第二章函数与基本初等函数I第三讲二次函数与幂函数练好题·考点自测1.下列说法正确的个数是( )①二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是4ac-b24a.②二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.③二次函数y=x2+mx+1在[1,+∞)上单调递增的充要条件是m≥-2.④幂函数的图象不可能出现在第四象限.⑤当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.⑥若幂函数y=xn是奇函数,则y=xn是增函数.A.2B.3C.4D.52.[2017浙江,5,4分]若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关3.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图2-3-1所示,则a,b,c,d的大小关系是( )A.d>c>b>a B.a>b>c>dC.d>c>a>b D.a>b>d>c图2-3-14.[2020江苏,7,5分]已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x23,则f(-8)的值是 . 5.[2018上海,7,5分]已知α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= . 拓展变式1.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且在x轴上截得的线段长为2,若对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)= . 2.(1)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“在0≤x≤1时有最小值2”,则实数a的取值范围为 . 第4页共4页\n(2)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“f(x)≤2在[0,1]上恒成立”,则实数a的取值范围为 . (3)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“f(x)≥2在[a,a+1]上恒成立”,则实数a的取值范围为 . 3.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],则实数a的值为 ; (2)若f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,则实数a的取值范围为 . 4.(1)[2020全国卷Ⅱ,10,5分]设函数f(x)=x3-1x3,则f(x)( )A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减(2)若(2m+1)12>(m2+m-1)12,则实数m的取值范围是 . 5.(1)若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(1,4)内存在零点,则实数m的取值范围是 . (2)若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一个根在0和1之间,另一个根在1和2之间,则实数k的取值范围是 . 答案第三讲 二次函数与幂函数第4页共4页\n1.B 因为x的取值有范围限制,所以函数最值不一定是4ac-b24a,故①错误;当b=0时,二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)为偶函数,故②错误;由-m2≤1得,m≥-2,故③正确;由幂函数的图象与性质可知④⑤正确;当n=-1时,幂函数y=xn是奇函数,但不是增函数,故⑥错误.正确说法的个数为3,故选B.2.B 由题意得f(x)=(x+a2)2-a24+b,分情况讨论:①当0≤-a2≤1时,f(x)min=m=f(-a2)=-a24+b,f(x)max=M=max{f(0),f(1)}=max{b,1+a+b},∴M-m=max{a24,1+a+a24}与a有关,与b无关;②当-a2<0时,f(x)在[0,1]上单调递增,∴M-m=f(1)-f(0)=1+a与a有关,与b无关;③当-a2>1时,f(x)在[0,1]上单调递减,∴M-m=f(0)-f(1)=-1-a与a有关,与b无关.综上所述,M-m与a有关,但与b无关,故选B.3.B 由幂函数的图象可知,在(0,1)上,幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d,故选B.4.-4 由题意可得f(-8)=-f(8)=-823=-(23)23=-22=-4.5.-1 ∵α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3},幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴α是奇数,且α<0,∴α=-1.1.x2-4x+3 因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),因为f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.2.(1)∅ 易知函数f(x)=-x2+2ax+1-a(0≤x≤1)的最小值在端点处取得,故f(0)=2,f(0)≤f(1)或f(1)=2,f(1)≤f(0),即1-a=2,1-a≤a或a=2,a≤1-a,无解,故a的取值范围为∅.(2)[-1,2] 由题意知f(x)max≤2,由示例2可知,①a<0,1-a≤2,解得-1≤a<0;②0≤a≤1,a2-a+1≤2,解得0≤a≤1;③a>1,a≤2,解得1<a≤2.综上,a的取值范围是[-1,2].(3)(-∞,-1]∪[2,+∞) 由示例2可知f(x)在[a,a+1]上的最小值为f(a+1),由题意知f(x)min≥2,∴f(a+1)≥2.即-(a+1)2+2a(a+1)+1-a≥2,解得a≥2或a≤-1.3.(1)2 因为f(x)=x2-2ax+5在(-∞,a]上单调递减,所以f(x)=x2-2ax+5(a>1)在[1,a]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=6-2a=a,f(x)min=f(a)=-a2+5=1,解得a=2.即实数a的值为2.(2)2≤a≤3 因为f(x)在(-∞,2]上单调递减,函数f(x)的对称轴为直线x=a,所以a≥2.所以f(x)在[1,a]上单调递减,在[a,a+1]上单调递增,所以f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max=max{f(1),f(a+1)},又f(1)-f(a+1)=6-2a-(6-a2)=a(a-2)≥0,所以f(x)max=f(1)=6-2a.因为对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,所以f(x)max-f(x)min≤4,即6-2a-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3,又a≥2,所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.第4页共4页\n4.(1)A 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=(-x)3-1(-x)3=-x3+1x3=-(x3-1x3)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除C,D.因为函数y=x3,y=-1x3在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)=x3-1x3在(0,+∞)上为增函数,排除B,选A.(2)5-12≤m<2 因为函数y=x12的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,所以不等式等价于2m+1≥0,m2+m-1≥0,2m+1>m2+m-1,解2m+1≥0,得m≥-12;解m2+m-1≥0,得m≤-5-12或m≥5-12;解2m+1>m2+m-1,即m2-m-2<0,得-1<m<2.综上,实数m的取值范围是5-12≤m<2.5.(1)(-8,1) 二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x=1.若在区间(1,4)内存在零点,只需f(1)<0且f(4)>0即可,即-1+m<0且8+m>0,解得-8<m<1.(2)(12,23) 设函数f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,结合图D2-3-1,可知f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,即2k-1>0,1+k-2+2k-1<0,4+2(k-2)+2k-1>0,解得k>12,k<23,k>14,即12<k<23,所以实数k的取值范围是(12,23).图D2-3-1第4页共4页
