5．立体几何1．一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正(主)视图下面，长度与正(主)视图一样，侧(左)视图放在正(主)视图右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”．在画一个物体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明．[问题1] 如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．2．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”．[问题2] 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________．3．简单几何体的表面积和体积(1)S直棱柱侧＝c·h(c为底面的周长，h为高)．(2)S正棱锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)．(3)S正棱台侧＝(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线)，S圆锥侧＝πrl(同上)，S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′、r分别为上、下底的半径，l为母线)．(5)体积公式V柱＝S·h(S为底面面积，h为高)，V锥＝S·h(S为底面面积，h为高)，V台＝(S＋＋S′)h(S、S′为上、下底面面积，h为高)．(6)球的表面积和体积S球＝4πR2，V球＝πR3.[问题3] 12\n如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )A．4πB．3πC．2πD.π4．空间直线的位置关系(1)相交直线——有且只有一个公共点．(2)平行直线——在同一平面内，没有公共点．(3)异面直线——不在同一平面内，也没有公共点．[问题4] 在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是________．5．空间的平行关系(1)线面平行：⇒a∥α；⇒a∥α；⇒a∥α；(2)面面平行：⇒α∥β；⇒α∥β；⇒α∥γ；(3)线线平行：⇒a∥b；⇒a∥b；⇒a∥b；⇒a∥b.[问题5] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”号，错误的画“×”号．①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面．( )②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行．( )③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b.( )④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.( )6．空间的垂直关系(1)线面垂直：⇒l⊥α；⇒a⊥β；⇒a⊥β；⇒b⊥α；(2)面面垂直：二面角90°；⇒α⊥β；⇒α⊥β；(3)线线垂直：⇒a⊥b.[问题6] 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是( )12\nA．3B．2C．1D．07．空间向量(1)用空间向量求角的方法步骤①异面直线所成的角若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.②直线和平面所成的角利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：方法一 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两条直线的方向向量的夹角(或其补角)．方法二 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．③利用空间向量求二面角也有两种方法：方法一 分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小．方法二 通过平面的法向量来求，设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．易错警示：①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角的余弦．②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．(2)用空间向量求A到平面α的距离：可表示为d＝.[问题7] (1)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于________．(2)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为________．12\n易错点1 三视图识图不准例1 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.B.C．1D．2错因分析 解本题易出现的错误有(1)还原空间几何体的形状时出错，不能正确判断其对应的几何体；(2)计算时不能准确把三视图中的数据转化为对应几何体中的线段长度，尤其侧视图中的数据处理很容易出错．解析 由三视图，可知该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，直角边长分别为1和，三棱柱的高为，则该几何体的体积为V＝×1××＝1.故选C.答案 C易错点2 旋转体辨识不清例2 如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积．错因分析 注意这里是旋转图中的阴影部分，不是旋转梯形ABCD.在旋转的时候边界形成一个圆台，并在上面挖去了一个“半球”，其体积应是圆台的体积减去半球的体积．解本题易出现的错误是误以为旋转的是梯形ABCD，在计算时没有减掉半球的体积．解 由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得V圆台＝×π(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝π×23×＝π(cm3)．12\n所以旋转体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3)．易错点3 空间线面关系把握不准例3 设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则下列结论中不成立的是( )A．若b⊂β，a∥b，则a∥βB．若a⊥β，α⊥β，则a∥αC．若a⊥b，b⊥α，则a∥αD．若α⊥β，a⊥β，b∥a，则b∥α错因分析 本题易出现的问题就是对空间点、线、面的位置关系把握不准，考虑问题不全面，不能准确把握题中的前提——a⊄α，a⊄β，对空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理中的条件把握不准导致判断失误．如A项中忽视已知条件中的a⊄β，误以为该项错误等．解析 对于选项A，若有b⊂β，a∥b，且已知a⊄β，所以根据线面平行的判定定理可得a∥β，故选项A正确；对于选项B，若a⊥β，α⊥β，则根据空间线面位置关系可知a⊂α或a∥α，而由已知可知a⊄α，所以有a∥α，故选项B正确；对于C项，若a⊥b，b⊥α，所以a⊂α或a∥α，而由已知可得a⊄α，所以a∥α，故选项C正确；对于D项，由a⊥β，b∥a可得b⊥β，又因为α⊥β，所以b⊂α或b∥α，故不能得到b∥α，所以D项错，故选D.答案 D易错点4 混淆空间角与向量夹角例4 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，求AE等于何值时，二面角P－EC－D的平面角为.错因分析 本题易出错的地方是误以为两个平面的法向量所成的角的大小等于所求二面角的大小，在计算时对两个平面的法向量所成的角和二面角的关系判断错误，导致在平面的法向量方向不同时把锐二面角的余弦值算出个负值而出错．解 以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图所示，12\n则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)．设E(1，y0,0)，则＝(－1,2－y0,0)，设平面PEC的一个法向量为n1＝(x，y，z)，所以⇒⇒x∶y∶z＝(2－y0)∶1∶2，记n1＝(2－y0,1,2)．而平面ECD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，则二面角P－EC－D的平面角的余弦值cos＝|cos〈n1，n2〉|＝，所以cos＝＝＝⇒y0＝2－或y0＝2＋(舍去)．所以当AE＝2－时，二面角P－EC－D的平面角为.1．(2022·浙江)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m2．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是( )A．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件3．(2022·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )12\nA．8cm3B．12cm3C.cm3D.cm34．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )A．PA＝PB>PCB．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC5．如图，已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°6．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则过A、M、C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为______．7．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；12\n②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中正确的是________．(填序号)8.如图，四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A－BC－D的大小为________．9．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.其中为真命题的是________．(填序号)10.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别为棱PB，PC的中点．(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；(2)求AD与平面PAC所成角的余弦值． 12\n学生用书答案精析5．立体几何要点回扣[问题1] [问题2] 2[问题3] D[问题4] 相交[问题5] ①× ②× ③× ④√[问题6] C[问题7] (1) (2)解析 (1)方法一 取A1C1的中点E，连接AE，B1E，如图．由题意知B1E⊥平面ACC1A1，则∠B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角．设正三棱柱侧棱长与底面边长为1，则sin∠B1AE＝＝＝.方法二 如图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E－xyz，设棱长为1，则A，B1，设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ，为平面ACC1A1的法向量．则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O.设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则12\n∴令z＝1，得∴n＝(1,0,1)，又＝，∴O到平面ABC1D1的距离d＝＝＝.查缺补漏1．A [选项A：∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β，A正确；选项B：α⊥β，l⊂α，m⊂β，l与m位置关系不固定；选项C，∵l∥β，l⊂α，∴α∥β或α与β相交．选项D：∵α∥β，l⊂α，m⊂β.此时，l与m位置关系不固定，故选A.]2．A [当m⊂α时，若n∥α可得m∥n或m，n异面；若m∥n可得n∥α或n⊂α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件，答案选A.]3．C [该几何体是棱长为2cm的正方体与一底面边长为2cm的正方形、高为2cm的正四棱锥组成的组合体，V＝2×2×2＋×2×2×2＝cm3.故选C.]4．C [∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.]5．D [若PB⊥AD，则AD⊥AB，但AD与AB成60°角，A错误；平面PAB与平面ABD垂直，所以平面PAB一定不与平面PBC垂直，B错误；BC与AE是相交直线，所以BC一定不与平面PAE平行，C错误；直线PD与平面ABC所成角为∠PDA，在Rt△PAD中，AD＝PA，所以∠PDA＝45°，D正确．]6．3＋解析 由图形可知，当AM＋MC1最小时，所得截面的周长最小，如图所示把平面A1ABB1与平面C1CBB1展开成一个平面AA1C1C，则AM＋MC1最短为AC1＝＝3，所以截面的最小周长为3＋＝3＋.7．①④解析 取线段BC的中点E，连接AE，DE，∵AB＝AC，BD＝CD，∴BC⊥AE，BC⊥DE，12\n∴BC⊥平面ADE，∵AD⊂平面ADE，∴BC⊥AD，故①正确．设点O为点A在平面BCD上的射影，连接OB，OC，OD，∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴OB⊥CD，OC⊥BD，∴点O为△BCD的垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD，故④正确，易知②③不正确，填①④.8.解析 由∠ABC＝∠DCB＝知，与的夹角θ就是二面角A－BC－D的平面角．又＝＋＋，∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·.因此2·＝(2)2－12－32－22＝－2，∴cos(π－θ)＝－，且0<π－θ<π，则π－θ＝π，故θ＝.9．①④解析 对命题①，由l⊥α，α∥β得，l⊥β，m⊂β，∴l⊥m，故①正确．对命题②，l⊥m⇏l⊥β，则l⊥m⇏α∥β，故②错误．对命题③，当α⊥β时，l与m也可能相交或异面或平行，故③错误．对命题④，由l⊥α，l∥m得m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β，故④正确．10．(1)证明 如图所示，以A为坐标原点，AC，AP所在直线分别为y轴，z轴，过点A且平行于BC的直线为x轴，建立空间直角坐标系．设PA＝2，由已知可得12\nA(0,0,0)，B(－1，，0)，C(0，，0)，P(0,0,2)，D(－，，1)，E(0，，1)．因为＝(0,0,2)，＝(1,0,0)，所以·＝0.，所以BC⊥AP，又∠BCA＝90°，所以BC⊥AC.因为AC∩AP＝A且AC⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)解 设AD与平面PAC所成的角为θ.由(1)知BC⊥平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为＝(1,0,0)．又＝(－，，1)，所以sinθ＝|cos〈，〉|＝＝＝.所以AD与平面PAC所成角的余弦值为cosθ＝＝.12
