第八章 圆第二十二讲 圆的有关性质1．(2022福建中考)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是( D )A．∠ADC B．∠ABDC．∠BACD．∠BAD,(第1题图)) ,(第2题图))2．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线．A为切点，BC经过圆心．若∠B＝20°，则∠C的大小等于( D )A．20° B．25° C．40° D．50°3.如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是( D )A．25°B．30°C．40°D．50°,(第3题图)) ,(第4题图))4．(2022西宁中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为( C )A.B．2C．2D．85．(2022泸州中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( B )A.B．2C．6D．8,(第5题图)) ,(第6题图))6．如图，一个台球从点C射向球桌边沿AB上的点Q，然后反射出去，正好碰到在点D的另一个球．如果C，D两点正好在以AB为直径的半圆弧上(O是圆心)，连接OC，OD，CD.下面有四个结论：①∠AQC＝∠BQD；②∠CQD＝∠COD；③∠AOC＝∠CDQ;④AQ·BQ＝CQ·DQ.那么，其中正确的结论是__①③④__．7．(2022甘肃中考)如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝__58°__．,(第7题图)) ,(第8题图))5\n8．(2022包头中考)如图，点A，B，C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝__20__°.9．(2022北京中考)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，AD＝CD.若∠CAB＝40°，则∠CAD＝__25°__．,(第9题图)) ,(第10题图))10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足＝，延长AF交⊙O于点E，连结AD，DE，若CF＝2，AF＝3.给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tanE＝；④S△DEF＝4.其中正确的是__①②④__．(写出所有正确结论的序号)11．如图，AB为⊙O的弦，AB＝8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，求⊙O的半径．解：连结OA.∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝4.设⊙O的半径为r，则OD＝r－1.在Rt△OAD中，OA2＝AD2＋OD2，∴r2＝(r－1)2＋42整理，得2r＝17，∴r＝.∴圆的半径是.12．(2022临沂中考模拟)如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连结AD.(1)求证：AD＝AN;(2)若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径．解：(1)∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BAD＝∠BCD，∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC＝∠AEN＝90°.5\n∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BCD＝∠BAM，∴∠BAM＝∠BAD.在△ANE与△ADE中，∵∴△ANE≌△ADE，∴AD＝AN；(2)连结AO.∵AB＝4，AE⊥CD，∴AE＝2.又∵ON＝1，∴设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE＋ED＝2x－1，则AO＝OD＝2x－1.∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x－1，AO＝2x－1，∴(2)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，解得x1＝2，x2＝－(舍去)．∴r＝2x－1＝3.13．(2022和平二模)已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，在BC上取一点O，以O为圆心，OB为半径作圆，且⊙O过A点．(1)如图①，若⊙O的半径为5，求线段OC的长；(2)如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连结BD，求的值． 图① 图②解：(1)∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠B＝30°，∴∠AOC＝30°＋30°＝60°，∴∠OAC＝90°.∵OA＝5，∴OC＝2AO＝10；(2)连结OD.∵∠AOC＝60°，AD∥BC，∴∠DAO＝∠AOC＝60°.∵OD＝OA，∴∠ADO＝60°，5\n∴∠DOB＝∠ADO＝60°.∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形，∴BD＝OB＝OA.在Rt△OAC中，tanC＝tan30°＝＝，即＝.14．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知⊙O半径为，tan∠ABC＝，则CQ的最大值是( D )A．5 B. C. D.15.在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．,图①) ,图②)解：(1)连结OQ.∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB.在Rt△OBP中，∵tanB＝，∴OP＝3tan30°＝.在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，∴PQ＝＝；(2)连结OQ.在Rt△OPQ中，PQ＝＝，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP＝OB＝，5\n∴PQ长的最大值为＝.5
