第5练导数与几何意义一.强化题型考点对对练1.（导数的几何意义）【2022届山东省菏泽期中】已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线少垂直的切线，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B2．（导数的几何意义与不等式的结合）已知，曲线在点处的切线的斜率为，则当取最小值时的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得,，则当时，取最小值为4，故选A.3.（导数的几何意义）已知函数的图象在点处的切线过点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，所以切线斜率为，，切线方程为，整理得：，代入，解得，故选B.4.（导数的几何意义与不等式的结合）函数的图像在点处的切线斜率的最小值是（）A.B.C.1D.2【答案】D9\n【解析】因为，所以函数的图象在点处的切线斜率为，所以函数的图象在点处的切线斜率的最小值是，故选.5．（导数的几何意义）【2022届山东省德州期中】函数的图像在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.2B.4C.D.【答案】A6．（导数的几何意义）已知函数是定义在的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在处的切线的斜率为，则（）A.0B.1C.D.【答案】C【解析】令，则,所以当时,;当时,,所以函数在内为减函数,在内为增函数,且在时取得极小值,所以,故有,又,所以.7.（导数的几何意义）若曲线（为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D9\n8.（导数的计算）【2022届福建省福安期中】已知的导函数，则A.B.C.D.【答案】A【解析】，选A.9.（导数的几何意义）【2022届福建省福州期中】已知函数，若曲线在点，（，其中互不相等）处的切线互相平行，则的取值范围是__________.【答案】【解析】函数，曲线在点,其中互不相等）处的切线互相平行，即在点处的值相等，画出导函数的图象，如图，当时，，当时，必须满足，，故答案为.10.（导数的几何意义与不等式的结合）已知函数.9\n（1）当，求的图象在点处的切线方程；（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.11（导数的综合应用）【2022届山东省菏泽期中】已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数.【解析】（1）由已知得，有，，∴在处的切线方程为：，化简得（2）由（1）知，因为，令，得，所以当时，有，则是函数的单调递减区间；当时，有，则是函数的单调递增区间．当时，函数在上单调递减，在上单调递增；又因为，，，所以在区间上有两个零点．二.易错问题纠错练12.（不能灵活分析问题和解决问题而致错）已知函数.9\n（1）过原点作函数图象的切线，求切点的横坐标；（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围.（Ⅱ）方法一：∵不等式对，恒成立,∴对，恒成立.设，，，.①当时，，在，上单调递减，即，不符合题意.②当时，.设，在，上单调递增，即.（ⅰ）当时，由，得，在，上单调递增，即，符合题意；（ii）当时，，，使得，则在，上单调递减，在，上单调递增，，则不合题意.综上所述，.（Ⅱ）方法二：∵不等式对，恒成立,∴对，恒成立.当时，；当时，，不恒成立；同理取其他值不恒成立.当时，恒成立；当时，，证明恒成立.设，，，.∴在，为减函数．，∴.（Ⅱ）方法三：∵不等式对，恒成立,∴等价于对，恒成立.设，当时，；∴，函数9\n过点（0,0）和（1,0），函数过点（1.0），在恒成立，一定存在一条过点（1,0）的直线和函数、都相切或，一定存在一条过点（1,0）的直线相切和函数相交，但交点横坐标小于1，当都相切时．不大于等于0.∴.【注意问题】利用导数可以研究函数的单调性、最值，解题时候要注意导函数的零点和导函数的符号，有时可将目标不等式等价变形。13.（分类讨论不全而致错）已知函数.（1）若时，讨论函数的单调性；（2）若，过作切线，已知切线的斜率为，求证：.调递减区间为；③若，当或时，；当时，；所以的单调递增区间为；单调递减区间为.综上，当时，单调递增区间为；单调递减区间为，.当时，的单调递减区间为；当时，单调递增区间为；单调递减区间为,.(2),设切点，斜率为9\n①所以切线方程为，将代入得：②由①知代入②得：，令,则恒成立，在单增，且，，令，则，则，在递减，且.【注意问题】讨论函数的单调性就是研究导函数的符号问题，而导函数的零点起到关键性作用，解题时要注意这些零点的大小关系以及与定义域的关系。三.新题好题好好练14．已知曲线的一条切线方程为，则实数 （ ）A．1 B． C． D．【答案】B15．已知函数的导函数为,且满足，若，则（ ）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因为，所以，易知，则，所以，于是由，得，解得，故选D．16．【2022届甘肃省会宁第三次月考】设函数，曲线在点9\n处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】对函数，求导可得，∵在点处的切线方程为，∴，∴，∴在点处切线斜率为4，故选C.17．【2022届广东省阳春一中第三次月考】设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D18已知曲线，则曲线的切线的斜率最小值为___________．【答案】【解析】令，则，所以，所以，则9\n，当且仅当时等号成立，取得最小值．19．已知曲线：，曲线：，若对于曲线上任意一点的切线，在曲线上总存在与垂直的切线，则实数的取值范围是___________．【答案】9
