7．概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．[问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为________．3．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和．标准差的平方就是方差，方差的计算14\n(1)基本公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．(2)简化计算公式①s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]，或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．[问题3] 已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是________．4．变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．线性回归方程＝x＋，其中[问题4] 回归直线＝x＋必经过点________．5．独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表如表：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d根据观测数据计算由公式k＝所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度．[问题5] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关．(请用百分数表示)附：K2＝14\nP(K2>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.8286.互斥事件有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(1)公式适合范围：事件A与B互斥．(2)P()＝1－P(A)．[问题6] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率之和为________．7．古典概型P(A)＝(其中，n为一次试验中可能出现的结果总数，m为事件A在试验中包含的基本事件个数)[问题7] 连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.B.C.D.8．几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A)＝.此处D的度量不为0，其中“度量”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．即P(A)＝.[问题8] 在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )A.B．1－C.D．1－9．解排列、组合问题的依据：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．解排列、组合问题的规律：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法．(1)排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]＝，其中m，n∈N*，m≤n.当m＝n时，A＝n·(n14\n－1)·…·2·1＝n！，规定0！＝1.(2)组合数公式C＝＝＝.(3)组合数性质C＝C，C＋C＝C，规定C＝1，其中m，n∈N*，m≤n.[问题9] (1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有________种．(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有________种．10．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cabn－1＋Cbn(n∈N*)．通项(展开式的第k＋1项)：Tk＋1＝Can－kbk，其中C(k＝0,1，…，n)叫做二项式系数．(2)二项式系数的性质①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C.②二项式系数的和等于2n(组合数公式)，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.③二项展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.特别提醒：二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错．[问题10] 设6的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则A∶B＝________.11．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别：(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．[问题11] 设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A14\n发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________．12．求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正．还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式．如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk·(1－p)n－k.[问题12] 若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的值为________.ξ012345P2x3x7x2x3xx13.一般地，如果对于任意实数a<b，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃφμ，σ(x)dx，则称X的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.[问题13] 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2易错点1 统计图表识图不准、概念不清例1 如图所示是某公司(共有员工300人)2022年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有______人．错因分析 解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10)×2＝0.60，从而得到员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×[1－(0.02＋0.08＋0.10)×2]＝180(人)的错误答案．14\n解析 由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24，所以员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人)答案 72易错点2 误解基本事件的等可能性例2 若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．错因分析 解本题时易出现的错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，错误地认为基本事件总数为11(点数和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者将点数和为4的事件错误地计算为(1,3)(2,2)两种，从而导致出错．解析 将先后掷2次出现向上的点数记作点坐标(x，y)，则共可得点坐标的个数为6×6＝36，而向上点数之和为4的点坐标有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，故先后掷2次，出现向上的点数之和为4的概率P＝＝.故填.答案 易错点3 几何概型中“测度”确定不准例3 在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C.(1)在斜边AB上任取一点M，求AM＜AC的概率；(2)在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率．错因分析 本题易出现的问题是混淆几何概型中对事件的度量方式，不注意题中两问中点M生成方式的差异，误以为该题两问中的几何概型都是用线段的长度来度量造成错解．解 (1)如图所示，AB＝AC.由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.所以P(AM＜AC)＝＝.(2)由于在∠ABC内作射线CM，等可能分布的是CM在∠ACB14\n内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB，所以P(AM＜AC)＝＝＝.易错点4 互斥事件概念不清例4 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，其中彼此互为互斥事件的是________；互为对立事件的是________．错因分析 对事件互斥意义不明确，对事件的互斥与对立之间的关系不清楚，就会出现错误的判断．对立事件和互斥事件都不可能同时发生，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件可能都不发生．所以两个事件都对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件．解析 因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D＝Ω，故B与D互为对立事件．答案 A与B，A与C，B与C，B与D；B与D易错点5 排列、组合问题混淆例5 如图所示，A，B，C，D是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？错因分析 搞不清几个元素之间有无顺序，混淆排列与组合的区别．解 由题意可能有两种结构，如图：第一种：，第二种：对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有C种方法．对于第二种结构，有CA种方法．∴总共有C＋CA＝16(种)．易错点6 事件理解不准例6 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．14\n错因分析 这是一个5次独立重复试验的概率模型．解本题容易出错的地方，一是对“恰有2次”“至少有2次”理解错误，误用二项分布；二是对随机事件“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的意义理解错误，不能把问题归结为只要在第1,2,4,5次预报中预报1次准确即可，出现仍然用5次独立重复试验模型解决问题的错误．解 令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～B(5，)，故其分布列为P(X＝k)＝C()k(1－)5－k(k＝0,1,2,3,4,5)．(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X＝2)＝C×()2×(1－)3＝10××≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C×()0×(1－)5－C××(1－)4＝1－0.00032－0.0064≈0.99.(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C××(1－)3×≈0.02.易错点7 随机变量分布列的性质用错例7 已知随机变量X的概率只能取三个值a，b，c，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是______．错因分析 本题将随机变量的分布列与等差数列联系起来，知识跨度大，考生往往审题不清，不能从分布列的性质以及等差数列的性质入手解题，或者考虑问题不全面而导致错解．解析 由已知，得a＋b＋c＝1，而2b＝a＋c，所以3b＝1，b＝.又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤，此即为公差d的取值范围．故填[－，]．答案 [－，]1．如图是2022年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )A．85,84B．84,85C．86,84D．84,8614\n2．一组数据3,4,5，s，t的平均数是4，这组数据的中位数是m，对于任意实数s，t，从3,4,5，s，t，m这组数据中任取一个，取到数字4的概率的最大值为( )A.B.C.D.3．(2022·湖北)根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的线性回归方程为＝x＋，则( )A.>0，>0B.>0，<0C.<0，>0D.<0，<04．某电视台节目开展亲子闯关游戏，其规则是：父母两人蒙上眼睛在流水滑板上相互扶持爬过，并将水中的7个粉色气球与3个蓝色气球随意用身体挤破(这些气球的形状都相同，随意漂浮在身旁，且都在父母所触及的范围内)．已知小光的父母参加游戏，并在第1次挤破一个蓝色气球，则他们第2次挤破的是粉色气球的概率为( )A.B.C.D.5.如图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )A.B.C.D.6．(2022·北京海淀区期末)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．7．(2022·广东)在(－1)4的展开式中，x的系数为________．8．已知某人投篮的命中率为，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是________．14\n9．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90km/h的约有________辆．(注：分析时车速均取整数)10．一个袋装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取一个，直到取出3个红球即停止．(1)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1；(2)从袋中有放回地取球，①求恰好取5次停止的概率P2；②求5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ的分布列及数学期望． 14\n学生用书答案精析7．概率与统计要点回扣[问题1] 24解析 由抽样比例可知＝，则x＝24.[问题2] 20[问题3] 0.15、0.145[问题4] (，)[问题5] 99.5%[问题6] [问题7] A [∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P＝＝，故选A.][问题8] B [记“点P到点O的距离大于1”为A，P(A)＝＝1－.][问题9] (1)35 (2)70[问题10] 4∶1解析 Tk＋1＝Cx6－k(－1)kk＝C(－1)k2kx，6－k＝3，k＝2，系数A＝60，二项式系数B＝C＝15，所以A∶B＝4∶1.[问题11] [问题12] 解析 根据概率之和为1，求出x＝，14\n则E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋…＋5x＝40x＝.[问题13] C[∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.]查缺补漏1．A [由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87.∴平均数为＝85，众数为84.]2．D [由3,4,5，s，t的平均数是4可得＝4，易知m＝4，所以当s＝t＝4时，取到数字4的概率最大，且为P＝＝.]3．B [作出散点图如下：观察图象可知，回归直线＝x＋的斜率<0，当x＝0时，＝>0.故>0，<0.]4．D [方法一 设事件A为“第1次挤破的是蓝色气球”，事件B为“第2次挤破的是粉色气球”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝.所以所求的概率为P(B|A)＝＝＝.方法二 第1次挤破的是蓝色气球，则还剩下2个蓝色气球和7个粉色气球，从剩余的9个气球中任取1个粉色气球挤破的概率为.]14\n5．C [这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为＝＝.故选C.]6．50 1015解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015小时．7．6解析 由题意可知Tk＋1＝C()4－k(－1)k＝C(－1)kx，令＝1解得k＝2，所以展开式中x的系数为C(－1)2＝6.8.解析 该人投篮4次，命中3次的概率为P1＝C3＝；该人投篮4次，命中4次的概率为P2＝C4＝，故至少命中3次的概率是P＝＋＝.9．300解析 由图可知，车速大于等于90km/h的车辆未标出频率，而小于90km/h的都标出了，故考虑对立事件．由题图知车速小于90km/h的汽车总数的频率之和为(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以车速不小于90km/h的汽车总数的频率之和为1－0.7＝0.3.因此在这一时段内通过该站的车速不小于90km/h的汽车有1000×0.3＝300(辆)．10．解 (1)P1＝＝.(2)①P2＝C()2()2＝；②随机变量ξ的取值分别为0,1,2,3.由n次独立重复试验概率公式P(k)＝Cpk(1－p)n－k，得P(ξ＝0)＝C()0()5＝，14\nP(ξ＝1)＝C()1()4＝，P(ξ＝2)＝C()2()3＝，P(ξ＝3)＝1－＝.随机变量ξ的分布列为ξ0123Pξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.14
