考点35：直线与圆方程【考纲要求】1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．2．圆与方程（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想．【命题规律】从近三年的高考试题来看，该部分主要考查热点及题型如下：（1）两条直线的平行与垂直、点到直线的距离、两点间距离是命题的热点，对于距离问题常常多融入到解答题中进行考查；（2）求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径是高考热点，多与直线相结合命题，着重考查待定系数法求圆的方程；（3）直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．预计2022年的高考将会继续保持稳定，主要还是会从直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系三个热点进行考查，体现等价转化的思想、数形结合思想的应用，难度中等偏易．【典型高考试题变式】（一）两条直线的位置关系【例1】【2022浙江卷】若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_______．20\n【答案】【解析】，即．【方法技巧归纳】（1）求解两条直线的平行问题，要关注两个方面：①两条直线的斜率之间的关系，注意斜率不存在的情况；②在斜率相同的条件下考虑它们的截距是否相等．（2）判断两直线垂直是考虑它们的斜率之积是否为－1，对于判断方程以一般式给出的直线：，：是否垂直，通常判断是否成立，这样可避开分类讨论，即不必对直线的斜率是否存在进行讨论．【变式1】【变为两个方程中同时含有参数】若直线与互相垂直，则点到轴的距离为__________．【答案】或【变式2】【变垂直与平行同时出现在试题中】已知过点和点的直线为，直线为，直线为，若，，则实数的值为__________．【答案】-10【解析】由题意可得,直线为的斜率为,直线的斜率为−2,且，∴=−2，求得．由于直线的斜率为,,∴−2×()=−1，求得，∴．（二）直线与圆的位置关系的判断【例2】【2022全国卷Ⅲ1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为（ ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B20\n【解析】由题意可得：圆与直线相交于两点，，则中有两个元素，故选B．【方法技巧归纳】判断直线与圆的位置关系的常用方法：（1）若易求出圆心到直线的距离，则用几何法，利用d与r的关系判断．（2）若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较复杂，则用代数法，联立方程后利用Δ判断，能用几何法求解的，尽量不用代数法．【变式1】【由例题变为根据交点个数求解参数问题，且与常用逻辑用语交汇】直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】联立直线与圆的方程得:,消去y得:,根据题意得：,变形得:,计算得出:,因为是的一个真子集,所以直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是．故选C．【变式2】【变例题与三角函数交汇】圆与直线（，，）的位置关系是__________（横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填）．【答案】相离（三）两条直线相交问题【例3】【2022四川卷】设，过定点的动直线和过定点的动直线20\n交于点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由条件，得，．由与消去，得动点的轨迹方程为，易知为圆的一条直径，如图所示，由图可知，所以．因为，所以，所以．又（两点之间线段最短），综上知的取值范围是，故选B．【方法技巧归纳】解答直线与其它知识的综合题，必须清楚明白两类知识的交汇点在什么地方，涉及到这两类知识哪些知识点，再联想处理这两类知识所涉及到的数学思想方法，然后将问题进行不断的深入解决．【变式1】【变为根据两直线交点位置求参数】若直线与的交点在第一象限内，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】联立直线方程，解得，∵直线的交点在第一象限，∴，解不等式组可得-1＜k＜1．【变式2】【变两直线相交为三直线相交】若三条直线20\n相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】联立，解得把(1,2)代入可得，∴．∴点到原点的距离．当时，取等号。∴点到原点的距离的最小值为，故选A．（四）距离公式的应用【例4】（1）【2022年全国2卷】圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）A． B． C． D）2【答案】A【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得，解得，故选A．（2）【2022上海卷】已知平行直线，则与的距离是_______．【答案】【解析】利用两平行线间的距离公式得．【方法技巧归纳】利用点到直线的距离公式时，一定要注意将直线方程化为一般式，同时代点的坐标时注意准确性；确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数必须相同．【变式1】【变求直线中参数为求点中参数】点到直线20\n的距离为4，则（ ）A．1 B． C．1或 D．【答案】D【解析】由点到直线的距离公式得，解得或，故选D．【变式2】【变为求含有参数的两条平行间的距离】若直线：与直线：平行，则与的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】B（五）直线与圆相交的弦长问题【例5】【2022新课标Ⅰ卷】设直线与圆：相交于两点，若，则圆的面积为＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】圆，即，圆心为，由圆心到直线的距离为，所以得，则所以圆的面积为．【方法技巧归纳】（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，如圆的半径、弦长、圆心到弦的距离之间的关系：在求圆的方程时常常用到；（2）处理圆的切线问题时，一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题．20\n【变式1】【变为只有直线方程中含有参数】已知直线与圆交于两点，若，则( )A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆心到直线的距离为，由，可得，∴，即，解得，故选A．【变式2】【变求参为求直线方程】过点且被圆截得弦长为8的直线的一般方程是__________．【答案】或（六）圆与圆的位置关系【例6】【2022湖南卷】若圆与圆外切，则（ ）A．21 B．19 C．9 D．【答案】C【解析】因为,所以且圆的圆心为,半径为,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得，故选C．【方法技巧归纳】（1）处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断，一般不采用代数法．（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．【变式1】【变外切为内切】圆内切于圆，20\n则＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】圆的方程为，圆心.圆的方程变形得，圆心，圆内切于圆，.．【变式2】【变相切求参为相交求参】已知圆与圆相交，则的取值范围是_____________．【答案】【解析】的圆心，的圆心为，由两圆相交得．（七）直线与圆位置关系综合题【例7】【2022新课标Ⅰ卷】已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积．【答案】（1）；（2）【解析】（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，设，则，，由题设知，故，即．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是．（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．由于，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而．20\n因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为．又，O到的距离为，，所以的面积为．【方法技巧归纳】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和．【变式1】【第（2）问变为弦长问题】已知定点，点圆上的动点．（1）求的中点的轨迹方程；（2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）设，由题意知：，化简得，故的轨迹方程为。（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，因为半径，，故圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式得，解得，20\n直线的方程为，故直线的方程为或．【变式2】【第（1）问变为相切，第（2）问变为求三角形面积最值】已知圆，直线经过点A(1，0)．（1）若直线与圆C相切，求直线的方程；（2）若直线与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ面积的最大值，并求此时直线的方程．【答案】（1）或（2）y＝x－1或y＝7x－7（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为，则圆心到直线的距离，又∵三角形面积∴当d＝时，S取得最小值2，则，，故直线方程为y＝x－1，或y＝7x－7．【数学思想】1．函数思想求与直线与圆方程的最小值问题，通常通过建立目标函数，转化为求二次函数的最小值问题，或利用基本不等式求最值问题等，其实质就是函数思想的应用.2．方程思想20\n求直线的方程或圆的方程常常要利用待定系数法求解，体现是方程思想的应用；根据直线与圆间的位置关系求相关参数时，常常需要建立方程来求解．3．转化与化归的思想在直线与圆的方程中的应用主要体现在：（1）最值问题常常转化为函数最值与平面几何图形中距离最短或最长问题；（2）与直线或圆上的点有关系的一些代数式，常常根据它们的几何意义将问题进行转化求解．4．分类讨论思想分类讨论思想在直线与圆问题中的应用主要有常见的两种情形，即讨论直线斜率的存在性与根据需要对图形中的直线或圆的不同位置的讨论．在解题时能作出图形的尽量作图，使隐含的条件直观显现，解答就会更加完备．【处理集合问题注意点】1．处理直线倾斜角与求直线方程时，易忽略斜率不存在的情况、对倾斜角的取值范围不清楚造成错解；忽略截距为0的情况造成少解；2．判断两条直线的位置关系忽视斜率是否存在；求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系；忽略检验两直线重合的情况；3．对含有参数的一般式方程，忽视表示圆的条件；遗漏方程的另一个解；忽略圆方程中变量的取值范围；4．处理两圆位置关系时，忽视分两圆内切与外切两种情形；忽视切线斜率不存在的情形；求弦所在直线的方程时遗漏一解．【典例试题演练】1．【2022•梅河口市二模】已知角是第二象限角，直线的斜率为，则等于（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，得，故，故，故选D．2．【湖北省武汉市硚口区2022届高三9月调研】已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ）20\nA．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】由已知两直线垂直得：，即，两边同除b得，故选B．3．【江西师范大学附属中学2022届高三第三次模拟】已知直线与，则“”是“”的（ ）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B4．【2022届江西省九江市高三下学期三模】已知直线经过圆的圆心，且坐标原点到直线的距离为，则直线的方程为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆的标准方程为，∴圆心，且圆经过原点，则直线，则由，得，∴直线的方程为，即,故选C．5．【北京市石景山区2022届高三3月统一练习】以为圆心且与直线相切的圆的方程是（ ）A． B．C． D．20\n【答案】A【解析】由点到直线的距离公式可得圆的半径为，所以所求圆的方程为，故选A．6．【江西省2022届高三4月新课程教学质量监测】已知点及圆：，则“点在圆内”是“直线：与圆相离”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】点在圆：内，故选C．7．【海南省海南中学、文昌中学2022届高三下学期联考】抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】抛物线的图象关于对称，与坐标轴的交点为，，，令圆心坐标，可得，即，解得，，∴圆的方程为，故选D．8．【广东省韶关市2022届高三4月高考模拟】过直线上的点作圆:的两条切线、，当直线，关于直线对称时，（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设可知当时，两条切线关于直线20\n对称，此时即为点到直线的距离，即，故选B．9．【河南省安阳市2022届高三第二次模拟】已知圆：，动点在圆：上，则面积的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以，当时，的面积最大，其最大值为，应选答案B。10．【2022届江西省南昌市高三第一次模拟】已知点P在直线上，点Q在直线 上，线段的中点为，且，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】D11．【海南省海口市2022届高三4月调研】已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）A． B．C． D．【答案】C20\n【解析】到两直线及的距离都相等的直线方程为，联立方程组，解得．两平行线之间的距离为，所以，半径为，从而圆的方程为，故选．12．【安徽省黄山市2022届高三第二次模拟】已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设是圆的切线，是圆与以为直径的两圆的公共弦，可得以为直径的圆的方程为＝①．又②．由①-②得，可得满足上式，即过定点，故选B．13．【2022届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为_（ ）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线，所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为，故选D．20\n14．【2022届贵州铜仁一中高三上学期入学模拟】已知直线，平行，则它们之间的距离是＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】因为直线，平行，所以，化为，两直线的距离为．15．【安徽省蚌埠市2022届第二次（3月）教学质量检查】在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数、，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是___________．【答案】【解析】直线经过定点，则点到直线的距离为的最大距离为，最小距离为0，所以的取值范围是．16．【湖南省浏阳一中2022届高三高考适应性考试（6月）】已知直线：与直线：相互垂直，点到圆：的最短距离为3，则______________．【答案】2【解析】依题意， ①； ②；联立两式，解得，故．17．【四川省师范大学附属中学2022届高三下学期5月模拟】已知圆，圆上的点到直线的最短距离为，若点在直线位于第一象限的部分，则的最小值为__________．【答案】【解析】，所以由圆上的点到直线的最短距离为，可得20\n，（时等号成立），即的最小值为．18．【广东省珠海一中等六校2022届高三第一次联考】已知直线与圆: 相交于两点,且为等边三角形,则圆的面积为__________．【答案】【解析】圆，化为，圆心，半径，因为直线和圆相交，为等边三角形，所以圆心到直线的距离为，即，解得，所以圆的面积为，故答案为．19．【2022届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______．【答案】20．【宁夏中卫市2022届高三第二次模拟】已知从圆：外一点20\n向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，则当取得最小值时点的坐标为__________．【答案】【解析】如图所示,圆：，圆心,半径,因为,所以为圆心,为圆的半径),所以,即．要使最小,只要最小即可．当直线垂直于直线时,即直线的方程为时,最小,此时点即为两直线的交点,得点坐标．21．【广东省汕头市2022届高三第三次模拟】已知圆经过、，圆心在直线上，过点，且斜率为的直线交圆相交于、两点．（1）求圆的方程；（2）①请问是否为定值．若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；②若为坐标原点，且，求直线的方程．【答案】（1）；（2）定值为7；【解析】（1）设圆的方程为，20\n则依题意，得解得∴圆的方程为．（2）①为定值．过点作直线与圆相切，切点为，则，∴，∴为定值，且定值为7．②依题意可知，直线的方程为，设，，将代入并整理得：，∴，，∴，即，解得．又当时，∴，所以直线的方程为．22．【2022届山西省高三高考考前质量检测考试（三）】已知圆及点．（1）若线段的垂直平分线交圆于两点，试判断四边形的形状，并给与证明；（2）过点的直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程．【答案】（1）菱形；（2）或．20\n（2）当直线的斜率不存在时，的方程为，则的坐标为，，所以．当直线的斜率存在时，设的方程为,则圆心到直线的距离为由平面几何知识得∴当且仅当，即时，取得最大值．，所以的最大值为，此时，由，解得或，故直线的方程为或．20
