第1讲 集合与常用逻辑用语1．(2022·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N等于( )A．[0,1]B．(0,1]C．[0,1)D．(－∞，1]2．(2022·天津)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2022·浙江)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n04．设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是( )A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S 16\n1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断.热点一 集合的关系及运算1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．例1 (1)(2022·成都七中测试)已知集合A＝{x|f(x)＝lg(x2－2x)}，B＝{x|－<x<}，则( )A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆AD．A⊆B(2)(2022·广雅中学一模)对于非空集合A，B，定义运算：AB＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M＝{x|a<x<b}，N＝{x|c<x<d}，其中a、b、c、d满足a＋b＝c＋d，ab<cd<0，则MN等于( )A．(a，d)∪(b，c)B．(c，a]∪[b，d)C．(a，c]∪[d，b)D．(c，a)∪(d，b)思维升华 (1)集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后可借助Venn图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．跟踪演练1 (1)设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B16\n)的集合M的个数是( )A．0B．1C．2D．3(2)设集合M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是( )A.B.C.D.热点二 四种命题与充要条件1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．例2 (1)(2022·江西)下列叙述中正确的是( )A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β(2)(2022·嘉兴一中期中)已知p：m－1<x<m＋1，q：(x－2)(x－6)<0，且q是p的必要不充分条件，则m的取值范围是( )A．3<m<5B．3≤m≤5C．m>5或m<3D．m≥5或m≤3思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．跟踪演练2 (1)(2022·安徽屯溪第一中学期中)下列五个命题：①log2x2＝2log2x；②A∪B＝A的充要条件是B⊆A；③若y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最小值为－k＋1；④若函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有<0，则实数a的取值范围是(，16\n)．其中正确命题的序号为________．(写出所有正确命题的序号)(2)已知“x>k”是“<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )A．[2，＋∞)B．[1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，－1]热点三 逻辑联结词、量词1．命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．2．命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．3．“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．例3 (1)已知命题p：在△ABC中，“C>B”是“sinC>sinB”的充分不必要条件；命题q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( )A．p真q假B．p假q真C．“p∧q”为假D．“p∧q”为真(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )A．a≤－2或a＝1B．a≤2或1≤a≤2C．a>1D．－2≤a≤1思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．跟踪演练3 (1)已知直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，给出命题p：l1∥l2的充要条件是a＝－3或a＝2；命题q：l1⊥l2的充要条件是a＝－.对于以上两个命题，下列结论中正确的是( )A．“p∧q”为真B．“p∨q”为假C．“p∨(綈q)”为假D．“p∧(綈q)”为真(2)已知命题p：∃x0∈R，－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．[0,2]16\nC．RD．∅1．已知集合E＝{1,2,3,4,5}，集合F＝{x|x(4－x)<0}，则E∩(∁RF)等于( )A．{1,2,3}B．{4,5}C．{1,2,3,4}D．{1,4}2．已知集合A＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：①M＝{(x，y)|y＝}；②M＝{(x，y)|y＝ex－2}；③M＝{(x，y)|y＝cosx}；④M＝{(x，y)|y＝lnx}．其中所有“Ω集合”的序号是( )A．②③B．③④C．①②④D．①③④3．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列命题是假命题的是________．(填序号)①命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”；②若0<x<，且xsinx<1，则xsin2x<1；③对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0；④“x>2”是“－1≤0”的充要条件；⑤若p∧q为假命题，则p、q均为假命题．16\n提醒：完成作业 专题一 第1讲16\n专题一第1讲 集合与常用逻辑用语A组 专题通关1．已知集合M＝{1，a2}，P＝{－a，－1}，若M∩P中有一个元素，则M∪P等于( )A．{0,1}B．{0，－1}C．{－1,0,1}D．{－1,1}2．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于( )A．{－1,0,1,2}B．{－2，－1,0,1}C．{0,1}D．{－1,0}3．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{5,6,7}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈B}，则C中所含元素的个数为( )A．5B．6C．12D．134．(2022·河南省名校期中)已知集合M＝{x|y＝lg}，N＝{y|y＝x2＋2x＋3}，则(∁RM)∩N等于( )A．{x|0<x<1}B．{x|x>1}C．{x|x≥2}D．{x|1<x<2}5．(2022·重庆)“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的( )A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )A．p为真B．綈q为假C．p∧q为假D．p∨q为真7．(2022·辽宁师范大学附中期中)已知命题p：<1，命题q：(x＋a)(x－3)>0，若p是16\nq的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )A．(－3，－1]B．[－3，－1]C．(－∞，－1]D．(－∞，－3]8．给出下列命题：①若“p或q”是假命题，则“綈p且綈q”是真命题；②|x|>|y|⇔x2>y2；③若关于x的实系数二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为∅，则必有a>0，且Δ≤0；④⇔其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．49．(2022·江苏省泰兴市期中)若集合A＝{x|y＝lg(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则集合A∩B＝_____________.10．(2022·襄阳一中考试)已知集合A＝{x|－1<x≤5}，B＝{x|m－5<x≤2m＋3}，且A⊆B，则实数m的取值范围是________．11．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是______________．12．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”的逆否命题；②“∃x0∈R，使得x－x0>0”的否定是：“∀x∈R，均有x2－x<0”；③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；④p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)B组 能力提高13．(2022·四川省新都一中月考)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧qB．綈p∧綈qC．p∧綈qD．綈p∧q14．已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．(－∞，－1]16\nC．(－∞，－2]D．[－1,1]15．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．若A⊆B，则实数m的取值范围是__________________．16．设命题p：关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；q：函数y＝的定义域为R.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是_________________．17．已知集合M为点集，记性质P为“对∀(x，y)∈M，k∈(0,1)，均有(kx，ky)∈M”．给出下列集合：①{(x，y)|x2≥y}，②{(x，y)|2x2＋y2<1}，③{(x，y)|x2＋y2＋x＋2y＝0}，④{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，其中具有性质P的点集序号是________．16\n学生用书答案精析专题一 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合与常用逻辑用语高考真题体验1．A [由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]，故选A.]2．A [由|x－2|＜1得1＜x＜3，所以1＜x＜2⇒1＜x＜3；但1＜x＜3⇏1＜x＜2，故选A.]3．D [由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.]4．B [因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除选项A、C、D，故选B.]热点分类突破例1 (1)B (2)C解析 (1)∵A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－<x<}，A∪B＝R，故选B.(2)由已知M＝{x|a<x<b}，∴a<b，又ab<0，∴a<0<b，同理可得c<0<d，由ab<cd<0，c<0，b>0，∴>，∴>.又∵a＋b＝c＋d，∴a－c＝d－b，∴>，又∵c<0，b>0，∴d－b<0，因此，a－c<0，∴a<c<0<d<b，∴M∩N＝N，∴MN＝{x|a<x≤c或d≤x<b}＝(a，c]∪[d，b)．16\n故选C.跟踪演练1 (1)C (2)C解析 (1)由题中集合可知，集合A表示直线x＋y＝1上的点，集合B表示直线x－y＝3上的点，联立可得A∩B＝{(2，－1)}，M为A∩B的子集，可知M可能为{(2，－1)}或∅，所以满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是2.(2)由已知，可得即0≤m≤，即≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝[0，]，N＝[，1]．所以M∩N＝[0，]∩[，1]＝[，]．此时集合M∩N的“长度”的最小值为－＝.故选C.例2 (1)D (2)B解析 (1)由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，A错；因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，B错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，C错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确．(2)p：m－1<x<m＋1，q：2<x<6；∵q是p的必要不充分条件，∴(m－1，m＋1)(2,6)，∴或∴3≤m≤5；∴m的取值范围为[3,5]，故选B.跟踪演练2 (1)② (2)A解析 (1)①log2x2＝2log2x，左边x∈R，右边x>0，错误；②A∪B＝A的充要条件是B⊆A，正确；③若y＝ksinx＋1，x∈R，因为k的符号不定，所以y的最小值为－|k|＋1；④若函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有<0，即函数为减函数，则解得≤a<，错误；故选②.(2)由<1，可得－1＝<0，所以x<－1或x>2，因为“x>k”是“<1”的充分不必要条件，所以k≥2.16\n例3 (1)C (2)C解析 (1)△ABC中，C>B⇔c>b⇔2RsinC>2RsinB(R为△ABC外接圆半径)，所以C>B⇔sinC>sinB.故“C>B”是“sinC>sinB”的充要条件，命题p是假命题．若c＝0，当a>b时，则ac2＝0＝bc2，故a>b⇏ac2>bc2，若ac2>bc2，则必有c≠0，则c2>0，则有a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故命题q也是假命题，故选C.(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.跟踪演练3 (1)C (2)B解析 (1)对于命题p，因为当a＝2时，l1与l2重合，故命题p为假命题；当l1⊥l2时，2a＋3a＋3＝0，解得a＝－，当a＝－时，l1⊥l2，故命题q为真命题，綈q为假命题，故命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∨(綈q)为假命题，p∧(綈q)为假命题．(2)若p∨(綈q)为假命题，则p假q真，命题p为假命题时，有0≤m<e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.若要使p∨(綈q)为假命题，则m的取值范围是0≤m≤2.高考押题精练1．C [因为集合F＝{x|x(4－x)<0}，所以F＝{x|x<0或x>4}，所以∁RF＝{x|0≤x≤4}，所以E∩(∁RF)＝{1,2,3,4}，故选C.]2．A [对于①，若x1x2＋y1y2＝0，则x1x2＋·＝0，即(x1x2)2＝－1，可知①错误；对于④，取(1,0)∈M，且存在(x2，y2)∈M，则x1x2＋y1y2＝1×x2＋0×y2＝x2>0，可知④错误．同理，可证得②和③都是正确的．故选A.]3．A [当φ＝0时，f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx为偶函数成立；但当f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数时，φ＝kπ，k∈Z，φ＝0不一定成立．故选A.]4．④⑤解析 ①根据命题的四种形式，可知命题：“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，故该命题正确；②因为0<x<，所以0<sinx<1，则xsin2x<xsinx，所以有xsin2x<xsin16\nx<1，故该命题正确；③特称命题的否定是全称命题，故命题正确；④解不等式－1≤0，得x<－1或x≥2，所以“－1≤0”的充要条件是“x<－1或x≥2”，而“x>2”是其充分不必要条件，该命题不正确；⑤p∧q为假命题时，只要p、q中至少有一个为假命题即可，不一定p、q均为假命题．16\n二轮专题强化练答案精析专题一 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合与常用逻辑用语1．C [根据题意知，只能1＝－a或a2＝－a，解得a＝0或a＝－1，检验知只能a＝0，此时M∪P＝{－1,0,1}．]2．A [因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}，故选A.]3．D [若x＝5∈A，y＝1∈A，则x＋y＝5＋1＝6∈B，即点(5,1)∈C；同理，(5,2)∈C，(4,1)∈C，(4,2)∈C，(4,3)∈C，(3,2)∈C，(3,3)∈C，(3,4)∈C，(2,3)∈C，(2,4)∈C，(2,5)∈C，(1,4)∈C，(1,5)∈C.所以C中所含元素的个数为13，应选D.]4．C [由>0得0<x<1，故M＝{x|0<x<1}，∁RM＝{x|x≤0或x≥1}，y＝(x＋1)2＋2≥2，故N＝{y|y≥2}，则(∁RM)∩N＝{x|x≥2}．]5．B [由x＞1⇒x＋2＞3⇒log(x＋2)＜0，log(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“log(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件．因此选B.]6．C [p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．]7．C [由p：<1得<0，－1<x<1，而p是q的充分不必要条件，即p⇒q，q⇏p，所以－a≥1，a≤－1.选C.]8．B [由“p或q”是假命题，知p，q均为假命题，∴綈p，綈q均为真命题，故“綈p且綈q”是真命题，①正确；②显然成立；③忽略了a＝0时的情况；④可从反例x＝1，y＝5验证知错误．故真命题的个数为2.]9．(1,2)解析 A＝{x|y＝lg(2x－x2)}＝{x|2x－x2>0}＝(0,2)，B＝{y|y＝2x，x>0}＝(1，＋∞)，则A∩B＝(1,2)．10．1≤m≤4解析 解得1≤m≤4.故应填1≤m≤4.16\n11．1解析 根据题意可得：∀x∈R，x2＋2x＋m>0是真命题，则Δ<0，即22－4m<0，m>1，故a＝1.12．①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x0∈R，使得x－x0>0”的否定应是：“∀x∈R，均有x2－x≤0”，故②错；对③，因由“x2＝4”得x＝±2，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故④正确．13．C [根据指数函数的图象可知p为真命题．由于“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以q为假命题，所以綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题．]14．A [∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：∃x∈R，mx2＋2≤0为假命题，得綈p：∀x∈R，mx2＋2>0为真命题，∴m≥0.①由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题，得綈q：∃x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1.故选A.]15．m≥或m≤－解析 因为y＝(x－)2＋，x∈[，2]，所以y∈[，2]．又因为A⊆B，所以1－m2≤.解得m≥或m≤－.16.∪[1，＋∞)解析 根据指数函数的单调性，可知命题p为真命题时，实数a的取值集合为P＝{a|0<a<1}，对于命题q：函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立．当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；16\n当a≠0时，不等式恒成立的条件是解得a≥.所以命题q为真命题时，a的取值集合为Q＝{a|a≥}．由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”，可知命题p，q一真一假，当p真q假时，a的取值范围是P∩(∁RQ)＝{a|0<a<1}∩{a|a<}＝{a|0<a<}；当p假q真时，a的取值范围是(∁RP)∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥}＝{a|a≥1}．综上，a的取值范围是∪[1，＋∞)．17．②④解析 对于①：取k＝，点(1,1)∈{(x，y)|x2≥y}，但(，)∉{(x，y)|x2≥y}，故①是不具有性质P的点集．对于②：∀(x，y)∈{(x，y)|2x2＋y2<1}，则点(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1内部，所以对0<k<1，点(kx，ky)也在椭圆2x2＋y2＝1的内部，即(kx，ky)∈{(x，y)|2x2＋y2<1}，故②是具有性质P的点集．对于③：(x＋)2＋(y＋1)2＝，点(，－)在此圆上，但点(，－)不在此圆上，故③是不具有性质P的点集．对于④：∀(x，y)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，对于k∈(0,1)，因为(kx)3＋(ky)3－(kx)2·(ky)＝0⇒x3＋y3－x2y＝0，所以(kx，ky)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，故④是具有性质P的点集．综上，具有性质P的点集是②④.16
