考点5函数的基本性质一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:1.1函数的奇偶性（1）函数的奇偶性的定义：对于函数定义域内定义域内任意一个，若有，则函数为奇函数；若有，那么函数为偶函数（2）奇偶函数的性质：①定义域关于原点对称；②偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称；③奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．④为偶函数．⑤若奇函数的定义域包含，则．⑥奇函数在相对的区间上具有相同的单调性，偶函数在相对的区间上具有相反的单调性.1.2函数的单调性（1）单调性定义：一般地，设函数的定义域为.区间.如果对于区间内的任意两个值当时，都有那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间．如果对于区间内的任意两个值当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间．（2）函数单调性判定方法①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论②运算法则法：如果函数和在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；④减函数-增函数是减函数；③导数法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.④复合函数的单调性：同增异减，即内外单调性相同时，为增函数，不同时，为减函数.⑤图像法：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减.(3)单调性应用：已知含参数的可导函数在某个区间上单调递增（减）求参数范围，利用函数单调性与导数的关系，转化为在该区间上21\n＞0（＜0）恒成立问题，通过参变分离或分类讨论求出参数的范围，再验证参数取等号时是否符合题意，若满足加上.1.3对称性与周期性（1）周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．（2）关于函数周期性常用的结论①若满足，则，所以是函数的一个周期()；②若满足，则＝，所以是函数的一个周期()；③若函数满足，同理可得是函数的一个周期().④如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么．⑤函数图像关于轴对称．⑥函数图像关于中心对称．⑦函数图像关于轴对称，关于中心对称．（3）函数的图象的对称性结论①若函数关于对称对定义域内任意都有=对定义域内任意都有=是偶函数；②函数关于点（，0）对定义域内任意都有=－=－是奇函数；③若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴是；④若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴中心为；⑤函数关于对称.1.4.函数图像及其应用（1）函数的图象变换21\n①将函数图像的图象；②将函数图像的图象；③将函数图像的图象；④将函数图像的图象；⑤将函数图上的图象;⑥将函数图上的图象.（2）函数图象的识别策略：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤利用特殊点进行排除.2.命题规律展望：对函数性质的考查是高考命题的重点和热点，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的图像以及几方面的综合，且常以复合函数或分段函数的形式出现，达到一题多考的目的.题型一般为选择题、填空题，属中低档题，或者结合导数研究函数性质的大题，也应为同学们必须得分的题目.二、题型与相关高考题解读1.函数单调性的判定与性质应用1.1考题展示与解读例1【2022北京，理5】已知函数，则（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数【命题意图探究】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判定，是基础题.【答案】A【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.21\n1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】给定函数①，②，③，④，其中既是奇函数又在区间上是增函数的是A.①B.②C.③D.④【答案】D【变式2：改编结论】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得，因为函数在上单调递减，则且，综合可得实数的取值范围是.【变式3：改编问法】已知函数是定义在上的增函数，实数使得对于任都成立，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由条件得1−ax−x2<2−a对于x∈[0,1]恒成立令g(x)=x2+ax−a+1,只需g(x)在[0,1]上的最小值大于0即可。.①当,即a>0时,g(x)min=g(0)=1−a>0，∴a<1，故0<a<1；21\n②当,即−2⩽a⩽0时,，故−2⩽a⩽0；③当,即a<−2时,g(x)min=g(1)=2>0，满足，故a<−2.综上a<1，故选A.2.函数奇偶性的判定与应用2.1考题展示与解读例3【2022课标II，文14】已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则（）【命题意图探究】本题主要考查函数奇偶性的应用，是简答题.【答案】12【解析】【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.
(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】设是定义在上的任意函数，下列叙述正确的是A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数【答案】C【变式2：改编结论】已知，且，则21\n的值为（）A.4B.0C.D.【答案】A【解析】设，故选A.【变式3：改编问法】若函数的定义域为，且函数为奇函数，则实数的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】函数的定义域为，且函数为奇函数，则函数的图象关于点对称，故有，求得，故选A.2.函数奇偶性与单调性的综合应用3.1考题展示与解读例2【2022课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是A．B．C．D．【命题意图探究】本题主要考查利用函数奇偶性与单调性解函数不等式，是容易题.【答案】D【解析】因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足成立的的取值范围为，选D.【解题能力要求】运算求解能力、转化与化归思想【方法技巧归纳】奇偶性与单调性的综合问题，要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题，若在R上为单调递增的奇函数，且，则，反之亦成立.3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.21\n【答案】C【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在(−∞,0)上单调递增，∴f(x)在(0,+∞)是减函数，则不等式,得2|a−1|<4，即|a−1|<2，得−2<a−1<2，得−1<a<3，故选C.【变式2：改编结论】设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【变式3：改编问法】已知是定义在区间上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为__________．【答案】【解析】当时，则，即，所以，结合图像可知：函数在单调递减，所以不等式可化为，解之得，应填答案。2.函数对称性及其应用4.1考题展示与解读例4【2022课表1，文9】已知函数，则A．在（0，2）单调递增B．在（0，2）单调递减21\nC．y=的图像关于直线x=1对称D．y=的图像关于点（1，0）对称【命题意图探究】本题主要考查函数的单调性、对称性，是中档题.【答案】C【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，C正确，D错误；又（），在上单调递增，在上单调递减，A，B错误，故选C．【解题能力要求】运算求解能力.【方法技巧归纳】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数与的定义域为，有下列5个命题：①若，则的图象自身关于直线轴对称；②与的图象关于直线对称；③函数与的图象关于轴对称；④为奇函数，且图象关于直线对称，则周期为2；⑤为偶函数，为奇函数，且，则周期为2.其中正确命题的序号是____________.【答案】①②③④【解析】对于①，令t=x−2，则2−x=−t，由于f(x−2)=f(2−x)，得f(t)=f(−t)，所以函数f(x)是偶函数，得f(x)的图象自身关于直线y轴对称，故①正确；对于②，设f(m)=n，则函数y=f(x−2)的图象经过点A(m+2,n)而y=f(2−x)的图象经过点B(−m+2,n)，由于点A与点B是关于x=2对称的点，故y=f(x−2)与y=f(2−x)的图象关于直线x=2对称故②正确；对于③，设F(x)=f(x+2)，则f(2−x)=F(−x)，由于F(x)与F(−x)图象关于y轴对称，21\n所以函数y=f(x+2)与y=f(2−x)的图象关于y轴对称，得③正确；对于④，因为f(x)图象关于直线对称，所以f(−x)=f(1+x)，结合函数为奇函数，得f(−x)=−f(x)，故f(x+1)=−f(x)由此可得f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，得f(x)是周期为2的周期函数，故④正确；对于⑤，f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且g(x)=f(x−1)，则由于g(x)+g(−x)=0，得f(x−1)+f(−x−1)=0，又因为f(−x−1)=f(x+1)，所以f(x−1)+f(x+1)=0，由此可证出f(x+4)=f(x)，得f(x)是周期为4的周期函数，故⑤不正确故答案为：①②③④【变式2：改编结论】已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【变式3：改编问法】已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，，则()(其中为自然对数的底)A.B.C.D.【答案】A【解析】因为的图象关于点对称，所以函数为奇函数当时恒有，所以=；，因此，选A.2.函数周期性及其应用5.1考题展示与解读例5【2022山东，文14】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当21\n时,,则f(919)=.【命题意图探究】本题主要考查应用函数的周期性与奇偶性求函数值，是基础题.【答案】【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.【解题能力要求】整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】抽象函数的周期性质：（1）若，则函数周期为；（2）若，函数周期为（3）若，函数周期为（3）若，函数周期为.5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知定义在上的奇函数，满足，则的值为__________．【答案】0【解析】∵是定义在上的奇函数，∴又满足，∴的周期为2，∴.【变式2：改编结论】已知是定义在上的偶函数，且，若在上单调递减，则在上是()A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数【答案】D【变式3：改编问法】已知定义在上的函数是奇函数且满足，21\n，数列满足，且，(其中为的前项和)，则()A.B.C.3D.2【答案】C【解析】由题意可得式中n用n-1代，两式做差得，所以是等比数列，，又因为函数f(x)为奇函数,∴=====,所以函数f(x)的周期，，选C.2.函数图象及其应用6.1考题展示与解读例6【2022高考新课标1卷】函数在的图像大致为（A）（B）（C）（D）【命题意图探究】本题主要考查函数的图象与性质，是中档题.【答案】D【解析】函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数,其图象关于轴对称,因为,所以排除选项；当时,有一零点,设为,当时,为减函数,当时,为增函数．故选D.【解题能力要求】运算求解能力、图像识别能力21\n【方法技巧归纳】函数图象的识别策略：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤利用特殊点进行排除.6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】函数的大致图像是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由的解析式知仅有两个零点与，而A中有三个零点，所以排除A，又，由知函数有两个极值点，排除C，D，故选B．【变式2：改编结论】已知是定义在上的奇函数，且时，，则函数（为自然对数的底数）的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C21\n【变式3：改编问法】函数的大致图象如图所示，则下列结论成立的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由图可知，所以b>0,B，D错。若当，分子为正，分母，所以，与图中不符，所以A错，经检验C符合，选C.2.函数图象与性质的综合应用7.1考题展示与解读例7【2022高考山东理数】已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.【命题意图探究】本题主要考查函数的图象、性质的应用，考查数形结合思想、函数与方程思想，是难题.【答案】【解析】画出函数图象如下图所示：21\n由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得【解题能力要求】函数与方程思想、数形结合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】函数方程解得个数问题常通过局部分类等方法转化为熟悉函数的交点个数问题，利用数形结合思想求解.7.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若方程（）恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得周期为T=2，原方程可变形为，则为y=f(x)与y=a（x+1）（）曲线交点恰有三个。由图可知斜率k=a,选A.【变式2：改编结论】已知是上的奇函数，当时，21\n，则函数的所有零点之和是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】当时，，所以当时，；由得；由得，所以所有零点之和是，选A.【变式3：改编问法】已知函数．若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是__________．【答案】(0,1)【解析】由题意作出函数的图象，关于关于的方程有两个不同的实根等价于函数，与有两个不同的公共点，由图象可知当时，满足题意，故答案为.三、课本试题探源21\n必修1P44页复习参考题A第9题：已知函数在[5,20]上具有单调性，求实数的取值范围。【解析】由题知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以或，解得或，所以实数的取值范围为.四．典例高考试题演练1.【2022届宁夏石嘴山市三中高三入学】已知函数是R上的单调递增函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C2.【2022届山东省济宁市3月模拟】设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得，当，因此，故选C.3.【2022届河北省武邑中学五模】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若任意的x≥0，都有f（x+2）=-f（x），当x∈[0,1]时，f（x）=2x-1，则f（-2022）+f（2022）=A.1B.-1C.0D.2【答案】A【解析】任意的x⩾0,都有f(x+2)=−f(x),可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，函数的周期为4，函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x−1，则f(−2022)+f(2022)=f(2022)+f(2022)=f(1)+f(2)=f(1)−f(0)=2−1+1−1=1，故选A.4.【2022届湖南省长沙市长郡中学实验班选拔】21\n下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是A.B.C.D.【答案】C【解析】对于.函数是奇函数，在为整数）上递增，则不满足；对于.函数为奇函数，由于，则在上递增，则满足；对于.函数为偶函数，则不满足；对于.函数既不是奇函数，也不是偶函数，则不满足，故选C.5.【2022届辽宁省沈阳市东北育才学校九模】若函数是奇函数，函数是偶函数，则A.函数是奇函数B.函数是奇函数C.函数是奇函数D.是奇函数【答案】B6.【2022届宁夏石嘴山市三中三模】已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为函数的图象关于对称，则函数的图象关于对称，又函数在上单调，数列是公差不为0的等差数列，且，所以，所以，故选B．21\n7.【2022届吉林省松原市实验高级中学等三校联合模拟】若函数的图象如图所示，则的范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】显然为奇函数，图像关于原点对称，因为在单调递增，在单调递增，所以当时，，即，解得.8.【2022届安徽省亳州市二中质检】已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的，当时，都有；②；③是偶函数；若，，，则的大小关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由①得在上单调递增；由得②，故是周期为8的的周期函数，所以，；再由③可知的图像关于直线对称，所以，.结合在上单调递增可知，，即.故选B.9.【2022届湖南省浏阳一中6月考】已知定义在R上的偶函数f(x)满足：0≤x≤1时，f(x)=−x3+3x，且f(x−1)=f(x+1)，若方程f(x)=loga(|x|+1)+1(a>0,a≠1)21\n恰好有12个实数根，则实数a的取值范围是（）A.(5,6)B.(6,8)C.(7,8)D.(10,12)【答案】B【解析】0≤x≤1时，f(x)=−x3+3x，∴f'(x)=−3(x2−1)≥0,故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)=0,f(1)=2，由f(x−1)=f(x+1)可知函数f(x)是周期为2的周期函数，而函数y=f(x)与y=loga(|x|+1)+1都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两个函数在(0,+∞)有6个不同交点，显然a>1，结合图象可得{loga(5+1)+1<2loga(7+1)+1>2，即{loga6<1loga8>1，故6<a<8，故选B.10.【2022届辽宁省沈阳市东北育才学校九模】设函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是A.(-3，+)B.(-1，+)C.(-，-3)D.(-，-1)【答案】A11.【2022届河南省新乡市三模】已知函数，且，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】当时，当时，21\n是定义在上的减函数，又也是定义在上的减函数，故设，则由题即即，又综上，故选B12.【2022届安徽省亳州市二中质检】已知函数，若，则__________．【答案】-6【解析】，，所以，．13.【2022届云南省师范大学附属中学高考适应性月考】已知函数，若，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，所以函数f(x)为增函数，所以不等式等价于，即，故．14.【2022届安徽省蚌埠市二中7月考】函数是定义在上的奇函数，对任意的，满足，且当时，，则__________．【答案】【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x∈R,满足f(x+1)+f(x)=0，∴f(x+1)=−f(x)，则f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数，据此可得：15.【017届江苏省兴化一中下期期中】设且若定义在区间内的函数是奇函数，则的取值范围是________21\n【答案】21
