第11讲 反比例函数重难点1 反比例函数的图象和性质 已知反比例函数y＝，完成下列问题：(1)若k<0，则函数分布在第二、四象限；(2)若直线y＝ax(a＞0)与反比例函数y＝交于点A(2，m)和点B(n，－1)，则m＋n＝－1，且反比例函数的解析式为y＝；(3)当k<0时，有点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，若y1>0>y2，则x1与x2的大小关系是x1<0<x2；(4)如图，在同一直角坐标系中，函数y＝与y＝kx＋k2的大致图象是(C) A B C D①反比例函数图象除一般常规的性质外，还有一条重要性质——对称性，反比例函数图象既是轴对称对称图形又是中心对称图形．②判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象共存的方法：假设其中反比例函数解析式与图象吻合，确定k的取值范围，然后确定一次函数的图象，看是否相符．Ｋ注意反比例函数的增减性需要强调“在每个象限内”.【变式训练1】 (2022·滨州)若点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)都在反比例函数y＝(k为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y2＜y1＜y3．【变式训练2】 (2022·菏泽)直线y＝kx(k>0)与双曲线y＝交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则3x1y2－9x2y1的值为36．重难点2 反比例函数中k的几何意义 (1)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x>0)的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE＝2EC.①若四边形ODBE的面积为6，则k的值为3．方法一：坐标法(通法)第一步：设点9\n设点C的坐标为(a，0)．第二步：标其他点∵点E在反比例函数图象上，∴代入得yE＝，则点E坐标为(a，)．∵BE＝2EC，∴点B的坐标为(a，)．又∵点D与点B的纵坐标一样，且点D在反比例函数图象上，∴点D的坐标为(，)．第三步：列方程∵S四边形ODBE＝S四边形ODBC－S△OCE＝6，∴代入各点坐标后解得，k＝3．方法二：面积法连接OB，∵四边形OABC是矩形，点D，E在反比例函数图象上，∴S△OAD＝S△OCE＝.又∵BE＝2EC，∴S△OBE＝2S△OCE＝k.∵OB是矩形的对角线，∴S△AOB＝S△BOC＝.∴S△OBD＝S△OBE＝k.∴S四边形ODBE＝S△ODB＋S△OBE＝2k＝6，即k＝3.②【拓展提问】 连接DE，若△BDE的面积为6，则k＝9．(2)如图，A，B是双曲线y＝上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C.若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为－．(3)(2022·玉林)如图，点A，B在双曲线y＝(x＞0)上，点C在双曲线y＝(x＞0)上．若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝BC，则AB等于(B)A.B．2C．4D．3 (4)如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于(D)A．60B．80C．30D．409\n 坐标法求k的几何意义的步骤：第一步→设点．用未知数表示点的坐标，通常从较小的点开始；第二步→标其他点．将图中所用到的点都用假设的未知数表示；第三步→列方程．根据已知条件，一般是利用面积或将点的坐标代入解析式．(请务必将此方法学会，以应对题型的变化)如图，则S△OAB＝S梯形ABCD.如图，结论：矩形ABCO与反比例函数图象交于点E，F，则＝.在运用k的几何意义确定k值时，一定要结合函数图象确定k取值的范围，否则易出现符号错误．几何图形与“两条”双曲线相交(4)题如果用面积法怎么做？提示：连接AB，则S△AOB＝S△AOF重难点3 反比例函数与一次函数综合 (2022·淄博改编)如图，直线y1＝－x＋4，y2＝x＋b都与双曲线y＝交于点A(1，m)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)直接写出当x＞0时，不等式x＋b＞的解集；(3)若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1∶3两部分，求此时点P的坐标．【思路点拨】 (1)求出点A的坐标，将点A坐标代入y＝，即可求出y与x之间的函数关系式；(2)观察图象即可得出解集；(3)分两种情况讨论，CP＝3PB或CP＝BP.【自主解答】 解：(1)将A(1，m)代入y1＝－x＋4，可得9\nm＝－1＋4＝3.∴A(1，3)．将A(1，3)代入双曲线y＝，可得k＝1×3＝3.∴y与x之间的函数关系式为y＝.(2)∵A(1，3)，∴当x＞0时，不等式x＋b＞的解集为x＞1.(3)y1＝－x＋4，令y＝0，则x＝4.∴点B的坐标为(4，0)．把A(1，3)代入y2＝x＋b.可得3＝＋b.∴b＝.∴y2＝x＋.令y＝0，则x＝－3，即C(－3，0)．∴BC＝7.∵AP把△ABC的面积分成1∶3两部分，∴CP＝BC＝，或BP＝BC＝.∴OP＝3－＝，或OP＝4－＝.∴P(－，0)或(，0)．对于一次函数与反比例函数综合题，常涉及以下几个方面：1．求交点坐标：联立方程组求解即可．2．确定函数解析式：将交点坐标代入y＝可求k，由两交点A，B坐标利用待定系数法可求y＝ax＋b.3．利用函数图象确定不等式ax＋b＞或ax＋b＜的解集时，数形结合进行分析判断：(1)先找交点，以交点为界；(2)观察交点左右两边区域的两个函数图象的上、下位置关系；(3)根据：图象在上方，函数值较大，图象在下方，函数值较小，即可求出自变量的取值范围．4．涉及与面积有关的问题时，要善于把点的横、纵坐标转化为图形边长的长度，对于所求图形的边均不在x轴、y轴或不与坐标轴平行的时候，不便直接求，可分割为易求的规则图形面积进行相关转化．Ｋ【拓展提问】 (4)设y1＝－x＋4与双曲线的另一交点为点D，在x轴上找一点Q使得QA＋QD的值最小，并写出Q点坐标：(，0)．【变式训练3】 (2022·潍坊改编)如图，直线y＝3x－5与反比例函数y＝的图象相交于A(2，m)，B(n，－6)两点，连接OA，OB.(1)则k＝3，n＝－；(2)求△AOB的面积．解：设直线y＝3x－5分别与x轴，y轴相交于点C，点D，当y＝0时，即3x－5＝0，x＝，∴OC＝.9\n当x＝0时，y＝3×0－5＝－5，∴OD＝5.∵点A(2，m)在直线y＝3x－5上，∴m＝3×2－5＝1，即A(2，1)．∴S△AOB＝S△AOC＋S△COD＋S△BOD＝×(×1＋×5＋×5)＝.求两个交点与坐标原点构成的三角形的面积的关键点与例题相同——一次函数图象与坐标轴的交点；求三角形面积时可采用割补法．考点1 反比例函数的图象与性质1．(2022·柳州)已知反比例函数的解析式为y＝，则a的取值范围是(C)A．a≠2B．a≠－2C．a≠±2D．a＝±22．(2022·海南)已知反比例函数y＝的图象过点P(－1，2)，则这个函数的图象位于(D)A．二、三象限B．一、三象限C．三、四象限D．二、四象限3．(2022·广东)如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x(k1≠0)与双曲线y＝(k2≠0)相交于A，B两点，已知点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为(A)A．(－1，－2)B．(－2，－1)C．(－1，－1)D．(－2，－2)4．(2022·衡阳)对于反比例函数y＝－，下列说法不正确的是(D)A．图象分布在第二、四象限B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．图象经过点(1，－2)D．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y25．反比例函数y＝与一次函数y＝－kx－k在同一直角坐标系中的图象可能是(C)6．(2022·兰州)如图，反比例函数y＝(x<0)与一次函数y＝x＋4的图象交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为－3，－1，则关于x的不等式<x＋4(x<0)的解集为(B)9\nA．x<－3B．－3<x<－1C．－1<x<0D．x<－3或－1<x<07.(2022·威海改编)若点(－2，y1)，(－1，y2)，(3，y3)在双曲线y＝(k＜0)上，则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2．考点2 反比例函数的应用8．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y(min)与装载速度x(t/min)之间的函数关系如图(双曲线y＝的一支)．如果以5t/min的速度卸货，那么卸完货物需要时间是120min.考点3 反比例函数中k的几何意义9．(2022·郴州)如图，A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是(B)A．4B．3C．2D．110．(2022·贵阳)如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝(x＞0)，y＝－(x＞0)的图象交于点A和点B.若C为y轴任意一点，连接AB，BC，则△ABC的面积为．9\n11．(2022·烟台)如图，反比例函数y＝的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k＝－3．考点4 反比例函数与一次函数综合12．(2022·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋b的图象经过点A(－2，0)，与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于B(a，4)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝(x＞0)的图象于点N.若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．解：(1)∵一次函数y＝x＋b的图象经过点A(－2，0)，∴－2＋b＝0.∴b＝2.∴y＝x＋2.∵一次函数与反比例函数y＝(x＞0)交于B(a，4)，∴a＋2＝4.∴a＝2.∴B(2，4)．∴y＝(x＞0)．(2)设M(m－2，m)，N(，m)．当MN∥AO且MN＝AO时，四边形AOMN是平行四边形．即|－(m－2)|＝2且m＞0，解得m＝2或m＝2＋2.∴M的坐标为(2－2，2)或(2，2＋2)．13．(2022·济南)如图，点A是反比例函数y＝(x＞0)图象上一点，直线y＝kx＋b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC.若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是2－2．9\n14．(2022·孝感)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(－1，1)，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为7．15．(2022·北京)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(x＞0)的图象与直线y＝x－2交于点A(3，m)．(1)求k，m的值；(2)已知点P(n，n)(n＞0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x－2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝(x＞0)的图象于点N.①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．解：(1)将A(3，m)代入y＝x－2，∴m＝3－2＝1.∴A(3，1)．将A(3，1)代入y＝，∴k＝3×1＝3.(2)①当n＝1时，P(1，1)．令y＝1代入y＝x－2，∴x＝3.∴M(3，1)．∴PM＝2.令x＝1代入y＝，∴y＝3.∴N(1，3)．∴PN＝2.9\n∴PM＝PN.②P(n，n)，n＞0，P在直线y＝x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x－2于点M，M(n＋2，n)，∴PM＝2.∵PN≥PM，即PN≥2，∵PN＝|－n|，|－n|≥2.∴0＜n≤1或n≥3.9
