考点31：直线与平面所成的角【考纲要求】1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【命题规律】直线与平面所成的角的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2022年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题．【典型高考试题变式】（一）常规方法求解线面角例1.【2022全国2卷（理）】如图所示，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）如图所示，设中点为，联结，.因为，分别为，中点，所以且，又因为，，所以且，即四边形为平行四边形，所以，因此平面.-23-\n是在平面上的射影，所以是直线与平面所成的角.设.在中，由，，得，在中，由，得，在中，，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值是.【方法技巧归纳】求直线和平面所成的角，关键在于找到斜线在平面上的射影，找射影的关键在于找到平面的垂线段，得到垂足，连接斜足和垂足就是射影.【变式1】【改编例题的问法，求解线面角的其他形式】【2022四川卷（理）】如图在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是()-23-\nA.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【变式2】【改变例题的条件和方法，利用等体积法求解线面角的问题】【2022届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】如图，圆锥的高，底面⊙的直径，是圆上一点，且，为的中点，则直线和平面所成角的余弦值为__________．【答案】-23-\n（二）利用空间向量法求解线面角例2.【2022北京卷（理）】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．（1）求证：为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）设交点为，联结.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.（2）取的中点，联结，.因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，则，，，-23-\n，.设平面的法向量为，则，即.令，则，.于是.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.【方法技巧归纳】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【变式1】【改变例题的条件，求解线面角的正弦值】【2022届河南省中原名校高三第三次质量考评试卷】在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面．-23-\n（1）证明：平面平面；（2）若，的重心为，求直线与平面所成角的正弦值．【解析】试题分析：（1）通过证明，，推出平面，然后证明平面平面．（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面的法向量，设直线与平面所成角，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值即可．试题解析：（1）∵为矩形，，，是的中点，∴，，，，从而，，∵，，∴，∴，∴，从而，∵平面，平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．-23-\n（2）如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．在矩形中，由于，所以和相似，从而，又，，∴，，，，∴，，，，，∵为的重心，∴，，设平面的法向量为，，，由可得整理得令，则，，∴，设直线与平面所成角，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．-23-\n【变式2】【改编例题条件和问题，求解线面角的正弦值】【2022届吉林省百校联盟高三TOP20九月联考】如图所示，在已知三棱柱中，，，，平面平面，点在线段上，点是线段的中点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】试题分析：(1)结合线面平行的性质和判断定理可得点为线段上靠近点的三等分点；(2)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可得直线与平面所成角的正弦值是.试题解析：-23-\n（2）不妨设，由（1）知，又平面平面，平面平面，平面，∴平面.故，，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，∵，，∴为正三角形，，∴，，，，∴，，设平面的一个法向量，则由，可得令，则，∵，且，故，故，故直线与平面所成角的正弦值为.【数学思想】1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.2.转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改.非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到，一定要特别重视！3.转化与化归的原则（1）熟悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题；-23-\n（2）直观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；（3）简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.（4）正难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破的途径；（5）低维度原则：将高维度问题转化成低维度问题.4.转化与化归的基本类型（1）正与反、一般与特殊的转化；（2）常量与变量的转化；（3）数与形的转化；（4）数学各分支之间的转化；（5）相等与不相等之间的转化；（6）实际问题与数学模型的转化.5．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决.立体几何中的转化与化归，主要利用直接转化法或坐标法，将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解决.【空间角的范围处理错误注意点】解决此类问题，要注意各种空间角的给定范围，容易在范围上出现问题.-23-\n【典例试题演练】1．【2022届湖南省长沙市长郡中学高三下学期临考冲刺】如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的投影恰为的中点，与平面所成的角为，则该三棱柱的体积为（）A.1B.C.3D.【答案】C【解析】由题意得,所以三棱柱的体积为,选C.2．【2022届福建省莆田第一中学高三考前模拟】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,点O在BC上,且BO=OC,过点O的直线l与直线AA1,C1D1分别交于M,N两点,则MN与面ADD1A1所成角的正弦值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】将平面延展与交于连结，并延长与延长线交于，平面交-23-\n于，可知等于与成角,，由正方体的性质可知，，故选.3．【2022届河南省豫北重点中学高三4月联考】如图，三棱锥中，为边长为的等边三角形，是线段的中点，，且，，，则与平面所成角的正切值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由勾股定理,过作于,由,所以为与平面所成的角，在直角三角形中,,.4．【2022届四川省大教育联盟高中毕业班第三次诊断】将正方形沿对角线折成直二面角后的图形如图所示，若为线段的中点，则直线与平面所成角的余弦为（）A.B.C.D.【答案】C-23-\n5．【2022届四川省广元市三诊】对于四面体,有以下命题:①若,则,,与底面所成的角相等；②若,,则点在底面内的射影是的内心；③四面体的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是()A.①③B.③④C.①②③D.①③④【答案】D【解析】①正确，若，则在底面的射影相等，即与底面所成角相等；②不正确，如图，点在平面的射影为点，连结，可得，所以点是的垂心；③正确，如图，平面，，其中有4个直角三角形；-23-\n④正确，正四面体的内切球的半径为，棱长为1，高为，根据等体积公式，解得：，那么内切球的表面积，故选D.6．【2022届浙江温州中学高三11月模拟考】如图四边形，，.现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】试题分析：如图所示，取中点，连结，，∴即为二面角的平面角，而，，∴，∴-23-\n，设异面直线，所成的角为，∴，故选D.7．【2022届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考】在长方体中,底面是边长为的正方形,,是的中点,过作平面与平面交于点,则与平面所成角的正切值为__________．【答案】【解析】连结AC、BD，交于点O，∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，∴BD⊥平面ACC1A1，则当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1，∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角，在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，则，∵A1C1=2AO=√2AB=2，，∴，∴AF=，∴．∴CF与平面ABCD所成角的正切值为．故答案为：．-23-\n8．【2022届河北省石家庄市高三第二次质量检测】设二面角的大小为，点在平面内，点在上，且，则与平面所成的角的大小为__________．【答案】30°【解析】如图，作平面于点，在平面内过作于点，连接，由三垂线定理得，所以为二面角的平面角，所以，又，所以．连接，则为与平面的所成角．设，则，，，，所以，所以．9．【2022届湖北省武汉市武昌区高三1月调研考试】在矩形中，，现将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线与直线垂直；②存在某个位置，使得直线与直线垂直；③存在某个位置，使得直线与直线垂直.其中正确结论的序号是__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】②-23-\n10．【2022届南宁市高三毕业班摸底联考】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）.①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.【答案】①③④【解析】折之前,折之后也垂直，所以面，折之前均为直角，折之后三点重合，所以折之后AH,EH，FH三条直线两两垂直。所以所在平面，②对，同时可知，又所在平面，过AE不可能做两个平面与直线HF垂直，③错，如果，则有，与②中矛盾，所以④错。若所在平面，则与②中矛盾，所以①也错。选①③④。11．【2022届湖南师大附中高三上学期月考试卷（三）】如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形，.-23-\n（Ⅰ）若，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若，，，求与平面所成角.【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，证明为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可证明平面；（2）先证明，，可证明平面，从而可证明平面平面；（3）做于为与平面所成角，根据余弦定理及等腰三角形性质即可求与平面所成角.试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，.∵对角线与的交点为，∴，∵，∴，∴为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；（Ⅱ）证明：∵四边形为菱形，∴，∵，是的中点，∴，∵，∴平面，∵平面，-23-\n∴平面平面；（Ⅲ）作于.∵平面平面，∴平面，∴为与平面所成角，由题意，为正三角形，，∵，∴为正三角形，∴.中，由余弦定理可得，∴，∴，∴与平面所成角.12．【2022届云南省昆明市高新技术开发区高考适应性月考】如图所示，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为线段上一点，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值-23-\n【解析】试题分析：证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，进而说明线面平行；本题借助平行四边形可以得到线线平行，进而证明线面平行；第二步求线面角，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，借助空间向量，求法向量，利用公式求角.（Ⅱ）解：如图，取的中点，连接．由得，从而，且．以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意知，，，，，，，，．设为平面的一个法向量，则即可取．于是，所以直线与平面所成角的正弦值为．-23-\n13．【2022届湖北省华师一附中高三9月调研】如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心(Ⅰ)求与平面ABD所成角的余弦值(Ⅱ)求点到平面的距离【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用线面角的定义找出线面角，再利用解直角三角形进行求解；（Ⅱ）先利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，再利用利用面面垂直的性质作出线面垂直，得到点到平面的距离.试题解析：（Ⅰ）连结，则是在的射影，即是与平面所成的角.设为中点，连结，∵分别是的中点，又平面，则为正方形，连接，是的重心，且，在直角三角形中，，，，，-23-\n即14．【2022届湖北省荆州中学高三上学期第一次双周考】如图，三棱柱中，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值.【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和直线的方向向量可得直线与平面-23-\n所成角的正弦值是.试题解析：（1）证明：如图所示，取的中点，连接，，.因为，所以.由于，，故为等边三角形，所以.因为，所以.又，故（2）由（1）知，，又，交线为，所以，故两两相互垂直.以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立如图（2）所示的空间直角坐标系.由题设知，则，，.设是平面的法向量，则即可取故.所以与平面所成角的正弦值为-23-
