第二章函数的概念与基本初等函数I第三讲 二次函数与幂函数1.[2021安徽省阜阳市模拟]在同一直角坐标系中,函数y=ax2+bx,y=ax-b(a>0且a≠1)的图象可能是( )2.[2021安徽合肥一中模拟]已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为( ) A.-3B.1C.2D.1或23.[2021山东潍坊模拟]已知二次函数f(x)=(x-m)(x-n)+1,且x1,x2是方程f(x)=0的两个根,则x1,x2,m,n的大小关系可能是( )A.x1<x2<m<nB.x1<m<x2<nC.m<n<x1<x2D.m<x1<x2<n4.[2021成都市摸底测试]已知函数f(x)=-x2+2|x|+3.若a=f(ln2),b=f(-ln3),c=f(e),则a,b,c的大小关系为( )A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b5.[2021安徽省四校联考]已知当x∈[0,1]时,不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sInθ>0恒成立,则θ的取值范围为( )A.kπ+π12<θ<kπ+5π12(k为任意整数)B.kπ+π6<θ<kπ+5π6(k为任意整数)C.2kπ+π12<θ<2kπ+5π12(k为任意整数)D.2kπ+π6<θ<2kπ+5π6(k为任意整数)6.[2021长春市第一次质量监测]对于函数f(x)=x|x|+x+1,下列结论中正确的是( )A.f(x)为奇函数B.f(x)在定义域上是单调递减函数C.f(x)的图象关于点(0,1)对称D.f(x)在区间(0,+∞)上存在零点第5页共5页\n7.[2020重庆市二检]已知点(2,18)在幂函数f(x)=xn的图象上,设a=f(33),b=f(lnπ),c=f(22),则a,b,c的大小关系为( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b8.[2020南阳一中模拟]“函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是( )A.1<m<3B.1<m<4C.2≤m≤3D.2<m<529.[2020沈阳市东北育才学校模拟]已知函数y=f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,则y=f(2-x2)的一个单调递增区间为( )A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.[0,2]D.[2,+∞)10.[2021安徽省合肥市第七中学模拟]已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)·xm+1为奇函数,则不等式f(2x-3)+f(x)>0的解集为 . 11.[2021浙江金华东阳中学模拟]已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1.若f(x)在[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 ;若函数f(x)在[1,2]上的最小值为2,则a的值为 . 12.[2019湖南省邵阳市高三大联考]若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a的取值范围是 . 13.[2021合肥市调研检测]已知函数f(x)=13x3+bx2+(b-4)x,若存在x∈[-3,-1]使得f'(x)≥0成立,则实数b的最值情况是( )A.有最大值1B.有最大值-3C.有最小值1D.有最小值-314.[二次函数与基本不等式综合]已知函数f(x)=x2+(a+8)x+a2+a-12(a<0),且f(a2-4)=f(2a-8),则f(n)-4an+1(n∈N*)的最小值为( )A.374B.358C.283D.27415.[2020江苏镇江一中模拟]已知函数f(x)是定义在[2-a,3]上的偶函数,在[0,3]上单调递减,且f(-m2-a5)>f(-m2+2m-2),则实数m的取值范围是 . 16.已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<m的解集为(-1,3),则满足f(3t-m)<m的实数t的取值范围是 . 第5页共5页\n17.[2020山西省运城市模拟]定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f'(x2)=f(b)-f(a)b-a,则称函数f(x)是[a,b]上的“中值函数”.已知函数f(x)=13x3-12x2+m是[0,m]上的“中值函数”,则实数m的取值范围是 . 答案第三讲 二次函数与幂函数1.D 分a>1和0<a<1两类进行讨论.当a>1时,由选项中指数函数图象与y轴的交点的纵坐标小于1可知,b>0,则A选项中二次函数图象不符,D选项符合.当0<a<1时,由选项中指数函数图象与y轴的交点的纵坐标小于1可知,b<0,则B,C选项均不正确,故选D.2.B ∵幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,∴n2+2n-2=1,n2-3n=2k,k∈Z,n2-3n<0,解得n=1.故选B.3.D 由题意可得f(m)=f(n)=1,f(x1)=f(x2)=0,由于函数y=f(x)的图象开口向上,结合选项可知,只有D项可能.4.A 当x>0时,f(x)=-x2+2|x|+3=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.因为f(-x)=-(-x)2+2|-x|+3=-x2+2|x|+3=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(-ln3)=f(ln3),又0<ln2<1<ln3,所以f(ln2)=f(2-ln2)=f(lne22),因为1<ln3<lne22<e,所以f(ln3)>f(lne22)>f(e),即b>a>c.5.C 解法一 设f(x)=x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ=(1+sinθ+cosθ)x2-(1+2sinθ)x+sinθ,由题意知,f(0)>0,f(1)>0,即sinθ>0,cosθ>0,∴2kπ<θ<2kπ+π2,k∈Z ①.∴1+sinθ+cosθ>0,0<1+2sinθ2(1+sinθ+cosθ)<1.因为第5页共5页\nf(x)=(1+sinθ+cosθ)x2-(1+2sinθ)x+sinθ>0在[0,1]上恒成立,所以Δ<0,即(1+2sinθ)2-4sinθ(1+sinθ+cosθ)<0,化简得sin2θ>12,解得kπ+π12<θ<kπ+5π12,k∈Z ②.由①②可得2kπ+π12<θ<2kπ+5π12,k∈Z,故选C.解法二 设f(x)=x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ,由题意知,f(0)>0,f(1)>0,即sinθ>0,cosθ>0,故θ位于第一象限,排除A,B,D,故选C.6.C 由题意,知函数f(x)的定义域为R.对于A,因为f(0)=1≠0,所以函数f(x)不是奇函数,故A不正确;对于B,当x>0时,f(x)=x2+x+1=(x+12)2+34,由二次函数的性质知,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故B不正确;对于C,f(x)=x2+x+1,x≥0,-x2+x+1,x<0,设x>0,则-x<0,f(x)+f(2×0-x)=f(x)+f(-x)=x2+x+1-x2-x+1=2,所以函数f(x)的图象关于点(0,1)对称,故C正确;对于D,当x>0时,f(x)=x2+x+1>1,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上不存在零点,故D不正确.故选C.7.C 因为点(2,18)在函数f(x)的图象上,所以18=2n,解得n=-3,所以f(x)=x-3,易知当x>0时,f(x)单调递减.因为33<22<1,lnπ>lne=1,所以f(33)>f(22)>f(lnπ),即a>c>b,故选C.8.B f(x)=-x2+2mx图象的对称轴为直线x=m,若函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调,则1<m<3,所以“函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是1<m<4.故选B.9.C 由y=f(x)为偶函数,可得y=f(2-x2)也为偶函数.令m=2-x2,则y=f(m)在[0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增.因为m=2-x2在(0,+∞)上单调递减,且当0≤x≤2时,m≥0,所以m=2-x2在[0,2]上单调递减,此时,y=f(m)也单调递减,所以f(2-x2)在[0,2]上单调递增,故选C.10.(1,+∞) 因为f(x)=(m2-3m+3)·xm+1是幂函数,所以m2-3m+3=1,所以m=1或2.又f(x)=xm+1是奇函数,所以m=2,所以f(x)=x3且f(x)在R上单调递增.因为f(2x-3)+f(x)>0,所以f(2x-3)>f(-x),所以2x-3>-x,解得x>1.11.[-3,0] 2 函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上单调递减,当a=0时,f(x)=-3x+1在R上单调递减,所以满足条件;当a<0时,函数f(x)图象开口向下,若f(x)在区间[-1,+∞)上单调递减,只需满足-a-32a≤-1,解得-3≤a<0;当a>0时,函数图象开口向上,可知不满足条件,综上可知实数a的取值范围是[-3,0].当a=0时,f(x)=-3x+1在R上单调递减,故函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)=-5≠2,所以不满足条件;当a<0时,函数的对称轴为x=-a-32a<0,所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,故最小值为f(2)=4a+2a-6+1=2,得a=76,不满足条件;当a>0时,分三种情况进行讨论:①当x=-a-32a≤1时,即a≥1,函数f(x)在[1,2]上单调递增,函数f(x)的最小值为f(1)=a+a-3+1=2,a=2成立,②当x=-a-32a≥2时,即0<a≤35,函数f(x)在[1,2]上单调递减,函数f(x)的最小值为f(2)=2,得a=76,不成立.③当1<-a-32a<2时,35<a<1,函数f(x)的最小值为f(-a-32a)=4a-(a-3)24a=2,得a2-2a+9=0,Δ<0,无解.综上可知a=2.第5页共5页\n12.(-∞,-1] 由题可得,(3x+a)3≤(2x)3,因为y=x3在R上单调递增,所以3x+a≤2x,即x+a≤0在x∈[a,a+2]时恒成立,所以2a+2≤0,即a≤-1.13.A 解法一 由题意知f'(x)=x2+2bx+b-4=(x+b)2-b2+b-4,其图象的对称轴为直线x=-b,当-b>-2,f'(-3)≥0时,解得b≤1,当-b≤-2,f'(-1)≥0时,无解,所以b有最大值1,故选A.解法二 由题意知f'(x)=x2+2bx+b-4,且存在x∈[-3,-1]使得f'(x)≥0成立,因为f'(x)的图象是开口向上的抛物线,所以f'(-3)=9-6b+b-4≥0或f'(-1)=1-2b+b-4≥0,解得b≤1或b≤-3,综上可得b≤1,所以b有最大值1,故选A.14.A 二次函数f(x)=x2+(a+8)x+a2+a-12图象的对称轴为直线x=-a+82,因为f(a2-4)=f(2a-8),所以a2-4=2a-8或a2-4+2a-82=-a+82,解得a=-4或a=1.又a<0,∴a=-4,∴f(x)=x2+4x,∴f(n)-4an+1=n2+4n+16n+1=(n+1)2+2(n+1)+13n+1=n+1+13n+1+2≥2(n+1)·13n+1+2=213+2,当且仅当n+1=13n+1,即n=13-1时等号成立.又n∈N*且2<13-1<3,当n=2时,f(n)-4an+1=283,当n=3时,f(n)-4an+1=294+2=374<283,∴f(n)-4an+1(n∈N*)的最小值为374.故选A.15.[1-2,12) 由函数f(x)是定义在[2-a,3]上的偶函数,得2-a+3=0,所以a=5,所以f(-m2-a5)>f(-m2+2m-2)即f(-m2-1)>f(-m2+2m-2).又易知偶函数f(x)在[-3,0]上单调递增,而-m2-1<0,-m2+2m-2<0,所以-3≤-m2-1≤0,-3≤-m2+2m-2≤0,-m2-1>-m2+2m-2,解得1-2≤m<12.16.(1,log37) 由函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的值域为[0,+∞)知,Δ=b2-4c=0,所以c=b24.不等式f(x)<m,即x2+bx+b24<m,所以(x+b2)2<m(m>0),解得-b2-m<x<-b2+m,所以2m=4,解得m=4,所以-1<3t-4<3,解得1<t<log37.17.(34,32) 由题意,知f'(x)=x2-x在[0,m]上存在x1,x2(0<x1<x2<m),满足f'(x1)=f'(x2)=f(m)-f(0)m=13m2-12m,所以方程x2-x=13m2-12m在(0,m)上有两个不相等的解.令g(x)=x2-x-13m2+12m(0<x<m),则Δ=1+43m2-2m>0,g(0)=-13m2+12m>0,g(m)=23m2-12m>0,解得34<m<32.第5页共5页
