第二十三讲 与圆有关的位置关系,考标完全解读)考点考试内容考试要求与圆的位置关系点与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系了解切线切线的概念掌握切线的判定理解切线长定理掌握三角形的内心和外心三角形内心、外心的概念了解三角形内心、外心的性质了解,感受宜宾中考) 1．(2022宜宾中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC＝__20°__.,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2022宜宾中考)如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是⊙O的两条切线，A，B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD，BE于点M，N，连接AC，CB.若∠ABC＝30°，则AM＝______.3．(2022宜宾中考)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E.(1)求证：直线CE是⊙O的切线；(2)若BC＝3，CD＝3，求弦AD的长．11\n解：(1)连结OD，∵AD平分∠EAC，∴∠OAD＝∠EAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE，∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，∴CE是⊙O的切线；(2)∵∠CDO＝∠ADB＝90°，∴∠ODA＝∠CDB＝∠OAD，∵∠C＝∠C，∴△CDB∽△CAD，∴＝＝，∴CD2＝CB·CA，∴(3)2＝3CA，∴CA＝6，∴AB＝CA－BC＝3,＝＝＝，设BD＝k，AD＝2k，在Rt△ADB中，2k2＋4k2＝32，k＝，∴AD＝.,核心知识梳理) 点与圆的位置关系1．点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外．与其对应关系可简明如下：点与圆的位置关系图形d与r的大小关系点A在圆内d＝OA<r续表点与圆的位置关系图形d与r的大小关系点B在圆上d＝OB＝r11\n续表点与圆的位置关系图形d与r的大小关系点C在圆上d＝OC>r【方法点拨】(1)点与圆的位置关系的数量特征，既是定义，也可作判定方法．(2)其中，点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与定点的距离相等．【针对练习】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，D是AB的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A，B，C，D四点中，在圆内的点有__2个__． 直线与圆的位置关系2．直线与圆的三种位置关系，既可以由直线与圆的交点个数来定义，也可以由圆心到直线的距离的大小关系来定义．直线与圆的位置关系相交相切相离图形公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r的大小关系d__＜__rd__＝__rd__＞____r3．切线的判定与性质(1)切线的判定定理经过半径的外端并且__垂直__这条半径的直线是圆的切线．【方法点拨】(1)若直线与圆只有一个公共点，则这条直线是圆的切线；(2)连接圆心与直线的公共点即为半径，再证它们互相垂直，简称“连半径证垂直”；(3)当直线与圆的公共点没有确定时，首先过圆心作出直线的垂线，再证垂线段的长等于半径，简称“作垂直证半径”．【针对练习】矩形的两邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作圆，则与圆相切的矩形的边共有__3条__．(2)切线的性质定理圆的切线垂直于__经过切点的半径__．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心．11\n【方法点拨】(1)分析性质定理和两个推论的条件、结论间的关系，可知如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的两个，就可以推出第三个：①垂直于切线；②过切点；③过圆心；(2)与圆的切线有关的辅助线作法：①若一个圆有切线，则常过圆心作切线的垂线段为辅助线；②若条件交代了切点，则连接圆心和切点是最常见的辅助线．【针对练习】已知AB是两个同心圆中大圆的弦，也是小圆的切线，设AB＝a，用a表示这两个同心圆中圆环的面积为__πa2__．(3)切线长定理①切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角．②切线长定理的应用：如图，PA，PB与⊙O分别相切于A，B两点，则△PAO≌△PBO，PA＝PB；∠APO＝∠BPO；OA2＋AP2＝OP2.【针对练习】等腰梯形的各边都与⊙O相切，⊙O的直径为8cm，梯形的腰长为10cm，则等腰梯形的上底长为__4__cm. 三角形的内心和外心4．三角形的外心：经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形__三边垂直平分线__的交点，到三角形____三个顶点__的距离相等．5．三角形的内心：与三角形的__三边都相切____的圆叫做三角形的____内切圆__，内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形__三个内角平分线____的交点，到三角形__三边__的距离相等．【针对练习】正三角形的内切圆的面积与外接圆的面积之比为( B ) A．1∶5 B．1∶4C．1∶3D．1∶2 圆中常见辅助线的作法6．(1)有弦，可作弦心距；(2)有直径，可作直径所对的圆周角，此时圆周角为直角；(3)有切线，可作过切点的半径；(4)两圆相交，可作公共弦；(5)两圆相切，可作切线；(6)有半圆，可作整圆．11\n,重点难点解析) 点与圆、直线与圆的位置关系【命题规律】考查点与圆、直线与圆的位置关系，关键是熟记两者关系中的数量间的关系．【例1】已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4.其中正确命题的个数是( C )A．1 B．2 C．3 D．5【解析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案．【答案】C【针对训练】1．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(m，0)，半径为2，如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m＝__±2__，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m的取值范围是__－2＜m＜2__． 切线的性质和判定【命题规律】考查切线的性质与判定，常以填空、选择、解答题的形式出现．【例2】(漳州中考)如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连结AC，BC.(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长．【解析】(1)连结OC，由C为的中点，得到∠1＝∠2，等量代换得到∠2＝∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；(2)连结CE，由勾股定理得到CD＝＝，根据切割线定理得到CD2＝AD·DE，根据勾股定理得到CE＝＝，由圆周角定理得到∠ACB＝90°，即可得到结论．【答案】解：(1)相切．理由：连结OC，∵C为的中点，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠1＝∠ACO，∴∠2＝∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在△ADC和△ACB中，由(1)可得∠1＝∠2，11\n∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD～△ACB.根据相似三角形的性质可得，＝，∴AB＝＝＝3.【针对训练】2．(2022日照中考)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是( A )A．5B．5 C．5 D.,(第2题图)) ,(第3题图))3．(2022镇江中考)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D.若∠CAD＝30°，则∠BOD＝__120°__．4．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)若CF＝5，cosA＝，求BE的长．解：(1)连结OD,∵D是BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，又∵EF⊥AB,∴OD⊥EF，即直线EF是⊙O的切线；(2)连结CG.∵AC是⊙O的直径，∴∠AGC＝90°.在Rt△ACG中，cosA＝＝，令AC＝2r，则AG＝r，在Rt△AEF中，cosA＝＝，AF＝2r＋5,∴AE＝(2r＋5)，∴EG＝AE－AG＝(2r＋5)－r＝2.又∵CG⊥AB,DE⊥AB,∴CG∥EF.11\n∵D是BC的中点，∴BE＝EG＝2. 与切线相关的几何探究题【命题规律】这类题目将圆、三角形、四边形的知识综合起来，考查综合应用知识解决问题的能力，题目难度大，常为次压轴题．【例3】(2022宜宾中考)如图①，在△APE中，∠PAE＝90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心、OA为半径作圆交AE于点G.(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)在图②中，设PE与⊙O相切于点H，连接AH，点D是⊙O的劣弧上的一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为4，tan∠EAH＝.求EH的长.【解析】(1)作OH⊥PE，由PO为∠APE的平分线得到∠APO＝∠EPO，判断出△PAO≌△PHO，得到OH＝OA，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线PE是⊙O的切线；(2)先利用切线的性质和△PBC的周长为4，求出PA＝2，再用三角函数求出OA，AG，然后用三角形相似，得到AE＝2EH，用勾股定理求出EH.【答案】解：(1)过O点作OH⊥PE，垂足为H.又∵OP平分∠APE，∠PAE＝90°，∴OA＝OH，又∵OA为半径，∴直线PE是⊙O的切线；(2)连接OH，GH.∵OA为半径，∠PAE＝90°，∴PA切⊙O于点A.∵PH切⊙O于点H，∴PA＝PH，同理，BA＝BD，∴CD＝CH，PA＋PH＝PB＋BA＋PC＋CH＝PB＋DB＋PC＋CD＝PB＋BC＋PC＝4，∴PA＝PH＝2，∵OA＝OH，∴∠OAH＝∠OHA，∵AG为⊙O的直径，∴∠AHG＝∠OHG＋∠OHA＝∠OHG＋∠OAH＝90°.∵PE切⊙O于H，∴∠OHE＝∠EHG＋∠OHG＝90°，∴∠EHG＝∠OAH.∵∠E＝∠E，∴△EGH∽△EHA，∴＝.∵tan∠EAH＝＝，∴＝.设EH＝x，则AE＝2x，在Rt△AEP中，AE2＋AP2＝PE2，即(2x)2＋22＝(2＋x)2，解得x＝，∴EH＝.【针对训练】11\n5．(2022聊城中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连结BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．解：(1)连结OD.∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.又∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD⊥PD.又∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC.∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；(3)∵△ABC是直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，∴BC＝10.∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100.∴DC＝DB＝5.∵△PBD∽△DCA，∴＝.即PB＝＝＝.6．(2022宜宾中考)如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A.11\n(1)求证：直线BC是⊙O的切线；(2)若AE＝2，tan∠DEO＝，求AO的长．解：(1)连结OD.∵DE∥BO，∴∠DEO＝∠BOC，∠EDO＝∠DOB.∵OD＝OE，∴∠EDO＝∠OED，∴∠COB＝∠BOD.在△DOB与△COB中，∴△DOB≌△COB，∴∠OCB＝∠ODB，∵BD切⊙O于点D，∴∠ODB＝∠OCB＝90°，∴AC⊥BC，∴直线BC是⊙O的切线；(2)∵∠DEO＝∠BOC，∴tan∠DEO＝tan∠BOC＝，设OC＝r，BC＝r，由(1)证得△DOB≌△COB，∴BD＝BC＝r，由切割线定理得：AD2＝AE·AC＝2(2＋2r)，∴AD＝2，∵DE∥BO.∴＝，＝，∴r＝1，∴AO＝3.,当堂过关检测) 1．已知等腰三角形的腰长为6cm，底边长为4cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心，5cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是( A )A．相离B．相切C．相交D．不能确定2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，以R长为半径画圆，若⊙C与边AB只有一个公共点，则R的取值范围是( D )A．R＝ B．3≤R≤411\nC．0＜R＜3或R＞4D．3＜R≤4或R＝3．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC＝∠AOD，∠D＝∠BAF.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，CE＝2，求EF的长．解：(1)∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF＋∠FAC＝90°，∵∠D＝∠BAF，∠AOD＝∠FAC，∴∠D＋∠AOD＝90°，∴∠OAD＝90°，∴AD是⊙O的切线；(2)连接BF，∴∠FAC＝∠AOD，∴△ACE∽△OCA，∴＝＝，∴＝＝，∴AC＝AE＝，∵∠CAE＝∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴＝，∴＝，∴EF＝.教后反思：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________11\n________________________________________________________________________11
