考点9函数与方程【考纲要求】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．【命题规律】函数与方程是高考题中一定出现的，一般是在选择题或填空题中考查，在解答题中也会出现与零点有关的问题.【典型高考试题变式】（一）判断零点所在的区间例1.【2022北京卷】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为，，所以由根的存在性定理可知，故选C.【名师点睛】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．【变式1】【改变例题中的函数式】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为，，所以由根的存在性定理可知，故选B.12\n【变式2】【改变例题中的结论】已知函数的零点的区间是，则的值为__________.【答案】3【解析】作图可知函数的零点所在的区间是，所以.（二）判断函数零点的个数例2.【2022福建卷】函数的零点个数是__________.【答案】2【解析】令得，，只有符合题意；令得，，在同一坐标系内，画出的图象，观察知交点有个，所以零点个数是.【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．【变式1】【改变例题中的函数式】函数的零点个数是__________.【答案】112\n【变式2】【改变例题的结论】函数的零点之和为__________.【答案】【解析】令得，，只有符合题意，即；令得，，，所以函数的零点之和为.（三）函数的零点的运用例3.【2022山东卷】已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是________________.【答案】【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要有三个不同的根，所以12\n，解得.【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.【变式1】【改编例题中的函数式，减少一个字母】已知函数,若关于的方程有两个不同的根，则的取值范围是________________.【答案】【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要有两个不同的根，则.【变式2】【改编例题中的函数式，减少一个字母】已知函数,其中，若关于的方程恒有三个不同的根，则的取值范围是________________.【答案】12\n【数学思想】①数形结合思想:借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等．②分类讨论思想:画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图象．③转化与化归思想.【温馨提示】①函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．②连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，但不是必要条件．③精确度不是近似值．【典例试题演练】1.【2022陕西渭南市检测】函数的零点所在的大致区间是（）A.B.C.D.【答案】B12\n2.【2022山东省淄博市期末】设函数，的零点分别为，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】令得：，令得：分别画出左右两边函数的图象，如图所示．由指数与对数函数的图象知于是有，得故选A．3.【2022陕西渭南市检测】函数的零点所在的大致区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知函数f(x)的定义域为，和，所以，根据零点存在性定理，函数在区间上必存在零点，故选B.4.【2022北京市昌平区模拟】已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A.B.12\nC.D.【答案】C【解析】恰有两个零点，等价于与有两个交点，同一坐标系，画出与的图象，直线过时，，直线与，相切时，由图知，时，两图象有两交点，即的取值范围是，故选C.5.【2022湖北黄冈市黄冈中学模拟】已知函数，若对任意的，在区间总存在唯一的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D6.【2022湖南长沙市雅礼中学月考】已知方程在有两个不同的解α，β(α<β)，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C12\n【解析】设,,有两个交点如图，只有当第二个交点与的正半轴第二个波峰一段曲线相切才只有两个交点，否则肯定大于或小于两个交点.于是：切点：，，，设切点，则，所以，所以，所以.7.【2022江西南昌二中模拟】是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点的个数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出函数的图象，可知函数在内存在一个零点，又因为是定义在上的奇函数，所以在上只有一个零点，又，所以函数的零点个数数是3个，故选C.8.【2022湖南衡阳市第八中学月考】已知，12\n是互不相同的正数，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先画出的图象，如图：根据题意互不相同，不妨设．且f（a），即故由图象可知：，由二次函数的知识可知：即故的范围为．故选D．9.【2022陕西西安市长安区第一中学模拟】已知为R上的连续可导函数，当x≠0时，则函数的零点个数为（）A.1B.2C.0D.0或2【答案】C10.【2022河南林州市第一中学调研】设函数，关于的方程12\n有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，作出的大致函数图象如下：由图象可知当时，有两解，当或时，有一解，当时，无解，令，则有三个零点，所以在上有一个零点，在上有一个零点，因为的图象开口向上，且，所以在上必有一个零点，所以，即，解得，故选B.11.【2022河南豫南九校联考】若关于的方程在上仅有一个实根，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】设函数，则，易得在上递减，在上递增，又因为，，因为关于的方程在12\n上仅有一个实根，所以或，解得，故选B.12.【2022福建莆田第六中学模拟】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则对任意，函数的零点个数至多有（）A.3个B.4个C.6个D.9个【答案】A【解析】当时，，由此可知在上单调递减，在上单调递增，，且,又在上的奇函数，,而时，，所以的图象示意图如图所示，令，则时，方程至多有3个根，当时，方程没有根，而对任意，方程至多有一个根，从而函数的零点个数至多有3个，故选A.13.【2022河北唐山市摸底考】设是方程的解，则所在的范围是．【答案】14.【2022山东省肥城市统测】已知函数和函数,若与的图象有且只有个交点,则的取值范围是．12\n【答案】【解析】由对数函数及三角函数图象知，解得.15.【2022河北武邑中学模拟】设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】函数定义域是，，，设，则，设，则，，易知，即也即在上恒成立，所以在上单调递增，又，因此是的唯一零点，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，，函数至少有一个零点，则，．12
