第2讲 不等式与线性规划1．(2022·大纲全国)不等式组的解集为( )A．{x|－2<x<－1}B．{x|－1<x<0}C．{x|0<x<1}D．{x|x>1}2．(2022·广东)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为( )A．4B.C．6D.3．(2022·浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A．ax＋by＋czB．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cxD．ay＋bx＋cz4．(2022·重庆)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________． 1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点；2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围；3.利用不等式解决实际问题.热点一 不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；15\n(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1 (1)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )A．{x|x<－1或x>－lg2}B．{x|－1<x<－lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}(2)已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集为( )A．{x|x>2或x<－2}B．{x|－2<x<2}C．{x|x<0或x>4}D．{x|0<x<4}思维升华 (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．跟踪演练1 (1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________.(2)已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋lnx)|<1的解集是________________．热点二 基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)．例2 (1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是( )A.B.C．8D．2415\n(2)已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为( )A．1B.C．2D.思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪演练2 (1)(2022·天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．(2)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是________．热点三 简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3 (1)(2022·北京)若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为( )A．0B．1C.D．2(2)(2022·安徽)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )A.或－1B．2或C．2或1D．2或－1思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练3 已知x，y满足且目标函数z＝2x＋y的最小值为9，则实数a的值是( )A．1B．2C．3D．715\n1．若点A(a，b)在第一象限，且在直线x＋2y＝1上，则ab的最大值为( )A．1B.C.D.2．已知A(1，－1)，B(x，y)，且实数x，y满足不等式组则z＝·的最小值为( )A．2B．－2C．－4D．－63．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤4的解集为____________．4．已知不等式≥|a2－a|对于x∈[2,6]恒成立，则a的取值范围是________．提醒：完成作业 专题一 第2讲15\n二轮专题强化练专题一第2讲 不等式与线性规划A组 专题通关1．下列选项中正确的是( )A．若a>b，则ac2>bc2B．若ab>0，a>b，则<C．若a>b，c<d，则<D．若a>b，c>d，则a－c>b－d2．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(－2,1)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．(2022·山东)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于( )A．3B．2C．－2D．－34．(2022·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )A．6＋2B．7＋2C．6＋4D．7＋45．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)，f′(0)>0，且f(x)的值域为[0，＋∞)，则的最小值为( )A．3B.C．2D.6．已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集为________________．7．(2022·绵阳市一诊)某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q(q∈N*)的函数关系式为C＝100－4q，销售单价p与产量q的函数关系式为p＝25－q15\n.要使每件产品的平均利润最大，则产量q＝________.8．(2022·资阳市测试)若两个正实数x，y满足＋＝1，且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．9．设0<a<1，集合A＝{x∈R|x>0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B，求集合D.(用区间表示)10．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．B组 能力提高11．(2022·陕西)设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q12．(2022·课标全国Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．13．已知x>0，y>0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是______________________________________．14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．15\n(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)．15\n学生用书答案精析第2讲 不等式与线性规划高考真题体验1．C [由得所以0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.]2．B [不等式组所表示的可行域如下图所示，由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依题当目标函数直线l：y＝－x＋经过A时，z取得最小值即zmin＝3×1＋2×＝，故选B.]3．B [令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3.A项：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14；B项：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10；C项：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11；D项：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.故选B.]4．3解析 ∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，则＋≤3，即＋最大值为3.热点分类突破例1 (1)D (2)C解析 (1)由已知条件0<10x<，解得x<lg＝－lg2.(2)由题意可知f(－x)＝f(x)．即(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，(2a－b)x＝0恒成立，15\n故2a－b＝0，即b＝2a，则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a>0.f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.故选C.跟踪演练1 (1) (2)(，e2)解析 (1)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)·(x－4a)<0，因为a>0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝.(2)∵|f(1＋lnx)|<1，∴－1<f(1＋lnx)<1，∴f(3)<f(1＋lnx)<f(0)，又∵f(x)在R上为减函数，∴0<1＋lnx<3，∴－1<lnx<2，∴<x<e2.例2 (1)C (2)B解析 (1)∵a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0，即2x＋3y＝3.∵x>0，y>0，∴＋＝(＋)·(2x＋3y)＝(6＋6＋＋)≥(12＋2×6)＝8.当且仅当3y＝2x时取等号．(2)2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2·＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，得a≥，即实数a的最小值为，故选B.15\n跟踪演练2 (1)4 (2)4解析 (1)log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤2＝2＝2＝4，当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，此时a＝4，b＝2.(2)易知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径为2，圆心为(－1,2)，因为直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)过圆心，把圆心坐标代入得：a＋b＝1，所以＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，a＋b＝1，即a＝b＝时等号成立．例3 (1)D (2)D解析 (1)可行域如图所示．目标函数化为y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点A(0,1)时，z取得最大值2.(2)如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.跟踪演练3 C [依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点B(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a；因为目标函数z＝2x＋y的最小值为9，所以3a＝9，解得a＝3，故选C.]高考押题精练1．D [因为点A(a，b)在第一象限，且在直线x＋2y＝1上，15\n所以a>0，b>0，且a＋2b＝1，所以ab＝·a·2b≤·()2＝，当且仅当a＝2b＝，即a＝，b＝时，“＝”成立．故选D.]2．C [画出不等式组所表示的可行域为如图所示的△ECD的内部(包括边界)，其中E(2,6)，C(2,0)，D(0,2)．目标函数z＝·＝x－y.令直线l：y＝x－z，要使直线l过可行域上的点且在y轴上的截距－z取得最大值，只需直线l过点E(2,6)．此时z取得最小值，且最小值zmin＝2－6＝－4.故选C.]3．{x|－14≤x<2或x≥}解析 由题意得或解得x≥或－14≤x<2，故不等式f(x)≤4的解集为{x|－14≤x<2或x≥}．4．[－1,2]解析 设y＝，y′＝－，故y＝在x∈[2,6]上单调递减，即ymin＝＝，故不等式≥|a2－a|对于x∈[2,6]恒成立等价于|a2－a|≤恒成立，化简得解得－1≤a≤2，故a的取值范围是[－1,2]．15\n二轮专题强化练答案精析第2讲 不等式与线性规划1．B [若a>b，取c＝0，则ac2>bc2不成立，排除A；取a＝2，b＝－1，c＝1，d＝2，则选项C不成立，排除C；取a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1，则选项D不成立，排除D.选B.]2．C [根据题意，由于不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x2＋x<(＋)min，∵＋≥2＝2，∴x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知其解集为(－2,1)．]3．B [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A(2,0)，由得B(1,1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0,0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.]4．D [由题意得所以又log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4ab，所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号．故选D.]5．C [f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b>0，函数f(x)的值域为[0，＋∞)，所以a>0，且b2－15\n4ac＝0，即4ac＝b2，所以c>0.又f(1)＝a＋b＋c，所以＝＝1＋≥1＋＝1＋＝1＋1＝2(当且仅当b＝2a＝2c时取等号)，所以的最小值为2，故选C.]6．(－∞，0]∪[3，＋∞)解析 当x>0时，由log3x≥1可得x≥3，当x≤0时，由()x≥1可得x≤0，∴不等式f(x)≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．7．40解析 每件产品的利润y＝25－q－＝29－(＋)≤29－2＝24，当且仅当＝且q>0，即q＝40时取等号．8．(－4,2)解析 ∵x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，∴(x＋2y)min＝8，令m2＋2m<8，得－4<m<2.9．解 令g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，其对称轴方程为x＝(1＋a)，Δ＝9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)．①当0<a≤时，Δ≥0，x＝(1＋a)>0，g(0)＝6a>0，方程g(x)＝0的两个根分别为0<x1＝<x2＝，∴D＝A∩B＝∪；②当<a<1时，Δ<0，则g(x)>0恒成立，所以D＝A∩B＝(0，＋∞)．15\n综上所述，当0<a≤时，D＝∪；当<a<1时，D＝(0，＋∞)．10．解 (1)行车所用时间为t＝(h)，y＝×2×(2＋)＋14×，x∈[50,100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100]．(2)y＝＋x≥26，当且仅当＝x，即x＝18时，上述不等式中等号成立．故当x＝18时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元．11．C [∵0＜a＜b，∴＞，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r＜q.选C.]12．3解析 画出可行域如图阴影所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时最大．由 得∴A(1,3)．∴的最大值为3.15\n13．(－∞，]解析 要使(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则有(x＋y)2＋1≥a(x＋y)，即a≤(x＋y)＋恒成立．由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤()2，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．设t＝x＋y，则t≥6，(x＋y)＋＝t＋.设f(t)＝t＋，则在t≥6时，f(t)单调递增，所以f(t)＝t＋的最小值为6＋＝，所以a≤，即实数a的取值范围是(－∞，]．14．解 (1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)＝ax＋b在[20,200]上是减函数，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)＝(2)依题意并由(1)可得f(x)＝当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立，所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3333辆/小时．15
