考点20平面向量【考纲要求】1.了解向量的实际背景．2.了解向量线性运算的性质及其几何意义．3.了解平面向量的基本定理及其意义．4.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．5.理解平面向量的概念及向量的几何表示，理解两个向量相等的含义．6.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．7.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．8.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．9.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．10.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．11.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．12.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．13.会用向量方法解决某些简单的实际问题．14会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．【命题规律】高考对平面向量的考查，在选择题或填空题中一般是平面向量的线性运算、坐标运算，用向量方法解决平面几何问题，在解答题中也会出现与共线向量、数量积有关的问题.【典型高考试题变式】（一）平面向量的坐标运算例1.【2022山东卷】已知向量a=（2,6）,b=，若，则.【答案】【解析】由得，解得.【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略:（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．11\n(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.【变式1】【改变条件】已知向量a=（2,6），ab=，若，则.【答案】3【解析】由已知可得，因为，所以，解得.【变式2】【改变结论】已知向量a=（2,6），b=，若，则.【答案】【解析】由得，解得，所以.例2.【2022新课标卷】已知向量，且，则.【答案】2【解析】由题意可得：，所以.【名师点睛】向量垂直：.【变式1】【改变例题中的条件】已知向量，（，1）．若向量与垂直，则________．【答案】7【解析】由题得，因为向量与垂直，所以，所以，解得.【变式2】【改变例题中的结论】已知向量，且，则.【答案】【解析】由题意，，.所以，所以.（二）平面向量的夹角例3.【2022北京卷】已知向量，则a与b11\n夹角的大小为_________.【答案】【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.【变式1】【改变已知条件】已知向量，，则a与b夹角的大小为_________.【答案】【解析】由已知得，因为，所以.【变式2】【改变例题中的结论】已知向量，若a与b夹角为，则_________.【答案】【解析】由已知得，因为，所以，所以.（三）数量积的运用例4.【2022天津卷】在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为.【答案】11\n【解析】，，所以，所以.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.【变式1】【改变例题的条件】在等边△ABC中，若，，（），且，则的值为.【答案】【变式2】【改变例题的条件与结论】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为.【答案】【解析】设，，所以，，，所以.（四）平面向量与三角函数的交汇例5.【2022江苏卷】已知向量11\n（1）若a∥b，求x的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.【解析】（1）因为，，，所以.若，则，与矛盾，故.于是.又，所以.（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值.【名师点睛】向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.【变式1】【改变例题的结论】已知向量（1）若ab，求x的值；（2）记，解不等式.【解析】（1）因为，，，所以.所以.因为，所以.11\n【变式2】【改变例题中的条件与结论】设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，．（1）若|a|＝|b|，求x的值；（2）设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．【解析】（1）由|a|2＝(sinx)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又，从而sinx＝，所以x＝.（2）＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝＋，当时，取最大值1.所以的最大值为.【数学思想】①数形结合思想:向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．②分类讨论思想:对向量的方向、向量的位置关系、参数进行讨论．③转化与化归思想.11\n【温馨提示】①作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．②在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．③注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．④要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．⑤0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·00≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．⑥a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.【典例试题演练】1.【2022河北省武邑中学调研】已知向量，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由，，得，所以，故选D.2.【2022河南郑州一中测试】在中，为边的中点，若，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】.故选D.3.【2022广州市海珠区测试】已知向量的夹角为，则（）A.B.C.D.【答案】D11\n4.【2022湖北省优质高中联考】已知向量，若，则向量与向量的夹角的余弦值是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因为，所以，解得，当时，，故选A．5.【2022江西赣中南五校联考】外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以三点共线，即；又因为，所以，所以，故向量在向量上的投影为，故选A．6.【2022湖北省黄石市调研】已知向量且，则（）A．3B．C．D．【答案】C【解析】由，得，所以，故选C.7.【2022河北省衡水中学联考】已知平面向量满足，且，则向量与11\n夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以，故选C.8.【2022湖南永州市模拟，11】已知向量与向量的夹角为，且，又向量（且，），则的最大值为（）A．B．C．D．3【答案】A9.【2022四川巴中市“零诊”】已知向量与共线且方向相同，则.【答案】【解析】由题意得，所以，当时，，方向相反，舍去，故.10.【2022云南、四川、贵州联考】在矩形中，，，则______.【答案】12【解析】，，故，，所以.11\n11.【2022江西南昌摸底】已知平面向量，，若与垂直，则实数.【答案】19【解析】，所以由得12.【2022河北唐山市摸底】已知向量，则___________．【答案】13.【2022江苏省南京市调研】在△中，，，，．若，则实数的值为______．【答案】【解析】因为，所以由余弦定理可得，又根据余弦定理可得，，解得．14.【2022河南省南阳市六校联考】已知，.（1）若，求的值；11\n（2）求与的夹角.【解析】（1），由，得，解得或.（2），.15.【2022河南中原名校一联】在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．（2）由余弦定理得，，因此，当且仅当时，等号成立；因此面积，因此面积的最大值．11
