第17讲 算法、复数1.若复数z＝(1＋i)(3－ai)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝________．答案：－32.已知复数z满足(1＋i)z＝－1＋5i，则z＝________．答案：2＋3i3.在复平面内，复数对应的点位于第________象限．答案：一解析：＝1＋2i，从而对应的点在第一象限．4.如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值是________．答案：－5.某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到频率分布直方图(如图所示)，则分数在[70，80)内的人数是________．答案：30解析：由题设可知a＝0.03，从而[70，80)人数为0.03×10×100＝30人．6.设复数z1＝2－i，z2＝m＋i(m∈R，i为虚数单位)，若z1·z2为实数，则m的值为________．答案：2解析：由题设z1z2＝(2－i)(m＋i)＝(2m＋1)＋(2－m)i∈R，∴m＝2.7.已知m∈{－1，0，1}，n∈{－1，1}，若随机选取m、n，则直线mx＋ny＋1＝0恰好不经过第二象限的概率是__________．答案：8.根据如图所示的代码，最后输出的S的值为________． S←0ForIFrom1To10 S←S＋IEndFor-9-\nPrintS答案：559.如图所示的算法流程图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是________．答案：504910.如图给出的是计算1＋＋＋…＋的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i＞________．答案：1011.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同．现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是__________．答案：解析：基本事件为(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(2，3)(2，4)(2，5)(3，4)(3，5)(4，5)，其中和为3或6的有3个，因而有P＝.12.已知{an}是单调递增等差数列，设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|(n∈N*)．某学生设计了一个求Tn的部分算法流程图(如图)，则数列{an}的通项公式是________．答案：an＝2n－10解析：由{an}单调递增，知Sn＝a1＋a2＋…＋an＝－(9n－n2)＝n2－9n，从而n≥2时，an-9-\n＝Sn－Sn－1＝2n－10，n＝1时符合题意，即an＝2n－10.-9-\n滚动练习(六)1.复数＝________.答案：i解析：＝＝i.2.从集合{－1，0，1，2}中任取两个不同的元素a、b，则事件“乘积ab＜0”发生的概率为________．答案：解析：这是一道古典概率题，P＝＝＝.3.已知集合A＝{(x，y)|x、y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x、y为实数，且y＝x},则A∩B中的元素个数为________．答案：2解析：集合A表示由圆x2＋y2＝1上的所有点组成的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点组成的集合，由于直线经过圆内的点O(0，0)，则直线与圆有两个交点．4.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如右图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为____________和____________．答案：24 235.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的i的值是________．答案：56.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f＝________．-9-\n答案：1解析：由题设A＝2，T＝π－＝πT＝π，从而ω＝2，从而f(x)＝2sin(2x＋φ)，由图知最高点，从而2×＋φ＝，从而φ＝，从而f＝2sin＝2×sin＝1.7.已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(－x)≤f(1)的解集为__________．答案：[－1，＋∞)解析：f(1)＝1，令x(x－2)＝1，x>2，解得x＝＋1，从而f(－x)≤f(1)，即－x≤＋1，解得x≥－1.8.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4、a3、a5成等差数列，且Sk＝33，Sk＋1＝－63，其中k∈N*，则Sk＋2＝________．答案：129解析：由等比数列性质知2＝q＋q2，∴q＝1或－2.当q＝1时，显然不成立，∴q＝－2.ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－96.(解法1)Sk＋2＝Sk＋1＋ak＋2＝Sk＋1＋ak＋1(－2)＝－63＋96×2＝129.(解法2)＝＝＝33，得a1＝3，Sk＋2＝＝＝＝＝＝129.9.对于满足1≤x≤2的实数x，使x2－ax≤4x－a－3恒成立的实数a的取值范围是________．答案：[－1，＋∞)解析：运用函数与方程、不等式的思想．∵x2－ax≤4x－a－3，∴a(x－1)≥x2－4x＋3.显然当x＝1时，不等式恒成立；当x∈(1，2]时，a≥x－3，函数y＝x－3在x∈(1，2]上单调增，y≤－1，∴a≥－1.10.在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，点P(0，p)在线段AO上(异于端点)．设a、b、c、p均为非零实数，直线BP、CP分别交AC、AB于点E、F，一同学已正确算出OE的方程为x＋y＝0，则OF的方程为(________)x＋y＝0.答案：－解析：(解法1)(类比法)E在AC上，OE的方程为x＋y＝0.F在AB上，它们的区别在于B、C互换．因而OF的方程应为x＋y＝0.-9-\n(解法2)画草图如右，由对称性可猜想填－.事实上，由截距式可得直线AB：＋＝1，直线CP：＋＝1，两式相减得x＋y＝0，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程．11.在平面四边形ABCD中，已知AB＝3，DC＝2，点E、F分别在边AD、BC上，且＝3，＝3.若向量与的夹角为60°，则·＝__________．答案：7解析：由题设知：且＝－2，＝－2，①＋②，得2＝－－－(＋)．从而有2＝－－－－，即＝＋，从而·＝＝ 2＋·＝7.12.设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线离心率的最大值为______________．答案：解析：PF1＝4PF2，PF1－＝2a，PF1＝≥a＋c，≤.13.设不等式组表示的区域为A，不等式组表示的区域为B，在区域A中任意取一点P(x，y)．(1)求点P落在区域B中的概率；(2)若x、y分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子所得的点数，求点P落在区域B中的概率．解：(1)设区域A中任意一点P(x，y)∈B为事件M.因为区域A的面积为S1＝36，区域B在区域A中的面积为S2＝18.故P(M)＝＝.(2)设点P(x，y)落在区域B中为事件N.甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P(x，y)的个数为36，其中在区域B中的点P(x，y)有21个．故P(N)＝＝.14.已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C对应的边长分别为a、b、c，向量m＝(-9-\nsinB，1－cosB)与向量n＝(2，0)夹角θ的余弦值为.(1)求∠B的大小；(2)△ABC外接圆半径为1，求a＋c的取值范围．解：(1)∵m＝2sin，n＝2(1，0)，∴m·n＝4sincos，|m|＝2sin，|n|＝2，∴cosθ＝＝cos.由cos＝，0＜B＜π，得＝，即B＝.(2)∵B＝，∴A＋C＝.∴sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋sincosA－cossinA＝sinA＋cosA＝sin.又0＜A＜，∴＜＋A＜，∴＜sin≤1，∴sinA＋sinC∈.又a＋c＝2RsinA＋2RsinC＝2(sinA＋sinC)，∴a＋c∈(，2]．15.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C、D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(m3)，表面积为S(m2)．(1)求V关于θ的函数表达式；(2)求体积V的最大值；(3)当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．解：(1)梯形ABCD的面积SABCD＝·sinθ＝sinθcosθ＋sinθ，θ∈.体积V(θ)＝10(sinθcosθ＋sinθ)，θ∈.(2)V′(θ)＝10(2cos2θ＋cosθ－1)＝10(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令V′(θ)＝0，得cosθ＝，或cosθ＝－1.∵θ∈，∴cosθ＝，∴θ＝.当θ∈时，＜cosθ＜1，V′(θ)＞0，V(θ)为增函数；-9-\n当θ∈时，0＜cosθ＜，V′(θ)＜0，V(θ)为减函数．∴当θ＝时，体积V最大，最大值为.(3)木梁的侧面积S侧＝(AB＋2BC＋CD)·10＝20，θ∈.S＝2SABCD＋S侧＝2(sinθcosθ＋sinθ)＋20(cosθ＋2sin＋1)，θ∈.设g(θ)＝cosθ＋2sin＋1，θ∈.∵g(θ)＝－2sin2＋2sin＋2，∴当sin＝，即θ＝时，g(θ)最大．又由(2)知θ＝时，sinθcosθ＋sinθ取得最大值，∴θ＝时，木梁的表面积S最大．综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．16.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且(Sn＋1＋λ)an＝(Sn＋1)an＋1对一切n∈N*都成立． (1)若λ＝1，求数列{an}的通项公式；(2)求λ的值，使数列{an}是等差数列．解：(1)若λ＝1，则(Sn＋1＋1)an＝(Sn＋1)an＋1，a1＝S1＝1.∵an＞0，Sn＞0，∴＝，∴··…·＝··…·，化简，得Sn＋1＋1＝2an＋1. ①∴当n≥2时，Sn＋1＝2an. ②①－②得an＋1＝2an，∴＝2(n≥2)．∵当n＝1时，a2＝2，∴n＝1时上式也成立，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，an＝2n－1(n∈N*)．(2)令n＝1，得a2＝λ＋1.令n＝2，得a3＝(λ＋1)2.要使数列{an}是等差数列，必须有2a2＝a1＋a3，解得λ＝0.当λ＝0时，Sn＋1an＝(Sn＋1)an＋1，且a2＝a1＝1.当n≥2时，Sn＋1(Sn－Sn－1)＝(Sn＋1)(Sn＋1－Sn)，整理，得S＋Sn＝Sn＋1Sn－1＋Sn＋1，＝，从而··…·＝··…·，化简，得Sn＋1＝Sn＋1，∴an＋1＝1.-9-\n综上所述，an＝1(n∈N*)，∴λ＝0时，数列{an}是等差数列．-9-
