第二十三讲 与圆有关的位置关系1．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是( A )A．点A在圆内 B．点A在圆上C．点A在圆外D．不能确定2．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( B ) A．1B．1或5C．3D．53．关于半径为5的圆，下列说法正确的是( C )A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π4．(2022湖北中考)已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( C )A.B.C.D．25．(2022黄冈中考)已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC,∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为( B )A．30°B．35°C．45°D．70°,(第5题图)) ,(第6题图))6．(宜昌中考)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)，现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为( A )A．E，F，GB．F，G，HC．G，H，ED．H，E，F7．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于( C )A．30°B．60°C．45°D．50°7\n,(第7题图)) ,(第8题图))8．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为1，动直线AB与x轴交于点P(x，0)，直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是( D )A．－1≤x≤1B．－＜x＜C．0≤x≤D．－≤x≤9．已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P(－3，4)，则坐标原点O与⊙P的位置关系是__点在圆上__．10．如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8cm，则l沿OC所在直线向下平移__2__cm时与⊙O相切．,(第10题图)) ,(第12题图))11．已知⊙O1与⊙O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2－5x＋5＝0的两个根，则⊙O1与⊙O2的位置关系是__外离__．12．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB＝8，则图中阴影部分的面积是__16π__．(结果保留π)13．(2022乌鲁木齐中考)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D.(1)求证：△ADC∽△CDB；(2)若AC＝2，AB＝CD，求⊙O的半径．解：(1)连结CO.∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCD.∵∠ACO＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BCD.又∵∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB；(2)设CD为x，7\n则AB＝x，OC＝OB＝x.∵∠OCD＝90°，∴OD＝＝＝x，∴BD＝OD－OB＝x－x＝x，由(1)知，△ADC∽△CDB，∴＝，即＝，解得CB＝1，∴AB＝＝，∴⊙O半径是.14．(2022绵阳中考)如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的⊙O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连结AF交CD于点N.(1)求证：CA＝CN；(2)连结DF，若cos∠DFA＝，AN＝2，求⊙O的直径的长度．解：(1)连结OF.则∠OAF＝∠OFA.∵ME与⊙O相切，∴OF⊥ME.∵CD⊥AB，∴∠M＋∠FOH＝180°.∵∠BOF＝∠OAF＋∠OFA＝2∠OAF，∠FOH＋∠BOF＝180°，∴∠M＝2∠OAF.∵ME∥AC，∴∠M＝∠C＝2∠OAF.∵CD⊥AB，∴∠ANC＋∠OAF＝∠BAC＋∠C＝90°，∴∠ANC＝90°－∠OAF，∠BAC＝90°－∠C＝90°－2∠OAF，∴∠CAN＝∠OAF＋∠BAC＝90°－∠OAF＝∠ANC，∴CA＝CN；(2)连结OC.∵cos∠DFA＝，7\n∠DFA＝∠ACH，∴＝.设CH＝4a，则AC＝5a，AH＝3a.∵CA＝CN，∴NH＝a，∴AN＝＝＝a＝2，∴a＝2，AH＝3a＝6，CH＝4a＝8.设圆的半径为r，则OH＝r－6.在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝8，OH＝r－6，∴OC2＝CH2＋OH2，r2＝82＋(r－6)2，解得r＝，∴⊙O的直径的长度为2r＝.15．(德阳中考)如图所示，已知∠AOB＝60°，⊙O1与∠AOB的两边都相切，沿OO1方向作⊙O2与∠AOB的两边相切，且与⊙O1外切，再作⊙O3与∠AOB的两边相切，且与⊙O2外切，…，如此作下去，⊙On与∠AOB的两边相切，且与⊙On－1外切，设⊙On的半径为rn，已知r1＝1则r2016＝__32__015__．16．如图①，等腰直角三角形ABC的腰长是2，∠ABC＝90°.以AB为直径作半圆O，M是BC上一动点(不运动至B，C两点)，过点M引半圆O的切线，切点是P，过点A作AB的垂线AN，交切线MP于点N，AC与ON，MN分别交于点E，F.(1)证明：△MON是直角三角形；(2)当BM＝时，求的值；(结果不取近似值)(3)如图②，当BM＝时，判断△AEO与△CMF是否相似，如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由． 图① 图②解：(1)连结OP.∵MN切⊙O于点P，∴∠MPO＝90°.∵∠ABC＝90°，7\n∴∠MPO＝∠MBO，又OP＝OB，OM＝OM，∴Rt△MOP≌Rt△MOB，∴∠MOP＝∠MOB.同理，Rt△NOP≌Rt△NOA,∠NOP＝∠NOA，∴∠MOP＋∠NOP＝∠MOB＋∠NOA＝×180°＝90°，即∠MON＝90°，∴△MON是直角三角形；(2)当BM＝时，∵AB＝BC＝2，∴CM＝2－.在Rt△MOB中，OB＝AB＝1，tan∠MOB＝＝，∴∠MOB＝60°.在Rt△NOA中，OA＝1，∠AON＝90°－60°＝30°，∴AN＝OAtan∠AON＝1×tan30°＝.∵BC⊥AB，AN⊥AB,∴BC∥AN，∴△CFM∽△AFN.∴＝＝＝2－3；(3)当BM＝时，△AEO∽△CMF.证明如下：△AEO与△CMF中，∠EAO＝∠FCM＝45°，BM＝，OB＝1，∴Rt△MBO中，tan∠MOB＝＝，∴∠MOB＝30°，∴∠AOE＝90°－∠MOB＝60°，又∠OMP＝∠OMB＝60°，∴∠CMF＝180°－(∠OMP＋∠OMB)＝60°，∴∠AOE＝∠CMF，∴△AEO∽△CMF.17．(2022德州中考)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点．以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；7\n(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．解：(1)连结OE，CE.∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°.∵D是BC的中点，∴ED＝BC＝DC，∴∠DEC＝∠DCE.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DEC＋∠OEC＝∠DCE＋∠OCE，即∠OED＝∠ACD.∵∠ACD＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥DE.又∵E是⊙O上一点，∴DE是⊙O的切线；(2)由(1)知∠BEC＝90°.在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B为公共角，∴△BEC∽△BCA，∴＝.即BC2＝BE·BA.∵AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x.又∵BC＝6，∴62＝2x·3x.∴x＝，即AE＝.18．(2022山西中考)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D.(1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长；(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝2，∴AO＝AB＝×2＝.∵OD⊥AB，∴∠AOE＝∠ACB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴＝，∴OE＝＝＝；(2)∠CDE＝2∠A.理由如下：连结OC.7\n∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠COD＋∠CDE＝90°.∵OD⊥AB，∴∠COD＋∠COB＝90°，∴∠COB＝∠CDE.∵∠COB＝∠A＋∠OCA＝2∠A，∴∠CDE＝2∠A.19．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC，△COB，弓形BmC的面积为S1，S2，S3，则它们之间的关系是( B )A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S17
