专题17三角函数的性质与应用【考纲要求】（1）了解三角函数的周期性；（2）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与轴的交点等）；（3）理解正切函数在区间内的单调性．【命题规律】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现选择题、填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．预计2022年高考对三角函数的性质的考查仍会集中在对称性、单调性、周期性和最值问题，体现整体思想的应用．【典型高考试题变式】（一）三角函数的周期性例1 【2022山东】函数最小正周期为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，故选C．【方法技巧归纳】求解三角函数的周期性的方法：（1）求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．（2）三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成，或等类型后，用基本结论或来确定；③根据图象来判断．【变式1】【例题中的解析式改变了，选择题改为填空题】函数的最小正周期是__________．17\n【答案】【解析】∵＝，∴函数的最小正周期是．【变式2】【例题中的解析式改为了含有参数的解析式，求解问题改为确定参数的值】已知函数的最小正周期是，则正数的值为＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】∵，∴．（二）三角函数的单调性例2 【2022新课标1】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）A． B．C． D．【答案】D17\n【方法技巧归纳】求解三角函数的单调性的方法：（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．（2）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法：①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．【变式1】【例题中由图象先求解析式改为由文字条件求解析式，其它形式没改变】已知函数的一个零点是，是的图像的一条对称轴，则取最小值时，的单调增区间是（ ）A． B．C． D．【答案】B【变式2】【例题中由图象先求解析式改为直接给出解析式，所求改为求某指定区间上的单调区间】函数的单调增区间是_________．【答案】【解析】因为,所以增区间为,即,取可得17\n,又,故,应填答案．（三）三角函数的奇偶性例3 【2022安徽】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是（ ）A． B. C． D．【答案】C【方法技巧归纳】求解三角函数的奇偶性的策略：（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；（2）两个常见结论：①若函数为奇函数，则；若函数为偶函数，则；②若函数为奇函数，则；若函数为偶函数，则．【变式1】【命题中由先求解析式改为直接给出解析，且由偶函数改为奇函数，所求基本不变】若函数是奇函数，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数是奇函数，所以17\n，所以时，，故选C．【变式2】【命题中解析式变为含有初相外的另一参数的非标准正弦型函数，所求解问题没有变】使函数是奇函数，且最小正周期为，则＿＿＿．【答案】【解析】函数=为奇函数,所以,即．当时，．（四）三角函数的对称性例4 【2022新课标2】若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ）A．x=(k∈Z) B．x=(k∈Z) C．x=(k∈Z) D．x=(k∈Z)【答案】B【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位长度得函数＝的图像，则平移后函数图像的对称轴为，即，故选B．【方法技巧归纳】求解三角函数对称性的方法：（1）求函数的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由的对称中心是，，所以的中心，由方程解出即可；②因为的对称轴是，，所以可由解出，即为函数的对称轴；(3)注意的对称中心为；17\n（2）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线或点是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行判断．【变式1】【例题由正弦改为余弦，由求对称轴改为求对称中心】将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象的一个对称中心为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】将函数向左平移个单位后，得到的的图象，令，求得，令，可得该函数的图象的一个中心对称中心为，故选A．【变式2】【由例题求函数的对称轴改为根据函数的对称性求解参数】如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，知，得，，则由条件，知当时，的最小值为，故选C．（五）三角函数的最值例5 【2022课标II】函数的最大值是____________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则＝17\n＝，由可得，当时，函数取得最大值1．【方法技巧归纳】求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型及求解策略：（1）形如的三角函数化为的形式，再利用正弦曲线的知识求最值(值域)；（2）形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数求值域(最值)；（3）形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数求值域(最值).【变式1】【例题中的解析式改变了，给定区间改变了，求最大值改为求最小值】函数，则的最小值为___________．【答案】【解析】，所以当时，取最小值【变式2】【例题中解析式改为含有字母的解析式，所求最大值没改】设为常数，且，则函数的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【数学思想】1．函数与方程的思想主要体现在求解析式中含有参数的函数性质问题时，通常要通过建立方程解决；求解三角函数的最值有时可以转化二次函数，利用二次函数的最值知识求解．2．转化与化归的思想17\n主要体现在求解函数的性质（奇偶性、对称性、单调性、周期性最值等）时，通常要将函数转化为形如的形式，再利用正弦曲线的性质求解．3．分类讨论的思想主要体现在求解解析式、定义域中含有参数的函数性质时，由于参数的取值范围不同，可能造成不同的结果，此时常常要考虑利用分类讨论的思想求解．4．整体代换的思想求较为复杂的三角函数的性质时，首先化简成的形式，通常将看作一个整体，代入的单调区间、对称轴（或中心）可求得相应的单调性区间与对称轴（或中心）．【注意事项】1．求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结．2．闭区间上的最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．3．处理三角函数的奇偶性或最值等性质时，必须树立“定义域优先”的意识．4．利用函数的单调性比较两个三角函数值的大小时，必须将考虑所涉及到的角是否在同一单调区间内，否则会造成错判．5．利用换元法处理三角函数的最值时，注意确定新元范围，如令，．【典例试题演练】1．【四川外语学院重庆第二外国语学校2022届高三3月月考】下列函数中，最小正周期为的偶函数是( )A． B． C． D．【答案】A【解析】A中，满足条件；B中，不是偶函数；C中不是偶函数；D中不是偶函数，且周期为，故选A．2．【东北三省三校2022年高三第二次联合模拟】函数的值域为（）17\nA． B． C． D．【答案】C【解析】函数,所以值域为，选C．3．【陕西师范大学附属中学2022届高三上学期第二次模考】函数是偶函数的充要条件是（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意为偶函数，故．4．【2022届黑龙江省大庆实验中学高三上期末】函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则为（ ）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】由题意可知函数在时确定最大值，就是时．，故选B．5．若将函数的图象向左平移个单位，则平移后的图象（ ）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称【答案】D17\n【解析】平移后的函数．令，解得，则平移后的图象关于直线对称，当时，．故选D．6．【2022届福建厦门一中高三理上期中】若函数，则的最大值为（ ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】，因为，所以，故的最大值为，故选C．7．【四川省泸州市2022年高三下学期3月】函数的图像的一条对称轴为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以对称轴方程满足，由题设可取得，故选C．8．【河南省兰考县第二高级中学2022学年高三下学期月考】已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是( )A． B．C． D．【答案】A【解析】化简17\n当,即是是增函数，故选A．9．【河北省石家庄市高三数学一模】函数(,)的最小正周期为,其图象关于直线对称,则的最小值为( )A． B． C． D．【答案】B10．【辽宁省大连市2022届高三第一次模拟】若方程在上有两个不相等的实数解，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为,所以,即时,函数单调递增,时,函数单调递减,因此,故选C．11．【2022届福建厦门一中高三理上期中】若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A17\n【解析】∵在区间上是增函数，∴，∴，即，，∴，令，则，∴在递减，∴，故选A．12．【福建省师大附中2022年高三下学期月考】已知函数，若函数在区间内单调递减，则的取值范围为( )A． B． C． D．【答案】C13．【甘肃省肃南县一中2022年高三上学期模拟】定义一种运算，令，且，则函数的最大值是（ ）A. B. C. D.1【答案】C17\n14．【2022届湖北荆州市高三上质检一】已知函数，且在上的最大值为，则实数的值为( )A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】由已知得，对于任意的，有，当时，，不合题意；当时，，从而在单调递减，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，不合题意；当时，，，从而在，单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，解得，故选B．15．【湖南省邵阳市2022-2022学年普通高中学业水平考试模拟】函数的最小正周期为________________．【答案】【解析】由周期公式可得函数的最小正周期为．16．【河北省衡水中学2022年高考猜题卷（一）】若函数是偶函数，则实数的值是__________．【答案】【解析】由题设函数的图像关于轴对称，则，即．17．【河南省新乡市2022届高三第三次模拟】若函数（）的图象关于点对称，则__________．【答案】17\n【解析】根据题意可得又，故．18．【2022届湖南省岳阳市高三教学质量检测试卷（二）】若点是函数的一个对称中心，则__________．【答案】【解析】由题意，即，所以＋．19．【甘肃省兰州市2022年高考实战模拟】已知函数：①；②；③；④．其中，最小正周期为且图象关于直线对称的函数序号是__________．【答案】②【解析】最小正周期为，故，排除③④；将代入①，不是对称轴的位置，故①错误，故②正确．20．【河南省息县第一高级中学2022届高三第七次适应性】已知点在角的终边上，函数的图象上离轴最近的两个对称中心间的距离为，则的值为__________．【答案】【解析】由题意知，的周期，又由任意三角函数的定义知，则＝．17\n21．【江西省上饶市2022届高三第二次模拟】已知函数，其中，若在区间上单调递减，则的最大值为__________．【答案】22．【2022届四川双流中学高三必得分训练5】已知函数．（1）求函数的解析式及其最小正周期；（2）当时，求函数的值域．【答案】(1),；(2)．【解析】（1）利用二倍角公式、两角和公式和辅助角公式将函数化简，；（2）∵，∴，∴，∴函数的值域是．23．【2022届湖北荆州市高三上质检一】已知函数．（1）求函数的对称中心；（2）求在上的单调区间．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)17\n【解析】(1)令，得，故所求对称中心为(2)令，解得又由于，所以故所求单调区间为．24．【福建省泉州市2022届高三高考考前适应性模拟】已知函数（），是偶函数．（1）求的值；（2）求函数在区间的最大值．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）依题意，．因为是偶函数，所以．又因为，所以．（2）由（Ⅰ）得，，．．时，，17\n故函数在区间的最大值为．17
