第12讲 二次函数第1课时 二次函数的图象与性质重难点1 二次函数的图象和性质 二次函数y＝2x2＋bx＋c的图象经过点A(2，1)，B(0，1)．(1)求该二次函数的表达式；(2)二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x＝1，最小值为－1；(3)若C，D是抛物线上两点，且点C(3，7)，点D(a，7)，则a的值为－1；(4)若点P(3＋n2，y1)，Q(4＋n2，y2)在抛物线上，试判断y1与y2的大小；(写出判断的理由)(5)将该函数图象向右平移，当图象经过点(1，1)时，A，B两点随图象移至A′，B′，求△OBB′的面积；(6)将该函数图象向上平移k(k是正整数)个单位长度，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．【自主解答】 解：(1)二次函数y＝2x2＋bx＋c的图象经过点(2，1)，(0，1)．∴解得∴该二次函数的表达式是y＝2x2－4x＋1.(4)∵4＋n2＞3＋n2＞1，∴P，Q都在对称轴的右边．又∵2＞0，函数的图象开口向上，在对称轴的右边y随x的增大而增大，∴y1＜y2.(5)设函数图象向右平移m(m＞0)个单位长度，则平移后函数的表达式为y＝2(x－1－m)2－1，∵图象经过点(1，1)，∴2m2－1＝1，解得m＝1.∴S△OBB′＝OB·BB′＝×1×1＝.(6)将抛物线y＝2x2－4x＋1的图象向上平移k(k是正整数)个单位长度后的解析式为y＝2x2－4x＋1＋k，∴方程2x2－4x＋1＋k＝0无根，∴Δ＜0，∴16－8(1＋k)＜0.∴k＞1.∵k是正整数，∴k的最小值为2.1.求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴、顶点坐标有两种方法，一是利用顶点公式(－，)，二是通过配方得到y＝a(x－h)2＋k的形式．2．比较抛物线上点的纵坐标大小的基本方法有以下三种：(1)利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较；(2)当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；(3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”比较大小．如本例(4)．3．与x轴有无交点，就是将其转化为一元二次方程求解，若无交点，即是要求Δ＜0；有一个交点，即是Δ＝0；有两个交点，即是Δ＞0.【变式训练1】 (2022·成都)关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是(D)A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为－3【变式训练2】 (2022·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：14\nx－1013y－3131下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个重难点2 同一坐标系中的函数图象共存问题 (2022·德州)如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(B),A) ,B) ,C) ,D)同一法：一般可以先假定其中一种函数的图象(如：一次函数，反比例函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的范围，去判断另一个函数图象是否正确．如：例2A选项，若一次函数图象正确，则a<0，这与抛物线开口向上相矛盾．故A选项错误．【变式训练3】 (2022·永州)在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝(b≠0)与二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象可能是(D),A) ,B) ,C) ,D)重难点3 二次函数图象与字母系数的关系 (2022·达州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x＝2.下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若点M(，y1)，点N(，y2)是函数图象上的两点，则y1＜y2；④－＜a＜－.其中正确结论有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】 ①利用开口方向、对称轴以及与y轴交点纵坐标即可判断a，b，c的正负性；②根据抛物线与x轴14\n交点坐标以及对称轴，可判断抛物线与x轴的另外一个交点为(5，0)，根据图象可知当x＝3时，y＞0，即可判断9a＋3b＋c与0的大小关系；③根据点M、点N与对称轴的关系即可判断y1与y2的大小关系；④根据抛物线的对称轴x＝2，以及二次函数经过点(－1，0)可得出a，b，c之间的关系，再根据2＜c＜3即可判断a的取值范围．,解答二次函数的图象信息问题，通常先抓住抛物线的对称轴和顶点坐标，抛物线与两坐标轴的交点坐标情况，再依据图象与字母系数之间的关系求解．常考的一些式子的判断方法如下：(1)判断2a＋b与0的关系，需比较对称轴与1的大小；判断2a－b与0的关系，需比较对称轴与－1的大小；(2)判断a＋b＋c与0的关系，需看x＝1时的纵坐标，即比较x＝1时函数值与0的大小；判断a－b＋c与0的关系，需看x＝－1时的纵坐标，即比较x＝－1时函数值与0的大小；(3)判断4a＋2b＋c与0的关系，需看x＝2时的纵坐标，即比较x＝2时函数值与0的大小；判断4a－2b＋c与0的关系，需看x＝－2时的纵坐标，即比较x＝－2时函数值与0的大小；(4)判断9a＋3b＋c与0的关系，需看x＝3时的纵坐标，即比较x＝3时函数值与0的大小；判断9a－3b＋c与0的关系，需看x＝－3时的纵坐标，即比较x＝－3时函数值与0的大小；(5)判断某个字母的取值范围，通常找出两个等式，将所求字母用其他字母(容易得出范围)表示，然后解不等式.【变式训练4】 (2022·深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确是(C)A．abc＞0 B．2a＋b＜0C．3a＋c＜0 D．ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根【变式训练5】 (2022·荆门)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a)，下列结论：①4a＋2b＋c＞0；②5a－b＋c＝0；③若方程a(x＋5)(x－1)＝－1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则－5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为－4.其中正确的结论有(B)A．1个B．2个C.3个D.4个考点1 二次函数的图象与性质1．(2022·岳阳)抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是(C)A．(－2，5)B.(－2，－5)C.(2，5)D.(2，－5)2．(2022·上海)下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是(C)A．开口向下B.对称轴是y轴C．经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的3．(2022·连云港)已知抛物线y＝ax2(a>0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(C)A．y1>0>y2B．y2>0>y1C．y1>y2>0D．y2>y1>04．(2022·青岛)已知一次函数y＝x＋c的图象如图，则二次函数y＝ax214\n＋bx＋c在平面直角坐标系中的图象可能是(A) ,A) ,B),C) ,D)5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(1，－3)，与x轴的一个交点A在(2，0)和(3，0)之间，下列结论中：①bc＞0；②2a＋b＝0；③a－b＋c＞0；④a－c＝3，正确的有(A)A．4个B．3个C．2个D．1个6.(2022·陕西)对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在(C)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点2 二次函数图象的平移7．(2022·广安)抛物线y＝(x－2)2－1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是(D)A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度8．(2022·广西)将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为(D)A．y＝(x－8)2＋5B．y＝(x－4)2＋5C．y＝(x－8)2＋3D．y＝(x－4)2＋3考点3 二次函数与方程、不等式9．(2022·襄阳)已知二次函数y＝x2－x＋m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是(A)A．m≤5B．m≥2C．m＜5D．m＞210．(2022·苏州)若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为(A)A．x1＝0，x2＝4B．x1＝－2，x2＝6C．x1＝，x2＝D．x1＝－4，x2＝014\n11．(2022·咸宁)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n>ax2＋bx＋c的解集是x<－1或x>4．考点4 确定二次函数的解析式12．已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．(1)求此抛物线的解析式；(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋5，将A(1，3)代入上式得3＝a(1－3)2＋5，解得a＝－.∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)2＋5.(2)∵A(1，3)，抛物线对称轴为直线x＝3，∴B(5，3)．令x＝0，y＝－(0－3)2＋5＝，则C(0，)．∴△ABC的面积＝×(5－1)×(3－)＝5.13．(2022·泸州)已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为(D)A．1或－2B．－或C.D．114．(2022·湖州)在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为(－1，2)，(2，1)，若抛物线y＝ax2－x＋2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是(A)A．a≤－1或≤a＜B.≤a＜C．a≤或a＞D．a≤－1或a≥15．(2022·淄博)已知抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，将这条抛物线向右平移m(m＞0)个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)．若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为2或8．16．(2022·济宁)已知函数y＝mx2－(2m－5)x＋m－2的图象与x轴有两个公共点．(1)求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；(2)题(1)中求得的函数记为C1.①当n≤x≤－1时，y的取值范围是1≤y≤－3n，则n的值为－2；②函数C2：y＝2(x－h)2＋k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．解：(1)由题意，得14\n解得m<，且m≠0.当m＝2时，函数解析式为y＝2x2＋x.(2)②∵y＝2x2＋x＝2(x＋)2－，∴图象顶点M的坐标为(－，－)，由图形可知当P为射线MO与圆在第一象限的交点时，距离最大．∵点P在直线OM上，由O(0，0)，M(－，－)可求得直线解析式为y＝x，设P(a，b)，则有a＝2b，根据勾股定理可得PO2＝(2b)2＋b2，解得a＝2，b＝1.∴PM最大时函数C2的解析式为y＝2(x－2)2＋1.14\n第2课时 二次函数的综合应用 重难点1 二次函数的实际应用 (2022·黄冈)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为：y＝每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表：x123456789101112z191817161514131211101010(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式；(2)若月利润w(万元)＝当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元)，求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式；(3)当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？【自主解答】 解：(1)当1≤x≤9时，设每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式为z＝kx＋b，得即当1≤x≤9时，z＝－x＋20，当10≤x≤12时，z＝10，由上可得，z＝(2)当1≤x≤8时，w＝(x＋4)(－x＋20)＝－x2＋16x＋80.当x＝9时，w＝(－9＋20)×(－9＋20)＝121.当10≤x≤12时，w＝(－x＋20)×10＝－10x＋200.由上可得，w＝(3)当1≤x≤8时，w＝－x2＋16x＋80＝－(x－8)2＋144，∴当x＝8时，w取得最大值，此时w＝144.当x＝9时，w＝121.当10≤x≤12时，w＝－10x＋200，则当x＝10时，w取得最大值，此时w＝100，由上可得，当x为8时，月利润w有最大值，最大值144万元．【变式训练1】 (2022·潍坊)工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？ 14\n解：(1)裁剪示意图如图：设裁掉的正方形边长为xdm，由题意，得(10－2x)(6－2x)＝12，即x2－8x＋12＝0.解得x1＝2，x2＝6(舍去)．答：裁掉的正方形的边长为2dm.(2)∵长不大于底面宽的五倍，∴10－2x≤5(6－2x)．∴0＜x≤2.5.设总费用为y，由题意，得y＝0.5×2[(10－2x)x＋(6－2x)x]＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24.∵对称轴为直线x＝6，开口向上，∴当0＜x≤2.5时，y随x的增大而减小．∴当x＝2.5时，y最小＝4×(2.5－6)2－24＝25.答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低为25元．【变式训练2】 (2022·滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？解：(1)当y＝15时，15＝－5x2＋20x.解得x1＝1，x2＝3.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s.(2)当y＝0时，0＝－5x2＋20x.解得x3＝0，x4＝4.∵4－0＝4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s.(3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，∴当x＝2时，y取得最大值，此时，y＝20.答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m.重难点2 二次函数与几何图形的综合 (2022·泰安T24，11分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A(－4，0)，B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，－2)，连接AE.(1)求二次函数的解析式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；,运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定取值范围；(2)配方法利用公式求顶点；(3)检查顶点是否在自变量的取值范围内或检查所求最值是不是符合要求(例如抛物线开口向上求最小值，开口向下求最大值)．若在，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若不在，则在自变量的取值范围内，根据增减性确定．Ｋ14\n1．利用二次函数解决实际问题，第一步是建立二次函数模型，一般都是根据两个变量之间的等量关系建立．Ｋ2．利用二次函数探究实际生活中的最值问题，需先建立二次函数模型，列出二次函数关系式，整理成顶点式，函数最值应结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值．利用二次函数解决抛物线型问题的基本思路是将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件，本例中就是将飞行高度转化为纵坐标，然后列出一元二次方程求解；飞机飞出与落地时y值均为0，令纵坐标为0，就可以得到问题的答案；小球飞行的最大高度即是求抛物线所对应的二次函数的最大值．Ｋ14\n (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存，在请说明理由．【思路点拨】 (1)把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；(2)根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；(3)设出点P坐标，分PA＝PE，PA＝AE，PE＝AE三种情况讨论分析即可． 解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过点A(－4，0)，B(2，0)，C(0，6)，∴解得1分∴二次函数的解析式为y＝－x2－x＋6.3分(2)由A(－4，0)，E(0，－2)，可求AE所在直线解析式为y＝－x－2.4分过点D作DH⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H.设D(m，－m2－m＋6)，则点F(m，－m－2)．∴DF＝－m2－m＋6－(－m－2)＝－m2－m＋8.5分∴S△ADE＝S△ADF＋S△EDF＝×DF·AG＋DF·EH＝×DF·AG＋×DF·EH＝×4·DF＝2×(－m2－m＋8)＝－(m＋)2＋.7分∴当m＝－时，△ADE的面积取得最大值为.8分(3)y＝－x2－x＋6的对称轴为直线x＝－1，设P(－1，n)，又E(0，－2)，A(－4，0)．14\n可求PA＝，PE＝，AE＝＝2.当PA＝PE时，＝，解得n＝1，此时P(－1，1)；当PA＝AE时，＝2，解得n＝±，此时点P坐标为(－1，±)；当PE＝AE时，＝2，解得n＝－2±，此时点P坐标为(－1，－2±)．综上所述，P点的坐标为(－1，1)，(－1，±)，(－1，－2±).11分,本例为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、割补法求三角形面积、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中表示出△ADE的面积是解题的关键，在(3)中表示出三边的长度是解题的关键，难点在于需分三种情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．链接专题复习(七)边栏解题方法.Ｋ 1．(2022·连云港)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是(D)A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m2．(2022·北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(B)A．10mB.15mC.20mD.22.5m第2题图 第3题图3．(2022·沈阳)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝150m时，矩形土地ABCD的面积最大．4．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y＝－2x2＋80x＋750，由于某种原因，售价只能满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是1__550元．5．(2022·武汉)飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－t2.在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是24m.14\n6．(2022·义乌)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)．(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．解：(1)∵y＝x·＝－(x－25)2＋，∴当x＝25时，占地面积y最大，即当饲养室长为25m时，占地面积最大．(2)∵y＝x·＝－(x－26)2＋338，∴当x＝26时，占地面积y最大，即当饲养室长为26m时，占地面积最大．∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．7．(2022·德州)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高2m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，水柱落地处离池中心3m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；(2)求出水柱的最大高度是多少？ 解：(1)如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．由题意可设抛物线的函数解析式为y＝a(x－1)2＋h(0≤x≤3)．抛物线过点(0，2)和(3，0)，代入抛物线解析式，可得解得所以抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋(0≤x≤3)．化为一般式为y＝－x2＋x＋2(0≤x≤3)．(2)由(1)中抛物线解析式y＝－(x－1)2＋(0≤x≤3)知，当x＝1时，y＝.所以抛物线水柱的最大高度为m.814\n．(2022·江西)某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，将(10，200)，(15，150)代入，得解得∴y与x的函数关系式为y＝－10x＋300(8≤x≤30)．(2)设每天销售获得的利润为w，则w＝(x－8)y＝(x－8)(－10x＋300)＝－10(x－19)2＋1210.∵8≤x≤30，∴当x＝19时，w取得最大值，最大值为1210.(3)由(2)知，当获得最大利润时，定价为19元/千克，则每天的销售量为y＝－10×19＋300＝110(千克)，∵保质期为40天，∴总销售量为40×110＝4400.又∵4400＜4800，∴不能销售完这批蜜柚．9．(2022·济宁)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)代入抛物线解析式，得解得14\n则该抛物线解析式为y＝x2－2x－3.(2)过点A作AM⊥BC于点M，过点M作MH⊥x轴于点H.∴∠BOC＝∠AMB＝∠AHM＝90°.易证△BOC∽△BMA∽△MHA.∴＝，＝，＝.∵A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)，∴BC＝＝，OC＝3，AB＝4，OA＝3.∴AM＝，AH＝，MN＝，OH＝.∴M(－，－)．(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形．分三种情况考虑：设Q(x，0)，P(m，m2－2m－3)，当四边形BCQP为平行四边形时，由B(－1，0)，C(0，－3)，根据平移规律，得－1＋x＝0＋m，0＋0＝－3＋m2－2m－3，解得m＝1±，x＝2±.当m＝1＋时，m2－2m－3＝8＋2－2－2－3＝3，即P(1＋，3)；当m＝1－时，m2－2m－3＝8－2－2＋2－3＝3，即P(1－，3)；当四边形BCPQ为平行四边形时，由B(－1，0)，C(0，－3)．根据平移规律，得－1＋m＝0＋x，0＋m2－2m－3＝－3＋0，解得m＝0或2.当m＝0时，P(0，－3)(舍)；当m＝2时，P(2，－3)．当四边形BQCP为平行四边形时，由B(－1，0)，C(0，－3)，根据平移规律，得－1＋0＝x＋m，0＋(－3)＝0＋m2－2m－3，解得m＝0或2.当m＝0时，P(0，－3)(舍)；当m＝2时，P(2，－3)．综上，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为(1＋，3)或(1－，3)或(2，－3)．14
