考点6指数函数图像与性质一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）.n次方根概念与表示定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且nN*．性质及表示n是奇数正数的n次方根是一个正数a的n次方根用符号表示负数的n次方根是一个负数n是偶数正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±(a＞0)．负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作＝0．（2）根式概念式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．（3）根式的性质①.②；（4）分数指数幂①（，且），②（，且）.0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义（5）无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数；（6）实数指数幂的运算性质①.②.③.（7）指数函数概念：形如且）函数叫指数函数，其中是自变量，函数定义域为.（8）指数函数图象与性质19\ny＝axa>10<a<1图像性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数函数值分布当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1（9）指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大.2.命题规律展望：指数与指数函数概念、图像、性质是历年的热点和重点，常以指数函数及其图像与性质为载体，考查指数型函数定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等图像与性质，特别是以指数函数为载体的复合函数更是考查的重点，难度既有容易题也有中档题还有难题，分值常为5分.二、题型与相关高考题解读1.指数运算1.1考题展示与解读例1【2022山东，文14】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当时,,则f(919)=.【命题意图探究】本题主要考查函数的周期性、奇偶性及指数运算，是容易题.【答案】【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.【解题能力要求】转化与化归思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】对与奇偶性、周期性有关的指数函数求值问题，常利用周期性与奇偶性将所求函数值转化为在给定区域函数的求值问题，代入即可求出值.1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知且，函数，满足，，则（）A.-3B.-2C.3D.2【答案】B19\n【解析】由，可得，可得，那么．故本题选．【变式2：改编结论】已知函数,若,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时,,即,则；当时,,即,不合题意,故,应选B．【变式3：改编问法】已知，则．【答案】2.比较指数值大小2.1考题展示与解读例2【2022高考新课标3理数】已知，，，则（）（A）（B）（C）（D）【命题意图探究】本题主要考查指数函数与幂函数的图象与性质，是容易题.【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．【解题能力要求】转化与化归思想、运算求解能力【方法技巧归纳】19\n比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】若（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，由,对数函数的性质可得，错误，由指数函数的单调性可得错误，由幂函数的单调性可得正确，故选D.【变式2：改编结论】已知实数，满足（），则下列关系式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【变式3：改编问法】【2022届湖南省衡阳市二次联考】设，为自然对数的底数，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，所以，,故最大，而当时，为递减函数，所以，故选B2.含指数型函数的图象应用3.1考题展示与解读例3【2022高考湖南，文14】若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.【命题意图探究】本题主要考查指数函数图像、图像变换应用及函数零点，是基础题.19\n【答案】【解析】由函数有两个零点，可得有两个不等的根，从而可得函数函数的图象有两个交点，结合函数的图象可得，，故答案为：.【解题能力要求】转化与化归思想、数形结合思想【方法技巧归纳】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】函数的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】令，，在同一直角坐标系，作出函数与的图像，如下图由图像可知，函数的零点个数为2个.19\n【变式2：改编结论】若函数的两个零点是，则（）A.B.C.D.以上都不对【答案】C【变式3：改编问法】函数的大致图象是A.B.C.D.【答案】B【解析】由可排除D，由，，可排19\nA，C，故选B.2.指数型函数性质4.1考题展示与解读例4【2022北京，理5】已知函数，则（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数【命题意图探究】本题主要考查指数性质及函数的奇偶性与单调性.【答案】A【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】对指数型函数性质的问题，对奇偶性的问题，利用奇偶性定义和指数运算进行判定，对已知函数性质，求参数问题，可以用特值法.4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】2022届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校第一次联考下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】D【变式2：改编结论】若函数是奇函数，则使成立的的取值范围是__________．19\n【答案】【解析】由题意得所以【变式3：改编问法】函数()是奇函数，且图像经过点，则函数的值域为()A.B.C.D.【答案】A【解析】函数为奇函数，则：，①函数过点，则：，②结合①②可得：，则，结合函数的单调性可得函数单调递增，且当时，结合奇函数的性质可得函数的值域为，故选A.2.指数型函数与不等式5.1考题展示与解读例5【2022课标3，理15】设函数则满足的x的取值范围是_________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数、复合函数及函数不等式，是中档题.【答案】【解析】令，当时，，19\n当时，，当时，，写成分段函数的形式：，函数在区间三段区间内均单调递增，且：，据此x的取值范围是：.【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力、转化与化归思想【方法技巧归纳】对分段函数不等式问题，通过分类整合化为不等式组问题求解，对简单的指数不等式问题，常利用指数不等式的性质，把超越不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式求解.5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】当时，，则；当时，，则，综上，实数的取值范围是.【变式2：改编结论】设f(x)=(12)x−x3，已知0<a<b<c，且f(a)·f(b)·f(c)<0，若x0是函数f(x)的一个零点，则下列不等式不可能成立的是（）19\nA.x0<aB.0<x0<1C.b<x0<cD.a<x0<b【答案】D【解析】因f′(x)=(12)xln12−3x2，且(12)x>0,ln12<0,−3x2≤0，故f′(x)=(12)xln12−3x2<0，即函数f(x)=(12)x−x3单调递减，即该函数只有一个零点，因此若x0<a，则0>f(a)>f(b)>f(c)，即f(a)·f(b)·f(c)<0成立，答案A正确；因f(1)=12−1<0，若x0<1<a<b<c，则fa>0,fb>0,f(c)<0，若0<x0<a<1<b<c，则f(a)·f(b)·f(c)<0也成立，故答案B正确。若b<x0<c，则fa>0,fb>0,f(c)<0，则有f(a)·f(b)·f(c)<0成立，故答案C正确；若a<x0<b，则fa>0,fb<0,f(c)<0,，则f(a)·f(b)·f(c)<0不成立，应选答案D。【变式3：改编问法】函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得，，故函数的定义域为，故选D.2.指数型函数方程6.1考题展示与解读例6【2022高考山东，理10】设函数则满足的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【命题意图探究】本题主要考查分段函数、函数方程及分类整合思想，是难题.【答案】C【解题能力要求】运算求解能力、分类整合思想【方法技巧归纳】方程的根的个数等价于函数的图象与轴的交点个数，若函数19\n的图象不易画出，可以通过等价变形，转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题．6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】设函数，若对于任意给定的都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是()A.2B.C.D.4【答案】C【解析】函数的值域为R.的值域为(0,1];的值域为R.∴f(x)的值域为(0,1]上有两个解，要想在y∈(2,+∞)上只有唯一的x∈R满足，必有.∴f(x)>2,即，解得：x>4.当x>4时,x与f(f(x))存在一一对应的关系。∴问题转化为，且a>0.∴(2ay−1)(ay+1)>0,解得：或者(舍去).∴,得，故选C.【变式2：改编结论】已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（）．A.B.C.D.【答案】B19\n【变式3：改编问法】已知是定义在上的奇函数，且时，，则函数（为自然对数的底数）的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】当时,函数求导可得,则函数在上单调递增,在上单调递减,当时函数有极大值为,根据奇函数的对称性,作出其函数图像如图,由函数图像可知与有两个不同交点,则有两个零点.故本题选.三、课本试题探源必修1P62页习题2.1B第1题：求不等式且中的取值范围.四．典例高考试题演练19\n1.【河北省2022届衡水中学押题卷理数I】已知集合，，则=（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题知，，则故选．2.【2022届四川省资阳市上学期期末】四个数的大小顺序是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得，，故选D.3.【2022届四川省泸州市四诊】某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停（每次上涨）又经历了3次跌停（每次下降），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A.略有盈利B.无法判断盈亏情况C.没有盈也没有亏损D.略有亏损【答案】D【解析】设购进股票时的价格为元，先经历了3次涨停（每次上涨）又经历了3次跌停（每次下降）后的价格为：，则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为略有亏损，故选D.4.【2022届四川双流中学高三文必得分训练9】设函数,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，又，所以.故选A．5.【2022届湖南省长郡中学等十三校第一次联考】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：19\n）（）A.2022年B.2022年C.2022年D.2022年【答案】D【解析】设经过年后全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得，则，即，故，应选答案D。6.【2022届河南省天一大联考阶段性测试（五）】已知是大于0的常数，把函数和的图象画在同一坐标系中，选项中不可能出现的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】时,,A项,根据图象可知,函数单调递减且恒过,而对勾函数的极小值点大于对应的指数函数值,故A正确,D错误;B项,根据图象可知,正确;C项,根据图象可知,正确;故选D.7.【2022届吉林省实验中学二模】已知是方程的根，是方程的根，则的值为A.2022B.2022C.2022D.1009【答案】C8.【2022届浙江省宁波市上学期期末】已知函数f(x)=(x2+ax+b)(ex-e)，当x>0时，f(x)≥0，则实数的取值范围为（）A.−2≤a≤0B.−1≤a≤0C.a≥−1D.0≤a≤119\n【答案】C【解析】如图，先画出g(x)=ex−e的图象，函数过点(1,0)，若f(x)=(x2+ax+b)(ex−e)，当x>0时f(x)≥0，那么函数h(x)=x2+ax+b也必须过点(1,0)，即a+b+1=0⇒b=−(a+1)，那么x2+ax+b=x2+ax−(a+1)=(x−1)[x+(a+1)]，另外一个实根是x=−(a+1)，若满足条件−(a+1)≤0，解得：a≥−1，故选C.9.【2022届河南省息县一高第七次适应性考】已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，若函数与函数在区间上同时单调递增或同时单调递减，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，即，当两个函数区间上同时单调递增时，与的图象如图1所示，易知，解得，当两个函数单调递减时与的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数，综上所述，，故选A.10.【2022届吉林省吉林市二调】已知函数f(x)={e|x−1|，x>0−x2−2x+1，x≤0，若关于x的方程f2(x)−3f(x)+a=0(a∈R)有8个不等的实数根，则a的取值范围是（）A.(0，14)B.(13，3)C.(1，2)D.(2，94)19\n【答案】D【解析】令t=f(x)，作出函数f(x)的图象和t=m的图象（如图所示），若关于x的方程f2(x)-3f(x)+a=0(a∈R)有8个不等的实数根，则关于的方程t2-3t+a=0(a∈R)有2个不等的实数根t1,t2，且1<t1<t2<2，则∆=9-4a>01-3+a>0，解得2<a<94，即a的取值范围是(2，94).故选D.11.【2022届重庆市二诊】已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6【答案】B【解析】由已知，，令，解得或，则函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值，最小值.综上可考查方程的根的情况如下（附函数图）：（1）当或时，有唯一实根；（2）当时，有三个实根；（3）当或时，有两个实根；（4）当时，无实根.19\n令，则由，得，当时，由，符号情况（1），此时原方程有1个根，12.【2022届宁夏石嘴山市三中三模】已知函数若，则_________【答案】-1【解析】由题设若，即时，，解之得，不合题意；当，即时，，即，符合题意，应选答案。19\n13.【2022届四川双流中学必得分训练1】函数的值域为_________．【答案】【解析】当时,,此时值域为；当时,．此时值域为,故函数的值域为,即．14.【2022届山东省寿光现代中学上学期开学考】已知函数fx=ax+ba>0,a≠1的定义域和值域都是−1,0，则a+b=__________．【答案】−32【解析】若a>1，则函数fx=ax+b单调递增，故f(−1)=−1f(0)=0⇒1a+b=11+b=0，解之得a=12b=−1，这与a>1矛盾；故0<a<1，则函数fx=ax+b单调递减，故f(−1)=0f(0)=−1⇒1a+b=01+b=−1，解之得a=12b=−2，所以a+b=−32，应填答案−32。15.【2022年黑龙江省哈尔滨市三中一模】当a<12时，关于x的不等式(ex−a)x−ex+2a<0的解集中有且只有两个整数值，则实数a的取值范围是__________．【答案】[34e2,23e)19\n19
