第10讲 一次函数第1课时 一次函数的图象与性质重难点 一次函数的图象与性质 已知，函数y＝(1－2m)x＋2m＋1，试解决下列问题：(1)当m＝2时，直线所在的象限是第一、二、四象限；(2)若y随x的增大而增大，则m的取值范围是多少？(3)证明直线y＝(1－2m)x＋2m＋1必过点(1，2)；(4)当函数y＝(1－2m)x＋2m＋1向上平移3个单位长度时得到y＝(1－2m)x＋2，m的值为－1；(5)若函数图象与x轴的交点坐标为A，与y轴的交点为B(0，3)，则△ABO的面积为；(6)若函数图象与直线y＝x－1交于点(2，1)，则关于x的不等式x－1>(1－2m)x＋2m＋1的解集是多少？(7)当m＝0时，y＝x＋1，将正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如图所示方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B10的坐标是(210－1，29)．【自主解答】 解：(2)m<.(3)证明：将点(1，2)代入y＝(1－2m)x＋2m＋1得1－2m＋2m＋1＝2，2＝2.左边等于右边，所以直线y＝(1－2m)x＋2m＋1必过点(1，2)．(6)x>2.一次函数的图象和性质都与解析式中k，b的取值有关，利用k，b的取值可以确定图象经过的象限、可确定一次函数的增减性、也可确定与坐标轴的交点或两条直线的交点等；反之，也可结合函数图象确定k，b取值(或范围)来解决相关问题．用待定系数法求一次函数的解析式可从特殊点(与x轴、y轴的交点)入手：一次函数图象与y轴交点的纵坐标的值即一次函数y＝kx＋b中b的值，可直接代入．考点1 一次函数的概念1．(2022·玉林)等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是(B)A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数考点2 一次函数的图象与性质2．(2022·常德)若一次函数y＝(k－2)x＋1的函数值y随x的增大而增大，则(B)A．k＜2B．k＞2C．k＞0D．k＜03．(2022·湘潭)若b＞0，则一次函数y＝－x＋b的图象大致是(C)10\nABCD4．(2022·济宁)在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝－2x＋1的图象经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点．若x1＜x2，则y1＞y2.(填“＞”“＜”或“＝”)5．(2022·巴中)直线y＝2x＋6与两坐标轴围成的三角形面积是9．6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(－1，1)，顶点B在第一象限．若点B在直线y＝kx＋3上，则k的值为－2．考点3 一次函数解析式的确定7．(2022·枣庄)如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图象，如果点A(3，m)在直线l上，则m的值为(C)A．－5B.C.D．78．如图，正方形AOBC的两边分别在直线l1和l2上，且AO＝4，AO与y轴之间的夹角为60°，则l1的解析式为y＝x＋8．9．(2022·杭州)在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)的图象经过点(1，0)和(0，2)．(1)当－2＜x≤3时，求y的取值范围；(2)已知点P(m，n)在该函数的图象上，且m－n＝4，求点P的坐标．解：(1)已知一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将(1，0)和(0，2)两点代入，得解得∴y＝－2x＋2.当－2<x≤3时，－4≤－2x＋2<6.即y的取值范围为－4≤y<6.(2)已知点P(m，n)在该函数图象上，则有10\n解得即点P的坐标为(2，－2)．考点4 一次函数图象的平移10．(2022·深圳)把函数y＝x的图象向上平移3个单位长度，则下列各点在平移后的图象上的点是(D)A．(2，2)B．(2，3)C．(2，4)D．(2，5)11．(2022·娄底)将直线y＝2x－3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得的直线的表达式为(A)A．y＝2x－4B．y＝2x＋4C．y＝2x＋2D．y＝2x－2考点5 一次函数与方程、不等式12．(2022·遵义)如图，直线y＝kx＋3经过点(2，0)，则关于x的不等式kx＋3＞0的解集是(B)A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤213．(2022·南通)函数y＝－x的图象与函数y＝x＋1的图象的交点在(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．(2022·十堰)如图，直线y＝kx＋b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x(kx＋b)＜0的解集为－3＜x＜0．15．(2022·白银)如图，一次函数y＝－x－2与y＝2x＋m的图象相交于点P(n，－4)，则关于x的不等式组的解集为－2＜x＜2．16．(2022·呼和浩特)若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋b－1上，则常数b＝(B)A.B．2C．－1D．117.(2022·陕西)若直线l1经过点(0，4)，l2经过点(3，2)，且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为(A)A．(2，0)B．(－2，0)C．(6，0)D．(－6，0)1810\n．(2022·大庆)已知直线y＝kx(k≠0)经过点(12，－5)，将直线向上平移m(m>0)个单位长度．若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交(点O为坐标原点)，则m的取值范围为0＜m＜．19．(2022·河北)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C(m，4)．(1)求m的值及l2的解析式；(2)求S△AOC－S△BOC的值；(3)一次函数y＝kx＋1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．解：(1)把C(m，4)代入y＝－x＋5，得m＝2.设l2的解析式为y＝kx.把C(2，4)代入y＝kx，得k＝2.∴l2的解析式为y＝2x.(2)把x＝0代入y＝－x＋5，得y＝5，即B(0，5)．把y＝0代入y＝－x＋5，得x＝10，即A(10，0)．∴S△BOC＝×5×2＝5，S△AOC＝×10×4＝20.∴S△AOC－S△BOC＝20－5＝15.(3)①过点C时，k＝.②与l1平行时，k＝－.③与l2平行时，k＝2.10\n第2课时 一次函数的应用重难点 一次函数的实际应用 (2022·黄石)某年5月，我国南方某省A，B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C，D获知A，B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A，B两市．已知从C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往A，B两市的费用分别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．(1)请填写下表：A(吨)B(吨)合计(吨)Cx－60300－x240D260－xx260总计(吨)200300500(2)设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元(m＞0)，其余路线运费不变．若C，D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围．【思路点拨】 (1)根据表格的总分量关系填空即可；(2)根据：运费＝救灾物资的重量×相应每吨的运费，求出w与x的函数关系式即可，并写出x的取值范围；(3)根据题意，可列出含有参数m的关于x的函数关系式，由于m对函数增减性的影响，注意分段讨论求其最值，并分别求出m的取值范围．【自主解答】 解：(2)由题意可得，w＝20(x－60)＋25(300－x)＋15(260－x)＋30x＝10x＋10200，∴w＝10x＋10200(60≤x≤260)．(3)由题意可得，w＝10x＋10200－mx＝(10－m)x＋10200，当0＜m＜10时，x＝60时，w取得最小值，此时w＝(10－m)×60＋10200≥10320，解得0＜m≤8.当m＞10时，x＝260时，w取得最小值，此时，w＝(10－m)×260＋10200≥10320，解得m≤.∵＜10，∴m＞10这种情况不符合题意．由上可得，m的取值范围是0＜m≤8.1.利用数量关系求函数的解析式.2.利用分类讨论思想求参数的取值．一次函数与不等式结合考查时，常用方法如下：①在涉及求最值、最大利润问题时，通常会利用一次函数的增减性及构成函数的自变量的取值范围来求解；②在遇到方案选取问题时，往往涉及两个一次函数或分段函数，常利用不等式进行比较，往往涉及分类讨论思想．【变式训练1】 (2022·临沂)甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．甲的速度大于乙的速度，甲到达B地后，乙继续前行．设出发xh后，两人相距ykm，图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系．根据图中信息，求：(1)点Q的坐标，并说明它的实际意义；(2)甲、乙两人的速度．10\n解：(1)设PQ解析式为y＝kx＋b.把已知点P(0，10)，(，)代入，得解得∴y＝－10x＋10.当y＝0时，x＝1.∴点Q的坐标为(1，0)．点Q的意义是：甲、乙两人分别从A，B两地同时出发后，经过1个小时两人相遇．(2)设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h.由图知第小时时，甲到B地，则乙走1小时的路程，甲仅需走(－1)小时，∴解得∴甲、乙的速度分别为6km/h、4km/h.①首先，读懂图象中的横，纵坐标代表的量；②拐点：图象上的拐点，既是前一段函数变化的终点，也是后一段函数的起点；③水平线：函数值随自变量的变化而保持不变．【变式训练2】 (2022·孝感T22·10分)“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．(1)求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？(2)槐荫公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a(70＜a＜80)元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值． 解：(1)设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为(m－200)元，根据题意，得＝.2分解得m＝2000.经检验，m＝2000是分式方程的解.3分∴m－200＝1800.答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元.4分(2)根据题意，得2000x＋1800(50－x)≤98000，解得x≤40.6分W＝(2500－2000)x＋(2180－1800)(50－x)－ax＝(120－a)x＋19000，8分10\n∵当70＜a＜80时，120－a＞0，∴W随x增大而增大.9分∴当x＝40时，W取最大值，最大值为(120－a)×40＋19000＝23800－40a.∴W的最大值是(23800－40a)元.10分先确定函数解析式，然后确定自变量的取值范围，最后根据函数的增减性，结合自变量的取值范围确定函数最值，从而达到优化方案的目的．考点1 图象型问题1．若弹簧的总长度y(cm)是所挂重物x(千克)的一次函数图象如图所示，则不挂重物时，弹簧的长度是(B)A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm2．(2022·衢州)星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆借书，再骑车回到家，他离家的距离y(千米)与时间t(分)的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是1.5千米．3．(2022·杭州改编)某日上午，甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s(千米)随行驶时间t(小时)变化的图象．乙车9点出发，若要在11点前(含11点)追上甲车，则乙车的速度v(单位：千米/小时)的范围是v≥60．4．(2022·绍兴)一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y(升)关于加满油后已行驶的路程x(千米)的函数图象．(1)根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；(2)求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．10\n解：(1)汽车行驶400千米时，剩余油量30升；加满油时油箱的油量为70升．(2)设y＝kx＋b(k≠0)，把点(0，70)，(400，30)坐标分别代入得b＝70，k＝－0.1，∴y＝－0.1x＋70，当y＝5时，x＝650，即已行驶的路程为650千米．考点2 文字型问题5．(2022·德州)公式L＝L0＋KP表示当重力为P的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米(cm)表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米(cm)表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是(A)A．L＝10＋0.5PB．L＝10＋5PC．L＝80＋0.5PD．L＝80＋5P6．(2022·泰安)文美书店决定用不多于20000元购进甲、乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本的售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．(1)甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完．)解：(1)设乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本1.4x元．由题意，得－＝10.解得x＝20.经检验，x＝20是原方程的解．∴甲种图书售价为每本1.4×20＝28(元)．答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．(2)设甲种图书进货a本，总利润W元，则W＝(28－20－3)a＋(20－14－2)(1200－a)＝a＋4800.∵20a＋14×(1200－a)≤20000.解得a≤.∵W随a的增大而增大，∴当a最大时，W最大．∴当a＝533时，W最大．此时，乙种图书进货本数为1200－533＝667(本)．答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．7．(2022·铜仁)学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．(1)求甲、乙两种办公桌每张各多少元？(2)若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．解：(1)设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据题意，得解得答：甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元．10\n(2)设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌(40－a)张，购买的总费用为y，则y＝400a＋600(40－a)＋2×40×100＝－200a＋32000，∵a≤3(40－a)，∴a≤30.∵－200＜0，∴y随a的增大而减小．∴当a＝30时，y取得最小值，最小值为26000元．考点3 表格型问题8．(2022·云南)某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富．经过调查研究，他们决定利用当地生产的甲、乙两种原料开发A，B两种商品，为科学决策，他们试生产A，B两种商品100千克进行深入研究，已知现有甲种原料293千克，乙种原料314千克，生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示．甲种原料(单位：千克)乙种原料(单位：千克)生产成本(单位：元)A商品32120B商品2.53.5200设生产A种商品x千克，生产A，B两种商品共100千克的总成本为y元，根据上述信息，解答下列问题：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)，并直接写出x的取值范围；(2)x取何值时，总成本y最小？解：(1)由题意，得y＝120x＋200(100－x)＝－80x＋20000.由题意，得解得24≤x≤86.(2)∵y＝－80x＋20000，∴y随x的增大而减小．∴x＝86时，y最小．则y＝－80×86＋20000＝13120(元)．9．(2022·南充)某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．(1)求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？(2)若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．①求m的取值范围；②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w(元)与n(元)的函数关系式．(每件销售利润＝售价－进价－销售成本)解：(1)设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为(x＋100)元．根据题意，得＝.解得x＝400.经检验，x＝400为原方程的解．∴x＋100＝500.答：一件A型、B型丝绸的进价分别为500元，400元．10\n(2)①根据题意，得∴m的取值范围为16≤m≤25.②设销售这批丝绸的利润为y，根据题意，得y＝(800－500－2n)m＋(600－400－n)·(50－m)＝(100－n)m＋10000－50n.∵50≤n≤150，∴(Ⅰ)当50≤n＜100时，100－n＞0.m＝25时，销售这批丝绸的最大利润w＝－75n＋12500.(Ⅱ)当n＝100时，100－n＝0，销售这批丝绸的最大利润w＝5000，(Ⅲ)当100＜n≤150时，100－n＜0，当m＝16时，销售这批丝绸的最大利润w＝－66n＋11600.10
