8．推理与证明、复数、算法1．推理方法(1)合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．[问题1] 图1有面积关系：＝，则图2有体积关系：__________________.(2)演绎推理演绎推理是指如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：①大前提；②小前提；③结论．2．证明方法(1)直接证明①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法．②分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．(2)间接证明——反证法9\n一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法．(3)数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[问题2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________________________________________________________________．3．复数的概念对于复数a＋bi(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，复数a＋bi叫做纯虚数．[问题3] 若复数z＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m的值为________．4．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；＝－i；(3)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0；(4)设ω＝－±i，则ω0＝1；ω2＝；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.[问题4] 已知复数z＝，是z的共轭复数，则||＝________.5．算法(1)控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．[问题5] 执行如图所示的程序框图，如果输出a＝341，那么判断框中可以是( )9\nA．k<4?B．k>5?C．k<6?D．k<7?易错点1 复数概念不清例1 设复数z1＝1－i，z2＝a＋2i，若的虚部是实部的2倍，则实数a的值为( )A．6B．－6C．2D．－2错因分析 本题易出现的问题有两个方面，一是混淆复数的实部和虚部；二是计算时，错用运算法则导致失误．解析 ＝＝＝，故该复数的实部是，虚部是.由题意，知＝2×.解得a＝6.故选A.答案 A易错点2 循环结束条件判断不准例2 如图所示是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S＝720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是( )9\nA．k≥6?B．k≥7?C．k≥8?D．k≥9?错因分析 本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合解决．容易出错的就是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k＝10开始按照递减的方式逐步进行，直到S的输出结果为720.解析 第一次运行结果为S＝10，k＝9，第二次运行结果为S＝10×9＝90，k＝8；第三次运行结果为S＝720，k＝7.这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是k≥8？.故选C.答案 C易错点3 类比不当例3 已知圆的面积S(R)＝πR2，显然S′(R)＝2πR表示的是圆的周长：C＝2πR.把该结论类比到空间，写出球中的类似结论：________________________________________.错因分析 该题易出现的问题是从平面圆类比到空间球的结论时缺乏对应特点的分析，误以为是球的表面积的导数问题，而无法得到正确的结论．解析 平面图形的面积应该和空间几何体的表面积问题类比；平面图形的周长应和空间几何体的表面积类比．所以半径为R的球的体积为V(R)＝πR3，其导函数V′(R)＝×3πR2＝4πR2，显然表示的是球的表面积．所以结论是：半径为R的球的体积为V(R)＝πR3，其导函数表示的是球的表面积：S＝4πR2.答案 半径为R的球的体积为V(R)＝πR3，其导函数表示的是球的表面积：S＝4πR2易错点4 归纳假设使用不当9\n例4 用数学归纳法证明：＋＋…＋＜1(n∈N*)．错因分析 解答本题时，归纳假设使用不当，如果直接应用归纳假设到n＝k＋1有＋＋…＋＋＝f(k)＋＜1＋＜1不成立，就会致使证明中断或随便下结论．证明 (1)当n＝1时，f(1)＝＜1成立；(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，f(k)＜1成立，即＋＋…＋＜1成立，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝＋＋…＋＋＝＋(＋＋…＋)＝＋f(k)＜＋×1＝1.即当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)，知不等式对任意n∈N*都成立．1．(2022·青岛质检)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为( )A．2B．－2C．－D.2．(2022·温州五校联考)集合M＝{4，－3m＋(m－3)i}(其中i为虚数单位)，N＝{－9,3}，若A∩N≠∅，则实数m的值为( )A．－1B．－3C．3或－3D．33．(2022·北京海淀区期末)阅读如图所示的程序框图，如果输入的n的值为6，那么运行相应程序，输出的n的值为( )9\nA．3B．5C．10D．164．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是( )A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)25．设f(n)＝n＋n(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为( )A．1B．2C．3D．无数个6．(2022·沈阳质量监测)有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是( )A．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最小整数nB．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最大整数nC．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最大整数n＋2D．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最小整数n＋27．(2022·广东七校联考)将全体正整数排成一个三角形数阵12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15…根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________．9\n8．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．9．在平面上有如下命题“O为直线AB外的一点，则点P在直线AB上的充要条件是：存在实数x，y，满足＝x·＋y·，且x＋y＝1”，类比此命题，给出在空间相应的一个正确命题是________________________________________________________________________________________________________________________________________________.10．(2022·湖北)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.9\n学生用书答案精析8．推理与证明、复数、算法要点回扣[问题1] ＝[问题2] 三角形三个内角都大于60°[问题3] －2[问题4] 1[问题5] C [根据程序框图，第一次循环，a＝0＋1＝1，k＝1＋1＝2；第二次循环，a＝4×1＋1＝5，k＝2＋1＝3；第三次循环，a＝4×5＋1＝21，k＝3＋1＝4；第四次循环，a＝4×21＋1＝85，k＝4＋1＝5；第五次循环，a＝4×85＋1＝341，k＝5＋1＝6.要使输出的a＝341，判断框中可以是“k<6？”或“k≤5？”．故选C.]查缺补漏1．A [∵＝＝＋i，∴＝0，≠0，∴a＝2.]2．D [由题意可知－3m＋(m－3)i必为实数，则m＝3，经检验符合题意．]3．B [输入n＝6时，第一次循环，有n＝＝3，i＝0＋1＝1；第二次循环，有n＝3×3＋1＝10，i＝1＋1＝2；第三次循环，有n＝＝5，i＝2＋1＝3，退出循环，此时n＝5.]4．B [1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，由上述式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n－1项，且第一项为n，则最后一项为3n－2，等式右边均为2n－1的平方．]5．C [f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n，9\nf(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素．]6．D [依题意与题中的程序框图可知，该程序框图表示的算法的功能是输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最小整数n＋2.]7.解析 前n－1行共用了个数，即个数，也就是说第n－1行的最后一个数就是，那么，第n(n≥3)行的从左至右的第三个数是＋3，也就是.8．－20解析 (z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，故(z1－z2)i的实部为－20.9．O为平面ABC外一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：存在实数x，y，z，满足＝x·＋y·＋z·，且x＋y＋z＝110．495解析 取a1＝815⇒b1＝851－158＝693≠815⇒a2＝693；由a2＝693⇒b2＝963－369＝594≠693⇒a3＝594；由a3＝594⇒b3＝954－459＝495≠594⇒a4＝495；由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.9
