考点30：异面直线所成的角【考纲要求】1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【命题规律】异面直线的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2022年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题．【典型高考试题变式】（一）空间直线与直线夹角的问题例1.【2022全国3卷（理）】，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线与成角时，与成角；②当直线与成角时，与成角；③直线与所称角的最小值为；④直线与所称角的最小值为；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意知，，，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故，，边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．则，，直线的方向单位向量，．点起始坐标为，直线的方向单位向量，．设点在运动过程中的坐标，-19-\n其中为与的夹角，．那么在运动过程中的向量，．当与夹角为时，即，．因为，所以．所以．因为．所以，此时与夹角为．所以②正确，①错误．故填②③.【方法技巧归纳】求空间两条直线的夹角，可以先考察两条直线是否异面垂直，若垂直，则化为线面垂直问题或用平移法转化为共面垂直，结合勾股定理加以证明.一般情形，可通过平移后通过解斜三角形求两条异面直线所成的角.【变式1】【改编例题中条件，求两直线的夹角】【2022浙江（文）】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°.沿直线AC将ACD翻折成ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______.【答案】【解析】试题分析：如图，连接BD′，设直线与所成的角为．-19-\n是的中点.由已知得，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，.作于，连接D′H翻折过程中，始终与垂直，则，则，，因此（设∠DHD′=α），则，与平行的单位向量为，所以＝，所以时，取得最大值，为．【变式二】【改编例题中结论，求解动态问题】【2022浙江嵊州市二模】在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（）-19-\nA．对任意的，，存在点，使得B．当且仅当时，存在点，使得C．当且仅当时，存在点，使得D．当且仅当时，存在点，使得【答案】C（二）异面直线的夹角例2.【2022全国2卷（理）】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）.A．B．-19-\nC．D．【答案】C【解析】，，分别为，，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为），可知，，作中点，则可知为直角三角形．，中，，则，则中，，则中，.又异面线所成角为，则余弦值为．故选C.【方法技巧归纳】1.利用向量法求异面直线所成角的步骤-19-\n2．注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．【变式1】【改编题目条件和结论，利用向量法求解】【2022届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学四模】已知正四棱锥中，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】建立如图所示空间直角坐标系，可知．则，则．故本题答案选C．-19-\n【变式2】【改编题目条件和结论，利用普通方法求解】【2022届河北省邢台市高三上学期第二次月考】如图，在四棱锥中，平面，为线段的中点，底面为菱形，若，，则异面直线与所成角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图，平面从而，又所以故，故选B.-19-\n【数学思想】1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.2.转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改.非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到，一定要特别重视！3.转化与化归的原则（1）熟悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题；（2）直观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；（3）简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.（4）正难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破的途径；（5）低维度原则：将高维度问题转化成低维度问题.4.转化与化归的基本类型（1）正与反、一般与特殊的转化；（2）常量与变量的转化；（3）数与形的转化；（4）数学各分支之间的转化；（5）相等与不相等之间的转化；（6）实际问题与数学模型的转化.5．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；-19-\n（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决.立体几何中的转化与化归，主要利用直接转化法或坐标法，将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解决.【空间角的范围处理错误注意点】解决此类问题，要注意各种空间角的给定范围，容易在范围上出现问题.【典例试题演练】1．【2022届河北省武邑中学五模】正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图，设正四面体的棱长是1，则，高，设点-19-\n在底面内的射影是，则，所以即为所求异面直线所成角，则，应选答案B。2．【2022届河南省六市高三下学期第二次联考】如图，，，，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形的序号为（）A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】D3．【2022届四川省广元市高三第三次高考适应性统考】对于四面体,有以下命题:①若,则点在底面内的射影是的外心；②若,,则点在底面内的射影是的内心；③四面体的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是()A.①③B.③④C.①②③D.①③④【答案】D-19-\n【解析】由题设，故顶点在底面内的射影是底面中心，故命题①是正确的；四面体中的四个面中最多有四个直角三角形，如图，故命题③是正确的；对于命题②，如图，尽管,,点在底面内的射影不是的内心，即命题②是错误的；若四面体的6条棱都为1，则它的体积为，又设内切球的半径为，则，则，即命题④也是正确的。应选答案D。4．【2022届山西省临汾市高三考前适应性训练】已知平面，及直线下列说法正确的是（）A.若直线与平面所成角都是，则这两条直线平行B.若直线与平面所成角都是，则这两条直线不可能垂直C.若直线平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行D.若直线垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直【答案】D【解析】解：由题意逐一分析所给的选项：若直线与平面所成角都是，则这两条直线不一定平行；若直线与平面所成角都是，则这两条直线可能垂直；若直线平行，则这两条直线中可能两条都与平面不平行；若直线垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直；本题选择D选项.-19-\n5．【2022届河北省张家口市高三上学期期末考试】三棱柱中，为等边三角形，平面，，，分别是，的中点，则与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】三棱柱中，为等边三角形，如图：的中点为，连结，则有，，所以四边形为平行四边形，所以或其补角即为所求，不妨设，则有，在中，由余弦定理可得：，故选C.6．【2022届吉林省百校联盟高三TOP20九月联考】如图，在长方体中，，，点是长方体外的一点，过点作直线，记直线与直线，的夹角分别为，，若，则满足条件的直线（）A.有1条B.有2条C.有3条D.有4条【答案】D-19-\n【解析】由题意有：，即：，则，考虑与直线所成的角相同的直线，其在平面内的射影应该平分，这样的直线只有1条，同理其补角也存在1条满足题意的直线，这样找到2条满足题意的直线，同理，在处也可以找到2条满足题意的直线；综上可得：满足条件的直线有4条。本题选择D选项.7．【2022届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下学期第六次模拟】在正三棱柱中，，则与所成角的大小为()A.B.C.D.【答案】D【解析】以A为原点,在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴,以AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系如图所示，设BB1=,则A(0,0,0),，,，,，-19-\n∴AB1与C1B所成角的大小为.本题选择D选项.8．【2022届陕西省西安市长安区第一中学高三4月模拟】如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】如图，取的中点，连接，依题意得，，所以为异面直线与所成角，因为，所以，故选C.9．【2022年福建泉州新世纪中学模考】在四面体中，若，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】如图所示，该四面体为长方体的四个顶点，设长方体的长宽高分别为，则：-19-\n，解得：，问题等价于求解线段AB与线段夹角的余弦值，结合边长和余弦定理可得：直线与所成角的余弦值为。本题选择D选项.10．【2022届四川省成都市高中毕业班第三次诊断检测】在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，可补形成正方体如下图：-19-\n所以异面直线与所成角就是与所以角，而为直角三角形，所以所成角为，。选A.11．【2022届山西省孝义市高三下学期考前热身训练】【在长方体中,,点在线段上运动,当异面直线与所成的角最大时,则三棱锥的体积为()A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示，连结，则为锐角，即为异面直线与所成的角，很明显，当点P位于点A处时异面直线与所成的角最大,此时.本题选择B选项.-19-\n12．【2022届广西柳州市高三毕业班上学期摸底联考】如图所示，在四面体中，若截面是正方形，则下列命题中正确的是__________．(将所有正确答案序号填写到横线上)①；②截面；③；④异面直线与所成的角为．【答案】①②④13．【2022届河北省衡水中学高三下学期第三次摸底考试】已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为__________．【答案】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取,则-19-\n14．【2022届安徽省江淮十校高三下学期第三次联考】如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成.若为线段的中点，则在翻折过程中：①是定值；②点在某个球面上运动；③存在某个位置，使；④存在某个位置，使平面.其中正确的命题是_________.【答案】①②④假设③正确，即在某个位置，使得DE⊥A1C，又矩形ABCD中，，满足，从而DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾.所以存在某个位置，使得DE⊥A1C不正确，即③不正确.-19-\n综上，正确的命题是①②④-19-
