考点7对数函数的图象与性质【考纲要求】1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．【命题规律】高考对对数函数的图象与性质考查题型一般是选择题或填空题，难度中等以下，主要考查对数运算、对数函数的性质及运用、对数函数的图象性质.【典型高考试题变式】（一）对数运算例1.【2022课标1】设x、y、z为正数，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.【变式1】【改变例题中指数式的底数，结论变为求的值】设x、y、z为正数，且，则.【答案】【解析】令，则，，10\n，所以.【变式2】【改变例题中指数式的底数，结论变为求x、y、z之间的关系式】设x、y、z为正数，且，则x、y、z之间的关系式为.【答案】【解析】设，由知，取以为底的对数可得，所以，，，所以，所以.（二）对数函数的性质及运用例2.【2022天津，文6】已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，属于基础题型，首先根据奇函数的性质和对数运算法则，，再比较比较大小.【变式1】【改变例题的条件】已知f(x10\n)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是( )A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜b＜c【答案】B【解析】因为＝－log23＝－log49，所以b＝＝f(－log49)＝f(log49)，log47＜log49，0.2－0.6＝，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，所以，即c＜b＜a，故选B.【变式2】【改变例题的结论】已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为.【答案】（三）对数函数的图像性质例3.【2022全国1】已知函数.若且，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C 【解析】函数的图象如图所示，10\n由图象知，一个大于1，一个小于1，不妨设,.因为，所以，即，所以.【名师点睛】本题考查对数函数的图像性质.对数函数图象特点：当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，对数函数的图象呈下降趋势.函数式中有绝对值符号，先用分段函数表示.【变式1】【把例题中的改为，结论变为比较大小】已知函数在上单调递增，则、、的大小关系为.【答案】【解析】因为函数在上单调递增，所以，．又函数为偶函数，所以，所以．【变式2】【把例题中变为，结论变为函数图象判断】函数y＝lg|x－1|的图象是( )【答案】A【解析】因为，当时，函数无意义，故排除B、D.又当或0时，，所以A项符合题意．【数学思想】①数形结合思想：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等．10\n②分类讨论思想：画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图象．【温馨提示】①解决与对数有关的问题时：务必先研究函数的定义域；对数函数的单调性取决于底数，应注意底数的取值范围．②对公式要熟记，防止混用；③对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0<a<1和a>1分类讨论，否则易出错．④比较对数式的大小．①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．【典例试题演练】1．【河南省豫北名校联盟2022届高三年级精英对抗赛，1】已知函数，则（）A．B．4C．-4D．【答案】A【解析】，故选A.2．【2022山东省烟台市期末】已知，，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】C3.【2022河南濮阳市一高检测】函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D10\n【解析】由，，得且，所以函数的定义域为，故选D.4．【2022安徽合肥市调研】若函数为奇函数，当时，，则（）A.B.C.0D.1【答案】C【解析】，故选C.5．【江西九江地区2022届高三七校联考，7】若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得在区间上恒成立且，即且，解得实数的取值范围是，选D.6．【2022山东省德州市模拟】函数的定义域为()A.B.C.D.【答案】D【解析】函数有意义，可得1−2x>0,且ln(1−2x)≠0，解得x<且x≠0，即有定义域为(−∞,0)∪(0,).故选D.7．【2022吉林省梅河口五中模拟】函数的单调增区间是()A.B.C.D.【答案】A10\n8.已知，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以为偶函数，且左增右减，注意到，故，解得.故选C.9．【2022河南百校联考】已知，则的大小顺序为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】为单调递增函数，而，所以，故选B.10.【2022福建省三明市模拟】若，，且和的等差中项是1，则的最小值是．【答案】【解析】因为，所以，所以（当且仅当时等号成立）.11.【湖北2022届百所重点校高三联考，11】设函数10\n，若对任意，都存在，使得，则实数的最大值为．【答案】12.【2022河南省广东省佛山市检测】函数为奇函数，则实数．【答案】1【解析】因为函数为奇函数，所以，即，所以．13.【2022辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校联考】已知函数是在定义域上的偶函数，且在区间单调递增，若实数满足，则的取值范围是.【答案】【解析】因为为偶函数，所以，而，，所以，由已知不等式化简有因为在为增函数，所以，所以.14.【2022江西九江地区联考】设，且.（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的值域.10\n【解析】（1）因为，所以，所以.由得，所以函数的定义域为.（2），所以当时，是增函数；当时，是减函数.函数在上的最大值是，函数在上的最小值是，所以在区间上的值域是.15.【2022上海卷】已知R，函数=.（1）当时，解不等式>1；（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；（3）设>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【解析】（1）由，得，解得．（2）有且仅有一解，等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解．当时，，符合题意；当时，，．综上，或．10\n10
