2．函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．[问题1] 函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是__________________．2．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．[问题2] 已知f(cosx)＝sin2x，则f(x)＝________.3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[问题3] 已知函数f(x)＝那么f()的值为________．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[问题4] f(x)＝是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．5．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．[问题5] 函数f(x)＝的减区间为________________________________________．6．弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．[问题6] 设f(x)＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为( )A．(－∞，＋∞)上的减函数B．(－∞，＋∞)上的增函数13\nC．(－1,1)上的减函数D．(－1,1)上的增函数7．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．(4)导数法：适合于可导函数．(5)换元法(特别注意新元的范围)．(6)分离常数法：适合于一次分式．[问题7] 函数y＝(x≥0)的值域为________．8．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．[问题8] 函数f(x)＝的图象的对称中心是________．9．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a.[问题9] 对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－，若当2<x<3时，f(x)＝x，则f(2016.5)＝________.10．二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．13\n(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[问题10] 若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的取值范围为________．11．(1)对数运算性质已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.则loga(MN)＝logaM＋logaN，loga＝logaM－logaN，logaMn＝nlogaM，对数换底公式：logaN＝.推论：＝logaN；logab＝.(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．[问题11] 函数y＝|log2|x－1||的递增区间是________________．12．幂函数y＝xα(α∈R)(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线．②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线．③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的．④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的．(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数；②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数．[问题12] 函数f(x)＝x－x的零点个数为________．13．函数与方程(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．13\n[问题13] 已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个区间内必有实数根( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)14．求导数的方法(1)基本导数公式：c′＝0(c为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna；(lnx)′＝；(logax)′＝(a>0且a≠1)．(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；′＝(v≠0)．(3)复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.[问题14] f(x)＝e－2x，则f′(x)＝________.15．利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数．注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．[问题15] 函数f(x)＝ax3－2x2＋x－1在R上是增函数，则a的取值范围是________．16．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．[问题16] 函数f(x)＝x4－x3的极值点是________．17．定积分运用微积分基本定理求定积分ʃf(x)dx值的关键是用求导公式逆向求出f(x)的原函数，应熟练掌握以下几个公式：ʃxndx＝|，ʃsinxdx＝－cosx|，ʃcosxdx＝sinx|，ʃdx＝lnx|(b>a>0)，13\nʃaxdx＝|.[问题17] 计算定积分ʃ(x2＋sinx)dx＝________.易错点1 忽视函数定义域例1 函数y＝log(x2－5x＋6)的单调递增区间为_____________．错因分析 忽视对函数定义域的要求，漏掉条件x2－5x＋6>0.解析 由x2－5x＋6＞0知{x|x＞3或x＜2}．令u＝x2－5x＋6，则u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y＝log(x2－5x＋6)的单调增区间为(－∞，2)．答案 (－∞，2)易错点2 分段函数意义理解不准确例2 定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2016)的值为( )A．－1B．0C．1D．2错因分析 不理解分段函数的意义，误认为应将x＝2016，代入log2(1－x)，或者认为得不到f(2016)的值．解析 f(2016)＝f(2015)－f(2014)＝f(2014)－f(2013)－f(2014)＝－f(2013)＝f(2010)＝f(0)＝0.答案 B例3 函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调，则a的取值范围是________________．错因分析 只考虑分段函数各段上函数值变化情况，忽视对定义域的临界点处函数值的要求．解析 若函数在R上单调递减，则有解之得a≤－；若函数在R上单调递增，则有解得1＜a≤，故a的取值范围是(－∞，－]∪(1，]．答案 (－∞，－]∪(1，]易错点3 函数零点求解讨论不全面例4 函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，1]B．(－∞，0]∪{1}C．(－∞，0)∪{1}D．(－∞，1)13\n错因分析 解本题易出现的错误有分类讨论不全面、函数零点定理使用不当，如忽视对m＝0的讨论，就会错选C.解析 当m＝0时，x＝为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一个正根一个负根，即mf(0)＜0，即m＜0.故选B.答案 B易错点4 混淆“过点”和“切点”例5 求过曲线y＝3x－x3上的点(2，－2)的切线方程．错因分析 混淆过一点的切线和在一点处切线，错误认为(2，－2)一定是切点．解 设切点为P(x0，y0)，则点P处的切线方程是y－y0＝(3－3x)(x－x0)．∵点A在切线上，∴－2－y0＝(3－3x)(2－x0)．①又∵点P在曲线C上，∴y0＝3x0－x.②由①、②，解得x0＝2或x0＝－1.当x0＝2时，P点的坐标为(2，－2)，切线方程是9x＋y－16＝0.当x0＝－1时，P点的坐标为(－1，－2)，切线方程是y＋2＝0.综上，过点A的曲线C的切线方程是：9x＋y－16＝0或y＋2＝0.易错点5 极值点条件不清例6 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.错因分析 把f′(x0)＝0作为x0为极值点的充要条件，没有对a，b值进行验证，导致增解．解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得联立①②得或当a＝4，b＝－11时，13\nf′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)．在x＝1两侧的符号相反，符合题意．当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.答案 －7易错点6 函数单调性与导数关系理解不准确例7 函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________．错因分析 误认为f′(x)＞0恒成立是f(x)在R上是增函数的必要条件，漏掉f′(x)＝0的情况．解析 f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)＝3ax2－2x＋1，由f′(x)≥0，得解得a≥.答案 a≥易错点7 计算定积分忽视细节例8 ʃdx等于( )A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln2错题分析 本题易出现的问题主要有两个方面：一是混淆求原函数和求导数的运算，误认为原函数为y＝()′而找不到答案；二是记错公式，把积分的上、下限颠倒导致计算失误，而错选C.解析 因为(lnx)′＝，所以y＝的一个原函数是y＝lnx，故ʃdx＝lnx|＝ln4－ln2＝ln2，故选D.答案 D1．(2022·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)13\n2．(2022·山东)函数f(x)＝的定义域为( )A.B．(2，＋∞)C.∪(2，＋∞)D.∪[2，＋∞)3．下列各式中错误的是( )A．0.83>0.73B．log0.50.4>log0.50.6C．0.75－0.1<0.750.1D．lg1.6>lg1.44．a是f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( )A．f(x0)＝0B．f(x0)＜0C．f(x0)＞0D．f(x0)的符号不确定5．(2022·天津)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是( )A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)6．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是( )7．(2022·福建)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)8．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得13\nf(x)<0的x的取值范围是________．9．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．10．(2022·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．11．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 12．已知函数f(x)＝ln(ax)(a≠0，a∈R)，g(x)＝.(1)当a＝1时，记φ(x)＝f(x)－，求函数φ(x)的单调区间；(2)若f(x)≥g(x)(x≥1)恒成立，求实数a的取值范围．学生用书答案精析2．函数与导数要点回扣[问题1] (－1,1)∪(1，＋∞)[问题2] 1－x2(x∈[－1,1])[问题3] －[问题4] 奇解析 由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，f(x)＝＝.∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．[问题5] (－∞，0)，(0，＋∞)[问题6] D [由题意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，13\n解得a＝－1，故f(x)＝lg，函数f(x)的定义域是(－1,1)，在此定义域内f(x)＝lg＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2是增函数．选D.][问题7] 解析 方法一 ∵x≥0，∴2x≥1，∴≥1，解得≤y<1.∴其值域为y∈.方法二 y＝1－，∵x≥0，∴0<≤，∴y∈.[问题8] (－1,2)[问题9] －[问题10] [问题11] [0,1)，[2，＋∞)解析 ∵y＝作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．[问题12] 1[问题13] B [f(x)＝(x－2)(x－1)g(x)＋3x－4，∴f(1)＝0＋3×1－4＝－1<0，f(2)＝2×3－4＝2>0.又函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，∴函数f(x)在区间(1,2)内有零点．因此方程f(x)＝0在(1,2)内必有实数根．][问题14] －2e－2x[问题15] a≥解析 f(x)＝ax3－2x2＋x－1的导数f′(x)＝3ax2－4x＋1.13\n由f′(x)≥0，得解得a≥.a＝时，f′(x)＝(2x－1)2≥0，且只有x＝时，f′(x)＝0，∴a＝符合题意．[问题16] x＝1[问题17] 解析 ʃ(x2＋sinx)dx＝＝.查缺补漏1．A [A项，函数y＝在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C项，函数y＝2－x＝()x在R上为减函数，故错误；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．]2．C [由题意知解得x>2或0<x<.故选C.]3．C [构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A，构造幂函数y＝x3，为增函数，故A对；对于B、D，构造对数函数y＝log0.5x为减函数，y＝lgx为增函数，B、D都正确；对于C，构造指数函数y＝0.75x，为减函数，故C错．]4．B [函数f(x)＝2x－logx＝2x＋log2x在(0，＋∞)上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数的单调性，知在(0，a)上，这个函数的函数值小于零，即f(x0)＜0.]5．D [因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．]6．A [从导函数图象上可以看出函数f(x)的单调递增区间是(－2,0)，单调递减区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，故函数图象最有可能是选项A中的图象．]7．D [函数f(x)＝的图象如图所示，由图象知只有D正确．]13\n8．(－2,2)解析 因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．因为f(x)<0，f(2)＝0.所以f(|x|)<f(2)．又因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以|x|<2，所以－2<x<2.9．(1，＋∞)解析 方程f(x)＋x－a＝0的实根也就是函数y＝f(x)与y＝a－x的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，显然当a≤1时，两个函数图象有两个交点，当a>1时，两个函数图象的交点只有一个．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．10．(－，0)解析 作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，则有即解得－<m<0.11．解 (1)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数；当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－≥0，则a≤2x3，又因为2x3≥16.故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．13\n12．解 (1)当a＝1时，φ(x)＝f(x)－＝lnx－，则φ′(x)＝＋＝.因为x>0且x≠1，所以φ′(x)>0.故函数φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)．(2)因为ln(ax)≥对x≥1恒成立，所以lna＋lnx≥，即lna≥1－－lnx对x≥1恒成立．令h(x)＝1－－lnx，则h′(x)＝－，因为x≥1，故h′(x)≤0.所以h(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，由lna≥h(x)max＝h(1)＝0，解得a≥1.故实数a的取值范围为[1，＋∞)．13
