第八章 圆第二十二讲 圆的有关性质,考标完全解读)考点考试内容考试要求圆的相关概念圆的定义理解弦、弧、圆心角的定义理解圆的对称性了解圆的有关性质及定理垂径定理掌握圆周角定理了解弦、弧、圆心角之间的关系了解圆内接四边形的性质了解,感受宜宾中考)1.(2022宜宾中考)在平面直角坐标系内，以点P(1，1)为圆心，为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是__(0，3)或(0，－1)__2．(2022宜宾中考)如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E，若⊙O的半径为2，则CF＝__2__．,核心知识梳理) 与圆有关的概念及其性质1．圆的定义(1)到定点距离__相等__的所有点构成的图形叫做圆；(2)在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做__圆心__，线段OA叫做__半径__．2．圆心确定圆的____位置__，半径确定圆的__大小__．圆心相同的圆叫做同心圆，能够重合的两个圆叫做等圆．3．圆的有关概念(1)弦：连接圆上任意两点的线段；10\n(2)直径：经过圆心的弦，直径等于半径的2倍；(3)弧：圆上任意两点间的部分．【温馨提示】圆上任一条弦都对应两条弧．4．圆的对称性(1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在__直线__都是圆的对称轴．(2)圆是中心对称图形，对称中心是__圆心__． 垂径定理及其推论5．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．6．垂径定理的推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦及其所对的一条弧的弦经过圆心，并且平分弦所对的另一条弧；(4)圆的两条平行弦所夹的弧__相等__．7．垂径定理及其推论的延伸．根据圆的对称性，如图，在以下五条结论：①＝；②＝；③AE＝BE；④AB⊥CD；⑤CD是直径，只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即“知二推三”．【针对练习】已知，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP∶PB＝1∶5，则⊙O的半径为__3__cm.8．垂径定理的应用用垂径定理进行证明或计算时，常需作出圆心到弦的垂线段(弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用由半径、弦心距和半弦构成直角三角形来达到求解的目的，这样圆中的弦长a、半径r、弦心距d及弓形高h四者之间就可以做到“知二求二”．【针对练习】如图，一个宽为2cm的刻度尺(刻度单位：cm)，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为____cm. 弦、弧、圆心角之间的关系9．定理：在__同圆__或__等圆__中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．10．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弦__相等____；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，10\n那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弧__相等__．【针对练习】如图，在⊙O中，已知＝，那么图中共有__4__对全等三角形． 圆周角定理11．圆周角的定义：顶点在__圆__上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角．12．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__一半__．13．推论：(1)同弧或等弧所对的圆周角__相等__；(2)半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【针对练习】如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝40°，则∠CAD＝____50°__． 圆内接四边形的性质14．圆内接四边形的对角__互补__，它的任意一个外角等于这个角的__对角__．,重点难点解析) 有关圆中圆心角与圆周角的计算【命题规律】考查对圆心角、圆周角定理的理解和运用．基础题目，以填空、选择题的形式出现．【例1】(2022招远期中)如图，⊙O直径为10cm，两条直径AB，CD相交成90°角．∠AOE＝50°，OF是∠BOE的平分线．求圆心角∠COF的度数．10\n【解析】由平角的定义得到∠BOE＝130°，由角平分线的定义得到∠BOF＝∠BOE＝65°，于是得结论．【答案】解：∵∠AOB＝180°，∠AOE＝50°，∴∠BOE＝130°，∵OF是∠BOE的平分线，∴∠BOF＝∠BOE＝65°，∵两条直径AB，CD相交成90°角，∴∠COF＝90°－65°＝25°.【针对训练】 1．(2022青岛中考)如图，AB是⊙O的直径，C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( B )A．100°B．110°C．115°D．120°,(第1题图)) ,(第2题图))2．(泰安中考)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( B )A．12.5°B.15° C.20°D.22.5°3．如图，点A，B，C在⊙O上，切线CD与OB的延长线交于点D.若∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径长为__2__． 垂径定理【命题规律】考查垂径定理的应用，题目常与勾股定理结合，是中考的热点．题目以填空、选择题的形式出现．【例2】如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为P，BP＝2cm，CD＝6cm，求直径AB的长．10\n 【解析】连接OC，由垂径定理可知CP＝CD＝3，设半径为r，由勾股定理可求出r的值．【答案】解：连结OC.∵OB⊥CD，O为圆心，∴CP＝CD＝3，设OC＝OB＝r，∴OP＝r－2，在Rt△OCP中，由勾股定理得：(r－2)2＋32＝r2，∴r＝，∴直径AB＝2r＝.【针对训练】4．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连结CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是( D )A．AD＝2OB B．CE＝EOC．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD,(第4题图)) ,(第5题图))5．如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD＝30°，OB⊥AD，交AC于点B，若OB＝3，则BC＝__3__．6．已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB，CD之间的距离为( D )A．7cmB．17cmC．12cmD．17cm或7cm 圆的性质的综合应用10\n【命题规律】考查利用圆的性质解决问题的能力．题目以解答题形式出现较多．【例3】(2022崇左中考)如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O相交于点D，E，连结DE，现给出两个命题：①若AC＝AB，则DE＝CE；②若∠C＝45°，记△CDE的面积为S1，四边形DABE的面积为S2，则S1＝S2，那么( )A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①是假命题，②是假命题D．①是真命题，②是真命题【解析】根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B，根据圆内接四边形的性质得到∠B＝∠CDE，根据等腰三角形的判定判断①；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断②.【答案】D【针对训练】7．(2022苏州中考)如图，已知△ABC内接于☉O，AB是直径，点D在☉O上，DO∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连结CD交OE边于点F.(1)求证：△DOE∽△ABC；(2)求证：∠ODF＝∠BDE；(3)连结OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若＝，求sinA的值．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°，∴∠DEO＝∠ACB.∵OD∥BC，∴∠DOE＝∠ABC，∴△DOE∽△ABC；(2)∵△DOE∽△ABC，∴∠ODE＝∠A.∵∠A和∠BDC是所对的圆周角，∴∠A＝∠BDC，∴∠ODE＝∠BDC，∴∠ODF＝∠BDE；(3)∵△DOE∽△ABC，∴＝()2＝，即S△ABC＝4S△DOE＝4S1.10\n∵OA＝OB，∴S△BOC＝S△ABC，即S△BOC＝2S1.∵＝，S2＝S△BOC＋S△DOE＋S△DBE＝2S1＋S1＋S△DBE，∴S△DBE＝S1，∴BE＝OE，即OE＝OB＝OD，∴sinA＝sin∠ODE＝＝.8．(2022武汉中考)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D.(1)求证：AO平分∠BAC；(2)若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长．解：(1)延长AO交BC于点H，连结BO.∵AB＝AC，OB＝OC，∴A，O在线段BC的中垂线上，∴AO⊥BC.又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC；(2)过点D作DK⊥AO于K.∵由(1)知AO⊥BC，OB＝OC，BC＝6，∴BH＝CH＝BC＝3，∠COH＝∠BOC.∵∠BAC＝∠BOC，∴∠COH＝∠BAC.在Rt△COH中，∠OHC＝90°，sin∠COH＝.∵CH＝3，∴sin∠COH＝＝，∴CO＝AO＝5.∵CH＝3，∴OH＝＝＝4.∴AH＝AO＋OH＝5＋4＝9，tan∠COH＝tan∠DOK＝.在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，AH＝9，CH＝3，10\n∴tan∠CAH＝＝＝，AC＝＝＝3.由(1)知∠COH＝∠BOH，tan∠BAH＝tan∠CAH＝.设DK＝3a.在Rt△ADK中，tan∠BAH＝.在Rt△DOK中，tan∠DOK＝.∴OK＝4a，DO＝5a，AK＝9a，∴AO＝OK＋AK＝13a＝5.∴a＝，DO＝5a＝，CD＝OC＋OD＝5＋＝，∴AC＝3，CD＝.,当堂过关检测) 1．同圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比是( A )A.：1B.：1C．2：1D．3：12．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是( A )A．45°B．60°C．75°D．90°,(第2题图)) ,(第3题图))3．如图，CD是⊙O的弦，点P在弦CD上，过点P作PA⊥OP交⊙O于点A，已知，CP＝2cm，PD＝8cm，则PA＝__4______cm.4.如图，已知AB是⊙O的直径，弦BC＝9，连接AC，D是圆周上一点，连接DB，DC，且tan∠BDC＝，求⊙O的直径AB的长．10\n解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵∠A＝∠D，∴tan∠BAC＝＝tan∠BDC＝.又∵BC＝9，∴＝，∴AC＝12，∴AB＝＝＝15.5．如图是一块车轮碎片的示意图，点O是这块轮片的圆心，AB＝24cm，C是弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝4cm，求原轮片的半径．解：在Rt△OAD中，设半径是x，则OA＝x，OD＝x－4，AD＝AB＝12.根据勾股定理定理得到：x2＝(x－4)2＋122，解得x＝20.所以原轮片的半径是20cm.6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥PD；(2)若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径．解：(1)∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD；(2)连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴＝，∴∠P＝∠CAB.又∵sinP＝，∴sin∠CAB＝，即＝，10\n又知，BC＝3，∴AB＝5，∴直径为5.10
