4．数列、不等式1．已知前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝.由Sn求an时，易忽略n＝1的情况．[问题1] 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.2．等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.(3)等差数列的前n项和：Sn＝，Sn＝na1＋d.(4)等差数列的性质①当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是关于n的二次函数且常数项为0.②若公差d>0，则为递增等差数列；若公差d<0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列．③当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．[问题2] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为( )A．15B．20C．25D．303．等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法：定义法＝q(q为常数)，其中q≠0，an≠0或＝(n≥2)．如一个等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1＝.(2)等比数列的通项：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.易错警示：由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n10\n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q＝1和q≠1两种情形讨论求解．(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±.如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A>B.(5)等比数列的性质当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝a.[问题3] (1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.(2)各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法；如：＝－；＝.(6)并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为________．5．在求不等式的解集时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[问题5] 不等式－3x2＋5x－2>0的解集为________．6．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6] 已知a，b，c，d为正实数，且c>d，则“a>b”是“ac>bd”的________条件．7．基本不等式：≥(a，b>0)10\n(1)推广：≥≥≥(a，b>0)．(2)用法：已知x，y都是正数，则①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2；②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．[问题7] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝＋的最小值是________．8．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．[问题8] 设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是________．易错点1 an与Sn关系不清例1 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，则数列{an}的通项公式为________．错因分析 没有注意到an＝Sn－Sn－1成立的条件：n≥2，忽视对n的分类讨论．解析 当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，∴an＝答案 an＝易错点2 忽视等比数列中q的范围例2 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列{an}的公比q＝________.错因分析 没有考虑等比数列求和公式Sn＝中q≠1的条件，本题中q＝1恰好符合题目条件．解析 ①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立．②当q≠1时，由S3＋S6＝S9，得＋＝.10\n∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.答案 1或－1易错点3 数列最值问题忽略n的限制例3 已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)()n(n∈N*)，则数列{an}的最大项是( )A．第6项或第7项B．第7项或第8项C．第8项或第9项D．第7项错因分析 求解数列{an}的前n项和Sn的最值，无论是利用Sn还是利用an来求，都要注意n的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误．解析 因为an＋1－an＝(n＋3)()n＋1－(n＋2)()n＝()n·，当n＜7时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝7时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞7时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜…＜a7＝a8＞a9＞a10…，所以此数列的最大项是第7项或第8项，故选B.答案 B易错点4 裂项法求和搞错剩余项例4 在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，则数列{bn}的前n项和为( )A.B.C.D.错因分析 裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误：一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的．解析 由已知得an＝＋＋…＋＝(1＋2＋…＋n)＝，从而bn＝＝＝4(－)，所以数列{bn}的前n项和为Sn＝4[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝4(1－)＝.故选D.答案 D易错点5 解不等式时变形不同解10\n例5 解不等式≥2.错因分析 本题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为3x－5≥2(x2＋2x－3)求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解．解 原不等式可化为－2≥0，即≥0.整理得≤0，不等式等价于解得－3＜x≤－1或≤x＜1.所以原不等式的解集为{x|－3＜x≤－1或≤x＜1}．易错点6 忽视基本不等式中等号成立条件例6 函数y＝x＋(x≠1)的值域是______________________________________．错因分析 本题易出现的错误有两个方面：一是不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之积为定值；二是利用基本不等式求最值时，忽视式子的取值范围，直接套用基本不等式求最值．如本题易出现：由y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，得出y∈[3，＋∞)这一错误结果．解析 当x＞1时，y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立；当x＜1时，－y＝－x＋＝1－x＋－1≥2－1＝1，即y≤－1，当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立．所以原函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)1．(2022·重庆)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于( )10\nA．－1B．0C．1D．62．(2022·武汉适应性训练)已知正项等差数列{an}的前20项和为100，那么a6·a15的最大值是( )A．25B．50C．100D．不存在3．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝3，b1＝1，a2＝b2,3a5＝b3，若存在常数u，v对任意正整数n都有an＝3logubn＋v，则u＋v等于( )A．3B．6C．9D．124．(2022·江南十校联考(二))已知数列{an}的通项公式为an＝log3(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn＜－4成立的最小自然数n为( )A．83B．82C．81D．805．(2022·湖南)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为( )A．－7B．－1C．1D．26．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( )A．195B．197C．392D．3967．(2022·福建六校联考)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋)(＋4y2)的最小值为______．8．已知函数f(x)＝(a>0，a≠1)．数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是________．9．(2022·忻州联考)不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为________．10．已知函数f(x)＝(a，b为常数)且方程f(x)－x＋12＝0有两实根x1＝3，x2＝4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k＞1，解关于x的不等式f(x)≤.10\n 11．等比数列{an}的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋an＞＋＋…＋成立的正整数n的取值范围． 10\n学生用书答案精析4．数列、不等式要点回扣[问题1] [问题2] A[问题3] (1)512 (2)10[问题4] [问题5] [问题6] 充分不必要[问题7] 9[问题8] 查缺补漏1．B [由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B.]2．A [由题意知S20＝×20＝100⇒＝5，故a6＋a15＝a1＋a20＝10，又{an}为正项数列，所以，a6＞0，a15＞0，所以a6·a15≤()2＝25.]3．B [设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则解得d＝6，q＝9，所以an＝6n－3，bn＝9n－1,6n－3＝3nlogu9＋v－3logu9对任意正整数n恒成立，所以解得u＝v＝3，故u＋v＝6.]4．C [∵an＝log3＝log3n－log3(n＋1)，∴Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)＜－4，解得n＞34－1＝80.故最小自然数n的值为81.]5．A [不等式组表示的平面区域如图，平移直线y＝3x－z，过M(－2,1)时，zmin＝3×(－2)－1＝－7.故选A.]10\n6．C [将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n－1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n－1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故选C.]7．9解析 (x2＋)(＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2＝9，当且仅当4x2y2＝即|xy|＝时等号成立．8．(4,8)解析 ∵{an}是单调递增数列，∴∴4<a<8.9．[3，＋∞)解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．直线y＝kx－1显然经过定点M(0，－1)，由图形直接观察知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1和直线x＋y＝3的交点C(1,2)时，k最小，此时kCM＝＝3，因此k≥3.10．解 (1)将x1＝3，x2＝4分别代入方程－x＋12＝0，得⇒所以f(x)＝(x≠2)．(2)不等式即为≤，可化为≤0，即①当1＜k＜2时，解集为x∈[1，k]∪(2，＋∞)；10\n②当k＝2时，解集为x∈[1,2)∪(2，＋∞)；③当k>2时，解集为x∈[1,2)∪[k，＋∞)．11．解 由题意，得(a1q16)2＝a1q23，所以a1q9＝1.又因为数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，要使不等式成立，则需＞，把a＝q－18代入上式并整理，得q－18(qn－1)＞q(1－)，即q－18(qn－1)＞q·，所以qn＞q19.因为q＞1，所以n＞19.故所求正整数n的取值范围是n≥20，n∈N*.10
