)，不可能为等腰梯形；.当点P在第四象限时，如图3，四边形OAPC中有一个角为直角，不可能为等腰梯形.(图3)(图2)(图1)25\n②当B运动在OC之间时..当点P在第二象限时，如图4，四边形OACP为凹四边形(或说明两组对边都相交)，不可能为等腰梯形；.当点P在第三象限时，如图5，四边形OACP为凹四边形(或说明两组对边都相交)，不可能为等腰梯形；.当点P在第四象限时，如图6，若四边形OACP是等腰梯形，则AP=OC=3，由△APH∽△ABO，得，即 …………………1分由∠BCA=∠BAC，得BA=BC=t（备用图）8、(2022浙江永嘉一模)（第4题图）22．（本题10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．（1）求证:⊙O与BC相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O的半径．【答案】解：（1）证明：如图，连结OD，作OE⊥BC于点E,…………1分∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC.…………1分∵OC是∠ACB的平分线，∴OD＝OE.…………1分∴⊙O与BC相切…………2分（2）解：∵OD⊥AC，∠ACB=90°，∴OD∥CB，∴△AOD∽△ABC，1分解法1∴即……………………2分25\n∴∴即圆的半径为2．……2分解法2∴设半径为x,∵OC是∠ACB的平分线,∴∠DCO=45°∴CD=OD=x，∴AD=AC－CD=3-x，……………………2分解得x=2，即圆的半径为2．……………………2分9、(2022浙江永嘉一模)24．（本题14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t>0）秒．（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；②当l经过点B时，求t的值．【答案】解：（1）在矩形ABCD中，……2分（2）如图①，过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ=3－t，由△AHP∽△ABC，得，∴PH=，……2分，…………2分.…………1分图②(3)①如图②，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，…………………………1分延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，则，，∴PO=AO－AP=1．由△APE∽△OPQ，得．……2分②（ⅰ）如图③，当点Q从B向A运动时l经过点B，25\nBQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°∴∠PBC＝∠PCBCP＝BP＝AP＝t∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5 ∴t＝2.5．………2分（ⅱ）如图④，当点Q从A向B运动时l经过点B，BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，过点P作PG⊥CB于点G由△PGC∽△ABC，得,BG＝4－=由勾股定理得，即，解得．………2分10、（2022重庆一中一模）25．如图,在平面直角坐标系中，点为二次函数与反比例函数在第一象限的交点，已知该抛物线交轴正负半轴分别于点、点，交轴yxy负半轴于点，且．（1）求二次函数和反比例函数的解析式；（2）已知点为抛物线上一点，且在第三象限，顺次连接点，求四边形面积的最大值；（3）在（2）中四边形面积最大的条件下，过点作轴于点，交的延长线于点,为线段上一点，且点到直线的距离等于线段的长，求点的坐标．【答案】25\n11解：（1）将A（2,3）代入中，∴..............1分解得∴...........4分∴当时，四边形DMBE的面积最大为9..................8分HEPFQO...............12分12.（2022重庆一中一模）26．已知矩形纸片ABCD中，，将该矩形纸片沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图1），再将这两张三角形纸片摆成如图2的形状，使得点B、C、F、D在同一直线上，且点C与点F重合．此时将△ABC以每秒1个单位长度的速度沿直线BD向左平移，直至点B与点D重合时停止运动．设△ABC运动的时间为t，（1）当t为何值时，点E落在线段AC上？（2）设在平移的过程中△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相对应t的取值范围；（3）当点B与点D重合时如图3，将△ABC绕点B旋转得到△A1BC1，直线EF分别与直线A1B、直线A1C1交于点M、N，是否存在这样的点M、N，使得△A1MN为等腰三角形？若存在，请求出此时线段EM的长度；若不存在，请说明理由．25\n【答案】13.解：（1）由题意知，Rt△ABC与Rt△DEF中，∠CAB=∠DFE=30°当点E落在AC上时，∠DCE=60°∴CD=DE，即，∴................2分（2）.................8分（3）存在这样的点M、N，理由如下：如下图，由题意得△A1MN∽△FMB，即当△A1MN为等腰三角形时，△FMB也为等腰三角形．①．当A1M=A1N时，即FB=FM=6，若点M在线段EF上时，EM=；若点M在线段EF的延长线上时，EM=．25\n①．当MA1=MN时，即MB=MF，则点M在线段BF的中垂线上，过M作MT⊥BF于点T，则BT=FT=3，∴MT=,MF=,∴EM=EF-MF=．③．当NA1=NM时，即BM=BF=6，此时点M在线段FE的延长线上，∠BMF=∠BFM=30°，可得MF=，则EM=MF-EF=．∴综上所述，存在这样的点M、N，使得△A1MN为等腰三角形，此时线段EM的长度为或..............12分14.（2022江西饶鹰中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，AD＝2，求AC的长．答案：解：（1）证明：∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠AOC=180°－2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90°.∵∠ACD=∠AOC,∴∠ACD+∠ACO=90°∴CD是⊙O的切线（2）连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ACD与△RtABC中，∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，∴△ACD∽△ABC∴，即AC2=AB·AD．∴AC=15、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF25\n是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.①求证：BD⊥CF；②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长.图1图2图3解（1）BD＝CF成立.理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,∵∠BAD=，∠CAF=，∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF.∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4分）（2）①证明：设BG交AC于点M.∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM.∵∠BMA＝∠CMG，∴△BMA∽△CMG.∴∠BGC＝∠BAC＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分）②过点F作FN⊥AC于点N.∵在正方形ADEF中，AD＝，∴AN＝FN＝.∵在等腰直角△ABC中，AB＝4，25\n∴CN＝AC－AN＝3，BC＝.Rt△FCN∽Rt△ABM，∴∴AM＝.∴CM＝AC－AM＝4－＝，.……（9分）∵△BMA∽△CMG，∴.∴.∴CG＝.……………………………………（11分）∴在Rt△BGC中，.……………………..（12分）16、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组25\n解得：∴抛物线的解析式为……………………………（4分）（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4,∴P1若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4,∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）……………………（8分）（3）如图设点E，则①当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：,即∵△=(-4)2-4×7=-12<0∴此方程无解②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：即，∵△=(-4)2-4×5=-4<025\n∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分）17、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(12分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，DE＝2，线段DE在AC边上运动(端点D从点A开始)，速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒．(1)求证：四边形MFCN是矩形；(2)设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；(3)在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值．ABCDEMFN第21题图备用图(1)证明：∵MF⊥AC，∴∠MFC＝90°．…………1分∵MN∥AC，∴∠MFC＋∠FMN＝180°．∴∠FMN＝90°．…………2分∵∠C＝90°，∴四边形MFCN是矩形．…………3分(若先证明四边形MFCN是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分)(2)解：当运动时间为t秒时，AD＝t，∵F为DE的中点，DE＝2，∴DF＝EF＝DE＝1．ABCDEMFN∴AF＝t＋1，FC＝8－(t＋1)＝7－t．∵四边形MFCN是矩形，∴MN＝FC＝7－t．…………4分又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝45°．∴在Rt△AMF中，MF＝AF＝t＋1，…………5分∴S＝S△MDE＋S△MNE＝DE·MF＋MN·MF25\n＝×2(t＋1)＋(7－t)(t＋1)＝－t2＋4t＋…………6分∵S＝－t2＋4t＋＝－(t－4)2＋∴当t＝4时，S有最大值．…………7分(若面积S用梯形面积公式求不扣分)(3)解：∵MN∥AC，∴∠NME＝∠DEM．…………8分①当△NME∽△DEM时，∴＝．…………9分∴＝1，解得：t＝5．…………10分②当△EMN∽△DEM时，∴＝．…………11分∴EM2＝NM·DE．在Rt△MEF中，ME2＝EF2＋MF2＝1＋(t＋1)2，∴1＋(t＋1)2＝2(7－t)．解得：t1＝2，t2＝－6(不合题意，舍去)综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．……12分18、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分10分)如图1，在长方形纸片ABCD中，，其中≥1，将它沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0＜n≤1．(1)如图2，当（即M点与D点重合），=2时，则=；（2）如图3，当（M为AD的中点），的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3)如图1，当（AB=2AD），的值发生变化时，的值是否发生变化？说明理由．25\n解：⑴⑵延长PM交EA延长线于G，则△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG.∴EP=EG=EA+AG=EA+DP.⑶设AD=1,AB=2,过E作EH⊥CD于H,∵∠EFP=∠FPN=∠MPD=∠EMA.∴△EFH∽ΔEMA∴∵AE的长度发生变化,∴的值将发生变化.19、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．、解：⑴由题意得：A(-1,0)、B(3,2)∴解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2⑵设AB交y轴于D，则D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=，∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠CDN=∠ADO,∴Rt△ADO∽Rt△PNM.∴.∴=×PN=PN.25\n∴当PN取最大值时,取最大值.设P(m,-m+m+2)N(m,m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.∵-1﹤m﹤3.∴当m=1时,PN取最大值.∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n)+t.∵E在抛物线上，∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形.∴DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2（n-）.∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=.∴t=-.∴存在点E，坐标为E(,-).20、(2022珠海市文园中学一模）将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板的直角顶点是点，，直角板的直角顶点在上，且，．三角板固定不动，将三角板绕点逆时针旋转，旋转角为（）．(1)当=时，；(2)当=时，三角板EDF绕点逆时针旋转至如图2位置，设DF与AC交于点M，DE交AB于点N，求四边形ANDM的面积。MNABCE22题图2FDABCDE22题图1F(3)如图3，设，四边形的面积为，求关于的表达式（不用写的取值范围）。MNABCE22题图3FD25\n答案：解（1）30度；……………………………………………………2分（2）当=45度，即同理又∴四边形ANDM为矩形．……………………………………………………………3分∴,∴~∵,∴∵∴同理得∴………………………………………………………………5分25.过D作于点,作于点,由（2）知四边形为矩形，,∴,,ABCDE22题图3FMNH1H2……………………………………………6分∵,∴,又∵∴~∴∴=……8分∴．………………9分21．（2022年广西梧州地区一模）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点在边BA上以每秒2个单位的速度由B向A移动，过E作EF∥BC交AC于F，再过F作FD∥AB交BC于D，设E移动的时间为x(秒),EF为y.（1）求y与x之间的函数关系式.（2）当x=时，四边形BDFE是菱形.（3）设四边形BDFE的面积为S，求S与x之间的函数关系式；并求E在AB边上何处时，四边形BDFE的面积最大？最大面积是多少？25\n解：（1）∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴∴∴……………3分（2）………………5分（3）在△ABC中∵AB=6，AC=8，BC=10∴AB2+AC2=BC2∴∠BAC=90°作EG⊥BD于G在△ABC和△GBE中∠ABC=∠GBE∠BAC=∠BGE∴△ABC∽△GBE∴∴∴………………8分∴=……………………10分∴当x=1.5时，S的最大值为12此时2x=3当点E在AB的中点时，四边形BDEF的面积最大，最大面积值为12…………………………12分25\n22．（2022年杭州拱墅区一模）如图，在Rt△AOB中，已知AO＝6，BO＝8，点E从A点出发，向O点移动，同时点F从O点出发沿OB－BA向点A移动，点E的速度为每秒1个单位，点F的速度为每秒3个单位，当其中一点到达终点时，另一点随即停止移动.设移动时间为x秒：（1）当x＝2时，求△AEF的面积；（2）当EF∥BO时，求x的值；（3）设△AEF的面积为y，求出y关于x的函数关系式.（1）当x＝2时，AE＝2，OF＝6，∴S△APQ＝6--------------------------------------------3分（2）∵Rt△AOB中，已知AO＝6，BO＝8，∴AB＝10当EF∥BO时，△AEF∽△ABO，∴，解得------------------------3分（3）当F与B重合时，，∴分两段讨论：①0＜x≤时，F在OB上移动，--------------------3分（含x范围1分，如果没有分段，应写出取值范围）②＜x≤6时，过F作OA的垂线FH，则FH∥OB，则即，∴FH＝∴＝-----------------------------------------3分（含x范围1分，如果没有分段，应写出取值范围）23．（2022年上海静安区二摸）（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）ABCED已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥CD，AB=12，．求：（1）∠DBC的余弦值；（第21题图）（2）DE的长．25\n答案：解：(1)∵Rt△ABD中，，………………………………………（1分）∴………………………………………………………（1分）∴BD=．…………………………………（1分）∵AD//BC，∴∠DBC=∠ADB，……………………………………………（1分）∴………………………………（1分）（2）在Rt△BCD中，，………………………………………（1分）∴．………………………………………………………（1分）∵AD//BC，∴．…………………………………………（1分）∴…………………………………………………………………（1分）∴DE=……………………………………………（1分）24．（2022年上海闵行区二摸）（本题共2小题，满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）(第21题图)AFDEBCG如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段AD的长为半径的⊙A与边AC相交于点E，AF⊥DE，垂足为点F，AF的延长线与边BC相交于点G，联结GE．已知DE=10，，．求：（1）⊙A的半径AD的长；（2）∠EGC的余切值．答案：．解：（1）在⊙A中，∵AF⊥DE，DE=10，∴．…………………………………（1分）在Rt△ADF中，由，25\n得，．…………………………………………（1分）利用勾股定理，得．∴．解得．……………………………（1分）∴AD=13．…………………………………………………………（1分）（2）由（1），可知．………………………………………（1分）∵，∴．………………………………………（1分）在⊙A中，AD=AE．又∵AB=AC，∴．∴DE//BC．…………………（1分）∴，．∴AG=36．∴．…………………………（1分）在Rt△EFG中，．……………………………（1分）即得．………………………………………………（1分）25
