二次函数考向二次函数的图象与系数的关系1．[2022·酒泉]如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象的一部分，与x轴的交点A在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x＝1.对于下列说法：①ab<0；②2a＋b＝0；③3a＋c>0；④a＋b≥m(am＋b)(m为实数)；⑤当－1<x<3时，y>0.其中正确的是(A) A．①②④B．①②⑤C．②③④ D．③④⑤第1题图第2题图2．[2022·荆门]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a)，下列结论：①4a＋2b＋c＞0；②5a－b＋c＝0；③若方程a(x＋5)(x5\n－1)＝－1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则－5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为－4.其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个考向与平行四边形结合的二次函数的综合应用3．[2022·自贡]如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过点A(1，0)、B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P(m，n)是线段AD上的动点．(1)求直线AD及抛物线的解析式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)把A(1，0)，B(－3，0)代入抛物线解析式，得5\n解得即抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3；当x＝－2时，y＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3，即点D(－2，－3)．设直线AD的解析式为y＝kx＋c，将A(1，0)，D(－2，－3)代入，得解得即直线AD的解析式为y＝x－1.(2)∵点P坐标为(m，m－1)，∴点Q坐标为(m，m2＋2m－3)，∴l＝(m－1)－(m2＋2m－3)，即l＝－(m＋)2＋，故当m＝－时，l最大＝.(3)存在．由(2)，可知0＜PQ≤.当PQ为边时，DR∥PQ且DR＝PQ.∵R是整点，点D(－2，－3)，∴PQ是正整数，∴PQ＝1或PQ＝2.当PQ＝1时，DR＝1，此时点R的横坐标为－2，纵坐标为－3＋1＝－2或－3－1＝－4，∴点R的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)；当PQ＝2时，DR＝2，5\n此时点R的横坐标为－2，纵坐标为－3＋2＝－1或－3－2＝－5，即点R的坐标为(－2，－1)或(－2，－5)．当PQ为对角线时，设点R的坐标为(q，q＋m2＋m－3)，则QR2＝2(m－q)2.又∵点P(m，m－1)，D(－2，－3)，∴PD2＝2(m＋2)2，∴(m＋2)2＝(m－q)2，解得q＝－2(不合题意，舍去)或q＝2m＋2.∴点R的坐标为(2m＋2，m2＋3m－1)．∵R是整点，－2＜m＜1，∴当m＝－1时，点R的坐标为(0，－3)；当m＝0时，点R的坐标为(2，－1)．综上所述，存在满足要求的整点R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形，此时点R的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．4．[2022·内江]如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线y＝m(－3＜m＜0)与线段AD，BD分别交于G，H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；(3)若直线y＝kx＋1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1∶S2＝4∶5，求k的值．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，5\n∴解得∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.(2)由(1)，知抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3，∴点C(0，－3)，∴x2＋2x－3＝－3，∴x＝0或x＝－2，∴点D(－2，－3)．∵点A(－3，0)，B(1，0)，∴直线AD的解析式为y＝－3x－9，直线BD的解析式为y＝x－1.∵直线y＝m(－3＜m＜0)与线段AD，BD分别交于G，H两点，∴点G(－m－3，m)，H(m＋1，m)，∴GH＝m＋1－(－m－3)＝m＋4，∴S矩形GEFH＝－m(m＋4)＝－(m2＋3m)＝－(m＋)2＋3，∴m＝－时，矩形GEFH的最大面积为3.(3)∵点A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4.∵点C(0，－3)，D(－2，－3)，∴CD＝2，∴S四边形ABCD＝×3×(4＋2)＝9.∵S1∶S2＝4∶5，∴S1＝4.如备用图，设直线y＝kx＋1与线段AB相交于点M，与线段CD相交于点N.∴点M(－，0)，N(－，－3)，∴AM＝－＋3，DN＝－＋2，∴S1＝(－＋3－＋2)×3＝4，∴k＝.5
