滚动小专题(四) 一次函数与反比例函数的综合1．(2022·菏泽T20·7分)如图，已知点D在反比例函数y＝的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B(0，3)，直线y＝kx＋b经过点A(5，0)，与y轴交于点C，且BD＝OC，OC∶OA＝2∶5.(1)求反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)直接写出关于x的不等式＞kx＋b的解集． 解：(1)∵BD＝OC，OC∶OA＝2∶5，点A(5，0)，点B(0，3)，∴OA＝5，OC＝BD＝2，OB＝3.1分又∵点C在y轴负半轴上，点D在第二象限，∴点C的坐标为(0，－2)，点D的坐标为(－2，3)．∵点D(－2，3)在反比例函数y＝的图象上，∴a＝－2×3＝－6.∴反比例函数的表达式为y＝－.3分将A(5，0)，C(0，－2)代入y＝kx＋b，得解得∴一次函数的表达式为y＝x－2.5分(2)不等式＞kx＋b的解集为x＜0.7分2．(2022·江西)如图，反比例函数y＝(k≠0)的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A(1，a)，B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC＝90°.(1)求k的值及点B的坐标；(2)求tanC的值．解：(1)∵点A(1，a)在y＝2x上，∴a＝2.∴A(1，2)．5\n把A(1，2)代入y＝得k＝2.∵A，B两点关于原点O中心对称，∴B(－1，－2)．(2)设AC交x轴于点D.∵CA∥y轴，∴AC⊥x轴，即∠ADO＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠AOD.∴tanC＝tan∠AOD＝＝＝2.3．(2022·宜宾)如图，已知反比例函数y＝(m≠0)的图象经过点(1，4)，一次函数y＝－x＋b的图象经过反比例函数图象上的点Q(－4，n)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连接OP，OQ，求△OPQ的面积．解：(1)反比例函数y＝(m≠0)的图象经过点(1，4)，∴4＝，解得m＝4，故反比例函数的表达式为y＝.一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数的图象相交于点Q(－4，n)，∴解得∴一次函数的表达式为y＝－x－5.(2)由解得或∴点P(－1，－4)．在一次函数y＝－x－5中，令y＝0，得－x－5＝0，解得x＝－5，故点A(－5，0)．S△OPQ＝S△OPA－S△OAQ＝×5×4－×5×1＝7.5.4．(2022·贵阳)如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？5\n解：(1)∵直线y＝2x＋6经过点A(1，m)．∴m＝2×1＋6＝8.∴A(1，8)．∵反比例函数经过点A(1，8)，∴8＝.∴k＝8.∴反比例函数的解析式为y＝.(2)由题意，点M，N的坐标为M(，n)，N(，n)．∵0＜n＜6，∴＜0.∴S△BMN＝×(||＋||)×n＝×(－＋)×n＝－(n－3)2＋.∴n＝3时，△BMN的面积最大．5．(2022·咸宁)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(4，2)，直线y＝－x＋与边AB，BC分别相交于点M，N，函数y＝(x＞0)的图象过点M.(1)试说明点N也在函数y＝(x＞0)的图象上；(2)将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y＝(x＞0)的图象仅有一个交点时，求直线M′N′的解析式.解：(1)∵矩形OABC的顶点B的坐标为(4，2)，∴点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2.把x＝4代入y＝－x＋，得y＝，5\n∴点M的坐标为(4，)．把y＝2代入y＝－x＋，得x＝1.∴点N的坐标为(1，2)．∵函数y＝(x＞0)的图象过点M，∴k＝4×＝2.∴y＝(x＞0)．把N(1，2)代入y＝，得2＝2.∴点N也在函数y＝(x＞0)的图象上．(2)设直线M′N′的解析式为y＝－x＋b.由得，x2－2bx＋4＝0.∵直线y＝－x＋b与函数y＝(x＞0)的图象仅有一个交点，∴(－2b)2－4×4＝0，解得b1＝2，b2＝－2(舍去)．∴直线M′N′的解析式为y＝－x＋2.6．(2022·遂宁)如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y＝(m≠0)的图象交于第二、四象限A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AD＝4，sin∠AOD＝且点B的坐标为(n，－2)．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．解：(1)∵一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝图象交于A与B，且AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°.在Rt△ADO中，AD＝4，sin∠AOD＝，∴＝，即AO＝5.根据勾股定理，得DO＝＝3.∴A(－3，4)．5\n代入反比例函数解析式，得m＝－12，即y＝－.把B坐标代入，得n＝6，即B(6，－2)，代入一次函数解析式，得解得∴y＝－x＋2.(2)当OA＝AE1＝5时，得到OE1＝2AD＝8，即E1(0，8)．当OE3＝OE2＝AO＝5，即E2(0，－5)，E3(0，5)．当AE4＝OE4时，设E4坐标为(0，a)，则a2＝(0－3)2＋(a－4)2，解得a＝，即E4(0，)．综上，当点E为(0，8)或(0，5)或(0，－5)或(0，)时，△AOE是等腰三角形．5
