第6练导数的应用一.强化题型考点对对练1.（导数与函数的单调性）【2022届湖北省重点高中联考】若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C2.（导数与函数的极值与最值）函数在处取得最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．【答案】C【解析】由题意得不等式对恒成立，化简得对恒成立，当时，；当时，；令，则，所以，综上实数的取值范围是，选C.3.（利用导数求参数的取值范围）【2022届黑龙江省大庆实验中学期中】已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B10\n4.（导数与函数的极值与最值）当时，函数的图像不在函数的下方，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意得对恒成立，则，令，则，（易证）即5.（导数与函数的极值与最值）【2022届华大新高考联盟联考】若函数满足，则当时，（）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值【答案】C【解析】由题设知，当时，，可得为常数），又，得C=0，所以.又,令，解得或（舍去）.所以当时，10\n，所以当时，有极小值，无极大值.故选B.6.（导数的综合应用）已知函数，．(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值．(Ⅱ)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．(Ⅱ)由，得，∵，∴，由于不能同时取等号，所以，即．∴恒成立．令，，则，当时，，，从而，所以函数在上为增函数，所以，所以．7.(导数的综合应用)已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若存在，使得对任意的，不等式（其中是自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）．令，．10\n①当时，，∴，函数在上单调递增；②当时，，所以，函数在上单调递增；③当时，，令，得，；．所以，在和上单调递增，在单调递减．综上，当时，函数在上单调递增；当时，在和上单调递增，在单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，函数在区间上单调递增，所以当时，函数的最大值是，对任意的，都存在，使得不等式成立，即对任意的，都成立，即对任意的，不等式都成立，记，则．，且．①当时，，即时，单调递减.∴，只需，解得，∴．②当时，令得或，因为，所以.（ⅰ）当时，，当时，；当时，，∴，解得，∴．（ⅱ）当时，因为，所以，所以，所以，则10\n在上单调递增，得，即，∴.综上，的取值范围是．8.(导数的综合应用)【2022届安徽省马鞍山联考】已知函数的图象在处的切线过点.（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）（2）是方程的两个根，，，是函数的极大值，是函数的极小值，要证，只需，，令，则，设，则，函数在上单调递减，10\n，.9（导数的综合应用）【2022届湖北省部分重点中学联考】已知函数，.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的极值；（Ⅱ）设函数.当时，若区间上存在，使得，求实数的取值范围.（为自然对数底数）【解析】（1），因为曲线在点处的切线与直线的垂直，所以，即，解得.所以.∴当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；∴当时，取得极小值，∴极小值为.（2）令，则，欲使在区间上上存在，使得，只需在区间上的最小值小于零.令得，或.当，即时，在上单调递减，则的最小值为，∴，解得，∵，∴；当，即时，在上单调递增，则的最小值为，∴，解得，∴；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，∵，∴.∴，此时不成立.综上所述，实数的取值范围为二.易错问题纠错练10.（不能灵活转化而致错）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）10\nA．B．C.D．【答案】C【注意问题】函数在某个区间单调递减，导数值不一定都为负，可能在某些不连续点出导数值为0，但是不影响整个函数的单调性.11.（目标与已知条件不能联系而致错）【2022陕西咸阳二模】已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（）A．B．C.D．【答案】A【注意问题】利用单调性解抽象不等式时，关键要密切结论与已知条件的联系，通过构造合适的函数来求解.三.新题好题好好练12．已知为定义在的函数的导函数，对任意实数，都有，则不等式的解集为___________．【答案】【解析】若，则，所以在上为增函数．又等式等价于，即，所以，解得10\n．13．【2022届高三广东省阳春市一中第三次月考】若函数的最大值为，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由，可得在恒成立，即为，当时，2显然成立；当时，有，可得设由时，，则在递减，且，可得；当时，有，可得，设由时，在递减，由时，在递增，即有在处取得极小值，且为最小值，可得，综上可得．故选B．14．已知是函数（，）的一个极值点，则函数的增区间为___________．【答案】10\n15．若函数的图象恒在轴上上方，则实数的取值范围___________．【答案】【解析】当时，取，则，不合题意；当时，，则在区间上，，在区间上，，∴的最小值为，所以只需，即，∴，即．16．【2022届福建省福州期中】已知函数.（1）求函数的极值点；（2）设，若函数在内有两个极值点，求证：.，在上大于等于零恒成立，故函数在上单调递增，无极值点.④若，由得；由可得或，所以函数在上为增函数；由，可得，所以函数在上为减函数，所以函数在上有极大值点，极小值点.10\n（2），则，记，由题意可知方程即在上有两个不等实数根.所以，解得：∵，∴10
