1．集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[问题1] 已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )A．0或B．0或3C．1或D．1或32．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝f(x)}——函数的定义域；{y|y＝f(x)}——函数的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函数图象上的点集．[问题2] 集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.3．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．[问题3] 设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________________________________________．4．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.[问题4] 满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．5．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[问题5] 已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁IA)∪B等于( )7\nA．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．[问题6] 已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是________________________________________________________________________________________________________________________________________________.7．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.[问题7] 设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的________条件．8．要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．[问题8] 若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是________________．易错点1 忽视空集致误例1 设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．错因分析 集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的实数根所构成的集合，由B⊆A，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B＝∅的情况，导致漏解．解 因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得解得a＝1；②当∅≠BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.7\n综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.易错点2 忽视区间端点取舍例2 记f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a＜1)的定义域为B.若B⊆A，求实数a的取值范围．错因分析 在求解含参数的集合间的包含关系时，忽视对区间端点的检验，导致参数范围扩大或缩小．解 ∵2－≥0，∴≥0.∴x＜－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．由(x－a－1)(2a－x)＞0，得(x－a－1)(x－2a)＜0.∵a＜1，∴a＋1＞2a，∴B＝(2a，a＋1)．∵B⊆A，∴2a≥1或a＋1≤－1，即a≥或a≤－2，而a＜1，∴≤a＜1或a≤－2.故当B⊆A时，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[，1)．易错点3 混淆充分条件和必要条件例3 若p：a∈R，|a|＜1，q：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，但不满足p，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件错因分析 解答本题易出现的错误是颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件而致误．解析 p：a∈R，|a|<1⇔－1＜a＜1⇒a－2＜0，可知满足q的方程有两根，且两根异号，所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件，如当a＝1时，q中方程的一个根大于零，另一个根小于零，但不满足p.本题也可以把命题q中所有满足条件的a值求出来，再进行分析判断，实际上一元二次方程两根异号的充要条件是两根之积小于0，对于本题就是a7\n－2＜0，即a＜2，故选A.答案 A易错点4 “或”“且”“非”理解不清例4 已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是( )A．(－12，－4)∪[4，＋∞)B．[－12，－4]∪[4，＋∞)C．(－∞，－12)∪(－4,4)D．[12，＋∞)错因分析 当p或q为真命题时，p，q之间的真假关系判断错误．解析 命题p等价于Δ＝a2－16≥0，解得a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，解得a≥－12.因为p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q一真一假．当p真q假时，a＜－12；当p假q真时，－4＜a＜4，故选C.答案 C1．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B⊆A，则实数a为( )A．－1B．2C．－1或2D．1或－1或22．设全集U＝R，A＝{x|＜0}，B＝{x|2x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是( )A．a≤1B．a<1C．a≥2D．a>24．(2022·天津)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )A．充分而不必要条件7\nB．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知集合A＝{x∈R|≤0}，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)＜0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是( )A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．{1}∪[2，＋∞)D．(1，＋∞)6．已知p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，q：y＝(2a－1)x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是( )A．a≤B．0<a<C.<a≤D.<a<17．已知集合A＝{－1，m}，B＝{x|x＞1}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．8．设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x－4}，那么(∁UM)∩(∁UN)＝______.9．已知条件p：x2＋2x－3>0，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为__________．10．给出如下四个结论：①若“p∨q”为真命题，则p，q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“∀x∈R，x2＋x≥1”的否定是“∃x0∈R，x＋x0≤1”；④“x＞0”是“x＋≥2”的充要条件．其中正确的是________．7\n学生用书答案精析第四篇 回归教材，纠错例析，帮你减少高考失分点1．集合与常用逻辑用语要点回扣[问题1] B[问题2] ∅[问题3] {0，，}[问题4] 7[问题5] C[问题6] 否命题：已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b；1命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b[问题7] 充分不必要[问题8] (－∞，－1)∪解析 不等式即(x2＋x)a－2x－2>0，设f(a)＝(x2＋x)a－2x－2.研究“任意a∈[1,3]，恒有f(a)≤0”．则解得x∈.则实数x的取值范围是(－∞，－1)∪.查缺补漏1．C [因为B⊆A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.若a2－a＋1＝3，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足题意；当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足题意．若a2－a＋1＝a，即a2－2a＋1＝0，解得a＝1，此时集合A中有重复元素1，舍去．由以上，可知a＝－1或a＝2.故选C.]2．B [A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，由题图可知阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A＝{x|1≤x＜2}．]7\n3．C [∵B＝{x|1<x<2}，∴∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，又∵A＝{x|x<a}，且A∪(∁RB)＝R，利用数轴易知应有a≥2，故选C.]4．A [由|x－2|＜1得，1＜x＜3，由x2＋x－2＞0，得x＜－2或x＞1，而1＜x＜3⇒x＜－2或x＞1，而x＜－2或x＞1⇏1＜x＜3，所以，“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分而不必要条件，选A.]5．C [由≤0，得A＝{x∈R|－1＜x≤4}，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)＜0}＝{x∈R|2a＜x＜a2＋1}．若B≠∅，则在数轴上可以看出2a≥4，所以a≥2；若B＝∅，只能a＝1，综上选C.]6．C [p⇔a∈，q⇔a∈，∴a∈.]7．(1，＋∞)解析 因为A∩B≠∅且－1∉B，所以必有m∈B，所以m＞1.8．{(2，－2)}解析 由题意，知M＝{(x，y)|y＝x－4(x≠2)}，M表示直线y＝x－4上的点集，但是除掉点(2，－2)，∁UM表示直线y＝x－4外的点集，且包含点(2，－2)；N表示直线y＝x－4外的点集，∁UN表示直线y＝x－4上的点集，所以(∁UM)∩(∁UN)＝{(2，－2)}．9．[1，＋∞)解析 由x2＋2x－3>0可得x>1或x<－3，“綈p是綈q的充分不必要条件”等价于“q是p的充分不必要条件”，故a≥1.10．②④解析 ①若“p∨q”为真命题，则p，q不一定都是真命题，所以①不正确；②“若a＞b，则2a＞2b－1”否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”，所以②正确；③“∀x∈R，x2＋x≥1”的否定是“∃x0∈R，x＋x0＜1”，所以③不正确；④“x＞0”是“x＋≥2”的充要条件，所以④正确．7
