6．解析几何1．直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为[0，π)．(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tanα(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝(x1≠x2)；③直线的方向向量a＝(1，k)；④应用：证明三点共线：kAB＝kBC.[问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？(2)直线xcosθ＋y－2＝0的倾斜角的范围是____________________．2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点，则直线方程为＝，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为＋＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式．[问题2] 已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________________________________________________________________________．3．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝；(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.[问题3] 两平行直线3x＋2y－5＝0与6x＋4y＋5＝0间的距离为________．12\n4．两直线的平行与垂直(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.(2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.特别提醒：(1)＝≠、≠、＝＝仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．[问题4] 设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合．5．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，只有当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为(－，－)，半径为的圆．[问题5] 若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a＝________.6．直线、圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d<r⇔相交；d>r⇔相离；d＝r⇔相切．(2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则①当|O1O2|>r1＋r2时，两圆外离；②当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；③当|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2时，两圆相交；④当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；⑤当0≤|O1O2|<|r1－r2|时，两圆内含．[问题6] 双曲线－＝1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________．12\n7．对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：FD∈/l，否则定点的轨迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线．[问题7] 已知平面内两定点A(0,1)，B(0，－1)，动点M到两定点A、B的距离之和为4，则动点M的轨迹方程是________．8．求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．(1)椭圆的标准方程：焦点在x轴上，＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上，＋＝1(a>b>0)．(2)双曲线的标准方程：焦点在x轴上，－＝1(a>0，b>0)；焦点在y轴上，－＝1(a>0，b>0)．(3)与双曲线－＝1具有共同渐近线的双曲线系为－＝λ(λ≠0)．(4)抛物线的标准方程焦点在x轴上：y2＝±2px(p>0)；焦点在y轴上：x2＝±2py(p>0)．[问题8] 与双曲线－＝1有相同的渐近线，且过点(－3,2)的双曲线方程为________________________________________________________________________．9．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切．在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝或|P1P2|＝.(3)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)、D(x2，y2)，则①焦半径|CF|＝x1＋；12\n②弦长|CD|＝x1＋x2＋p；③x1x2＝，y1y2＝－p2.[问题9] 已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．易错点1 直线的倾斜角与斜率关系不清例1 已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是______．错因分析 本题易出现的错误有两个：一是利用导函数的几何意义求出曲线在点P处的切线的斜率之后，不能利用基本不等式求出斜率的取值范围；二是混淆直线倾斜角的取值范围以及直线的倾斜角和斜率之间的关系，不能求出倾斜角的取值范围．解析 设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝，因为ex＞0，所以由基本不等式，得k≥又k＜0，所以－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0.所以≤α＜π.答案 [，π)易错点2 忽视直线的特殊位置例2 已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0.求使l1∥l2的a的值．错因分析 本题易出现的问题是忽视直线斜率不存在的特殊情况，即忽视a＝0的情况．解 当直线斜率不存在，即a＝0时，有l1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2；当直线斜率存在时，l1∥l2⇔－＝⇔a＝－，经检验，a＝－符合题意．12\n故使l1∥l2的a的值为－或0.易错点3 焦点位置考虑不全例3 已知椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝_____________________________.错因分析 本题易出现的问题就是误以为给出方程的椭圆，其焦点在x轴上导致漏解．该题虽然给出了椭圆的方程，但并没有确定焦点所在坐标轴，所以应该根据其焦点所在坐标轴进行分类讨论．解析 ①当椭圆的焦点在x轴上时，则由方程，得a2＝4，即a＝2.又e＝＝，所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝22－()2＝1.②当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.则由方程，得b2＝4，即b＝2.又e＝＝，故＝，解得＝，即a＝2b，所以a＝4.故m＝a2＝16.综上，m＝1或16.答案 1或16易错点4 忽视“判别式”致误例4 已知双曲线x2－＝1，过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．错因分析 只利用根与系数的关系考虑中点坐标，而忽视直线与双曲线相交于两点的条件．解 设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为y＝k(x－1)＋1.代入双曲线方程x2－＝1，整理得，(2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0，由Δ＝4k2(k－1)2－4(2－k2)(2k－3－k2)>0，12\n解得k<.设直线与双曲线交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，点A(1,1)是弦中点，则＝1.∴＝1，解得k＝2>，故不存在被点A(1,1)平分的弦．易错点5 求离心率范围忽视特殊情况例5 双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．错因分析 忽视P为双曲线右顶点的情况，导致离心率范围缩小．解析 设|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ≤π)，当点P在右顶点处时，θ＝π.e＝＝＝＝3.当θ≠π时，由条件，得|PF1|＝2m，|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cosθ，且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.所以e＝＝＝.又－1<cosθ<1，所以e∈(1,3)．综上，e∈(1,3]．答案 (1,3]易错点6 定点问题意义不明例6 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.求证：直线MN恒过定点．错因分析 直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解．证明 由题设，知F(1,0)，直线AB的斜率存在且不为0，设lAB：y＝k(x－1)(k≠0)，代入y212\n＝4x，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，得xM＝＝，又yM＝k(xM－1)＝，故M(，)．因为CD⊥AB，所以kCD＝－.以－代k，同理，可得N(2k2＋1，－2k)．所以直线MN的方程为(2k2＋1－)(y＋2k)＝(－2k－)(x－2k2－1)，化简整理，得yk2＋(x－3)k－y＝0，该方程对任意k恒成立，故解得故不论k为何值，直线MN恒过点(3,0)．1．(2022·安徽)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.B.C.D.2．(2022·广东)若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等3．(2022·天津模拟)已知抛物线C的方程为y2＝8x，设抛物线C的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于( )A．2B．4C．6D．84．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是( )12\nA．(2，＋∞)B．(1,2)C．(1，)D．(，＋∞)5．已知点F1、F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是( )A．0B．1C．2D．26．(2022·课标全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|等于( )A.B.C．3D．27．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．8．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是________．9．(2022·兰州、张掖联考)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是______________．10．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F向其一条渐近线作垂线，垂足为M，已知∠MFO＝30°(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________．11．已知点A(－2,0)，B(2,0)，过点A作直线l与以A，B为焦点的椭圆交于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，则该椭圆的标准方程是________．12\n学生用书答案精析6．解析几何要点回扣[问题1] (1)错 (2)[0，]∪[，π)[问题2] 5x－y＝0或x＋y－6＝0[问题3] [问题4] －1 m≠3且m≠－1 3[问题5] －1[问题6] 内切[问题7] ＋＝1[问题8] －＝1[问题9] 解析 ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.查缺补漏1．D [方法一 如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知|OP|＝2，|OA|＝1，则sinα＝，所以α＝，∠BPA＝.故直线l的倾斜角的取值范围是.方法二 设过点P的直线方程为y＝k(x＋)－1，则由直线和圆有公共点知≤1.解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]．]12\n2．A [因为0<k<9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线－＝1的实半轴长为5，虚半轴长为，焦距为2＝2，离心率为.双曲线－＝1的实半轴长为，虚半轴长为3，焦距为2＝2，离心率为，故两曲线只有焦距相等．故选A.]3．D [设P(x0，y0)，直线AF的倾斜角为α，准线l与x轴交于点B，由题意知，F(2,0)，直线l：x＝－2.又tanα＝－，∴α＝π，∴∠AFB＝，∵|BF|＝4，∴|AB|＝4，即A(－2,4)．∵PA⊥l，∴P(x0，4)，代入y2＝8x得x0＝6，∴|PF|＝x0＋2＝8.]4．C [双曲线的渐近线为bx±ay＝0，因为它与圆(x－2)2＋y2＝0相交，所以圆心(2,0)到该直线的距离小于圆的半径，即<，整理得b2<a2，所以c2－a2<a2，得<2，所以1<e<.]5．C [设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)．∴＋＝(－2x0，－2y0)，∴|＋|＝＝2＝2，∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1.∴当y＝1时，|＋|取最小值为2.]6．C [∵＝4，∴||＝4||，∴＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，12\n设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，∴＝＝，∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.]7.解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值是.8．4解析 设点A(x1，y1)，其中y1>0.过点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1，则有|BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝＝，∠CBB1＝，即直线AB与x轴的夹角为.又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝2，因此△AKF的面积等于|AK|·y1＝×4×2＝4.9．y2＝3x解析 如图，分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于点E，D，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，根据题意得p＝，∴抛物线的方程是y2＝3x.10．2解析 由已知得点F的坐标为(c,0)(c＝)，其中一条渐近线方程为bx－ay＝0，则|MF|＝＝b，由∠MFO＝30°可得＝＝cos30°＝，所以＝，12\n所以e＝＝2.11.＋＝1解析 根据题意，知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，①由题意设椭圆方程为＋＝1(a2＞4)，②由直线l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，解得k2＝.将①代入②，得(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0，设点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－.又线段MN的中点到y轴的距离为，所以|x1＋x2|＝，即－＝－，解得a2＝8.所以该椭圆的标准方程为＋＝1.12
