考点29：直线、平面平行与垂直的判定与性质【考纲要求】1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．4．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．5．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．6．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．7．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题．【命题规律】直线与平面平行的判定以及平面与平面平行的判定是高考热点.预测2022年的高考以棱柱、棱锥为载体考查空间中的平行关系.线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质是高考热点，备考时应掌握线面、面面垂直的判定与性质定理，了解线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化思想，逐步学会综合运用数学知识分析解决问题的能力．【典型高考试题变式】（一）空间点、直线、平面之间的位置关系例1.【2022全国2卷（理）】α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β．②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n．③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β．④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有．（填写所有正确命题的编号）【答案】②③④-25-\n【方法技巧归纳】点、线、面位置关系常借助直线、平面的平行与垂直的判定定理与性质定理进行推理判断，并且要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【变式1】【改编例题中问法，考查对课本中公理的掌握情况】【2022安徽卷（理）】在下列命题中，不是公理的是（）A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】A选项是证明平面平行的一个定理，而是课本上的公理，体现了高考不脱离课本.【变式2】【改编例题的条件和问法】【2022届广东省珠海一中等六校第一次联考】已知是异面直线，平面，平面，直线满足，且，则（）A.，且B.，且C.与相交，且交线垂直于D.与相交，且交线平行于【答案】D【解析】若,则,与是异面直线矛盾;过点O,分别作，且，则确定一平面，则，设与相交于，则，且,因此,从而，选D.【变式3】【改编例题的条件和问法】【2022届陕西省西安市西北工业大学附属中学第七次模拟考试】在下列命题中，属于真命题的是（）A.直线都平行于平面，则B.设是直二面角，若直线，则-25-\nC.若直线在平面内的射影依次是一个点和一条直线，（且），则在内或与平行D.设是异面直线，若与平面平行，则与相交【答案】C（二）截面问题例2.【2022全国1卷】平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则，所成角的正弦值为（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示.通过寻找线线平行构造出平面，即平面，即研究与所成角的正弦值，易知，所以其正弦值为．故选A．解法二（原理同解法一）：过平面外一点作平面，并使平面，不妨将点变换成，作使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面-25-\n，如图所示，即研究与所成角的正弦值，易知，所以其正弦值为．故选A．【方法技巧归纳】几何体的截面问题主要依据公理3、线面平行的性质定理、面面平行的性质定理加以解决，有时需要扩充平面，延长直线找交点.【变式1】【改编例题的条件，正方体中动态截面问题】【2022安徽卷】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.①当时，为四边形②当时，为等腰梯形③当时，与的交点满足④当时，为六边形⑤当时，的面积为【答案】①②③⑤-25-\n【解析】（1），S等腰梯形，②正确，图如下：（2），S是菱形，面积为，⑤正确，图如下：（3），画图如下：，③正确（4），如图是五边形，④不正确；-25-\n（5），如下图，是四边形，故①正确【变式2】【改编例题的条件，截面面积的求解】【2022届江西九江市三模】如图所示，在正方体中，点在棱上，分别是棱的中点，过三点的截面将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面截得的上、下两部分面积之比为（）A.B.C.D.【答案】C-25-\n（三）平行关系例3.【2022全国2卷（理）改编】如图所示，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.证明：直线平面.【方法技巧归纳】1.证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．-25-\n2．判断或证明线面平行的方法：(1)线面平行的定义(反证法)；(2)线面平行的判定定理；(3)面面平行的性质定理.【变式1】【改编例题的问法，依据平行求参数值】【2022届广西桂林市第十八中学适应性考试改编】如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面平面，四边形为直角梯形，，，为中点，．（Ⅰ）是否存在实数使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；【解析】（1）运用线面平行的判定定理进行分析推证；（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式的运算及空间向量的数量积公式进行求解：解：（1）当，即为中点时平面，取中点，连平面平面所以，平面平面平面【变式2】【改编例题的问法，证明线线平行】【2022届湖北省六校联合体高三4月联考】在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，.-25-\n（1）设平面平面，证明：；（2）若是的中点，求三棱锥的体积.【解析】试题分析：（Ⅰ）已知条件易证平面，又平面平面，且平面，所以.（Ⅱ）利用等体积转化法可求.试题解析：(1)因为，平面，平面，所以平面.又平面平面，且平面，所以.(2)因为底面是菱形，所以.因为，且是中点，所以.又，所以面.所以是三棱锥的高.因为为边长为2的等边的中线，所以.因为为等腰的高线，所以.在中，，，，所以，所以.所以，因为是线段的中点，所以.所以.【变式3】【改编例题的问法，证明面面平行】【2022届河南省漯河市高级中学二模】如图，在矩形中，，平面，分别为的中点，点是上一个动点．(1)当是中点时，求证:平面平面；-25-\n(2)当时，求的值．【解析】试题分析：（1）推导出平面，平面，即可证明平面平面（2）平面可得，又，可得平面，由与相似，得出，即得解.试题解析：（1）∵分别是矩形的对边的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面，又是中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，平面，∴平面平面．（2）连接，∵平面，平面，∴．∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，在矩形中，由得与相似，∴，又，∴，∴（四）垂直关系例4.【2022全国1卷（理）改编题】如图所示，在四棱锥中，，且(1)证明：平面平面；-25-\n【解析】（1）证明：因为，所以，.又因为，所以，又因为，、平面所以平面，又平面，所以平面平面【方法技巧归纳】直线和平面垂直判定的四种方法(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)，如典题1的第(1)题中选项C；(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.【变式1】【改编例题的问法，证明线线垂直】【2022届广东省阳春市第一中学高三上学期第三次月考】在四棱锥中，平面，是的中点，，，.（1）求证：；【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，则，先根据线面垂直的性质证明；进而可得，再由线面判定定理即可证明平面，从而可得；【变式2】【改编例题的问法，证明面面垂直】【2022届广东省珠海市珠海二中、斗门一中期中联考】如下图所示的几何体中，为三棱柱，且，四边形为平行四边形，，.-25-\n（1）求证：；（2）若，求证：；（3）若，二面角的余弦值为若，求三棱锥的体积．【解析】试题分析：连交于点，为的中点，为的中点，即为的中位线，即可依据线面平行的判定定理证得根据线面垂直的判定定理要证一条直线不两条相交直线垂直，可得，结合余弦定理得.-25-\n（2）.又.在中由余弦定理知：.又.又.又.（3）作交于，连，由（2）知：..；由知：得；在中由平几知：，于是得为正方形.由（2）知：.【方法技巧】1.三种垂直关系的证明-25-\n(1)判定线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.(2)判定线面垂直的常用方法①利用线面垂直的判定定理；②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；④利用面面垂直的性质．(3)判定面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.2．线面垂直、面面垂直的常见性质(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．(2)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(3)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．3．三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【平行与垂直的综合应用问题处理的两个策略】(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含着的垂直关系.【典例试题演练】1．【2022届湖南省郴州市高三第四次质量检测】如图，矩形中，为边的中点，将直线翻转成平面)，若分别为线段-25-\n的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（）A.与平面垂直的直线必与直线垂直B.异面直线与所成角是定值C.一定存在某个位置，使D.三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值【答案】C【解析】取DC中点N，连MN,NB,则，所以平面平面，即平面，A正确；取的中点为F,连接MF,EF，则平面BEFM是平行四边形，所以为异面直线与所成角，故B正确；A关于直线DE对称点N，则平面，即过O与DE垂直的直线在平面上，故C错误；三棱锥外接球的半径为，故D正确.故选C.2．【2022届河北省衡水市武邑中学高三上学期第三次调研】已知、是两条不同直线，、、是三个不同平面，则下列正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D-25-\n3．【2022届福建省福州市闽侯第六中学高三上学期期中考试】对于直线和平面，下列条件中能得出的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】在中，，则与相交或平行，故错误；在中，，则与不一定垂直，故错误；在中，，由面面垂直的判定定理得，故正确；在中，，则由面面平行的判定定理得，故错误，故选C.4．【2022届高湖南省长沙市雅礼中学考模拟试卷（二）】已知正方体，点分别是线段和上的动点，给出下列结论①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在点，使得。其中正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3-25-\n【答案】B【解析】试题分析：由平面，根据三垂线定理，①对于任意给定的点，在平面的射影为，∴存在点，使得；②如果对于任意给定的点，存在点，使得，那么，又，可知过有两条直线与垂直，故②错误；③只有垂直在平面中的射影时，，故③正确；④只有平面时，④才正确，由于过点作平面的垂线与无交点，故④错误.5．【2022届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上学期第一次联考】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】试题分析：若，，，则直线与可能平行或异面，A错误；若，，且，则直线与可能平行或相交或异面，B错误；若，，，则，由于垂直于同一平面的两条直线互相平行，C正确；选C.6．【2022届南宁市高三毕业班摸底联考】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）.①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.【答案】①③④-25-\n7．【2022届湖北省武汉市武昌区高三1月调研】在矩形中，，现将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线与直线垂直；②存在某个位置，使得直线与直线垂直；③存在某个位置，使得直线与直线垂直.其中正确结论的序号是__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】②【解析】如下图，若，已知，那么平面，则，这与矛盾，点不会重合，所以①不正确；若，已知中，则平面，点在平面内的射影落在线段上，并且，所以存在某个位置使；所以②成立；若，已知，所以平面，即，那，这与已知矛盾，所以③不正确.8．【2022届广西桂林市柳州市高三综合模拟金卷（1）】在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，若存在实数使得时，平面平面，则__________．【答案】-25-\n【解析】当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．理由如下：当Q为CC1的中点时，∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．点睛:当Q为CC1的中点时，QB∥PA，D1B∥PO，由此能求出平面D1BQ∥平面PAO．9．【2022届湖南师大附中高三下学期高考模拟三】已知立方体分别是棱，中点，从中任取两点确定的直线中，与平面平行的有__________条．【答案】610．【2022届广东省珠海市高三摸底考试】中秋节即将到来，为了做好中秋节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片-25-\n剪去四个全等的等腰三角形，，，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒，其中重合于点，与重合，与重合，与重合，与重合（如图所示）．（1）求证：平面平面；（2）已知，过作交于点，求的值．【解析】试题分析：（1）拼接成底面的四个角必为全等的等腰直角三角形，从而，由此能证明进而得平面平面；（2）Rt△SHO中，SO=5，，Rt△EMO中，，试题解析：(1)∵折后A，B，C，D重合于一点O，∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，∴SE=SG，∴EG⊥SO，-25-\n又∵EG⊂平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．（2）解：依题意，当时，即Rt△SHO中，SO=5，，Rt△EMO中，，∴．11．【2022届吉林省百校联盟高三TOP20九月联考】如图所示，在已知三棱柱中，，，，平面平面，点在线段上，点是线段的中点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)点为线段上靠近点的三等分点；(2).【解析】试题分析：(1)结合线面平行的性质和判断定理可得点为线段上靠近点的三等分点；(2)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可得直线与平面所成角的正弦值是.-25-\n（2）不妨设，由（1）知，又平面平面，平面平面，平面，∴平面.故，，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，∵，，∴为正三角形，，∴，，，，∴，，设平面的一个法向量，则由，可得令，则，∵，且，故，故，故直线与平面所成角的正弦值为.12．【2022届黑龙江省海林市朝鲜中学高三高考综合卷（一）】如图，在四棱锥中，侧面底面，，，，，分别为，的中点．-25-\n（1）求证：平面；（2）求证：平面．【解析】试题分析：证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；证明线面垂直，第一可利用线面垂直的判定定理，证明直线与平面内的两条相交直线垂直，进而说明线面垂直.第二可建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，借助空间向量解题，利用两个向量数量积为零，说明线线垂直，也是很简单的做法.（2）因为，且为的中点，所以． 又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以．在平行四边形中，因为，所以四边形为菱形，所以，又平面，平面，，所以平面．13．【2022届河南省漯河市高级中学高三上学期第三次模拟】如图，为圆的直径，点在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面垂直，且.（1）求证：平面平面；-25-\n（2）在线段上是否存在了点，使得平面？并说明理由.【解析】试题分析：（1）要证明平面平面，只需证平面，则只需证,,再根据题目条件分别证明即可；（2）首先猜测存在的中点满足平面，作辅助线，通过，由线面平行的判定定理，证明平面。（2）如图，取的中点的中点，连接，则，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，即存在一点为的中点，使得平面.-25-\n-25-
