第二十四讲 与圆有关的计算,考标完全解读)考点考试内容考试要求弧长弧长的计算掌握扇形扇形的面积掌握圆柱圆柱的侧面积理解圆柱的全面积了解圆锥圆锥的侧面积理解圆锥的全面积了解,感受宜宾中考)1.(2022宜宾中考)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( D ) A．3πB．6πC．9πD．12π2．(2022宜宾中考)将半径为5的圆(如图①)剪去一个圆心角为n°的扇形后围成如图②所示的圆锥，则n＝__144°__．,核心知识梳理) 弧长的计算9\n1．由圆的周长公式C＝2πR，可以推得弧长的计算公式为l＝____．(R为圆的半径，n为弧所对的圆心角的度数)【提示】在弧长公式中，有l，n，R三个量，已知其中的两个量，可以求出第三个量．【针对练习】一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，那么扇形的圆心角是__150°__． 扇形面积的计算2．由圆的面积公式S＝πr2，可以推得扇形面积公式为①S＝____，②S＝__lr__．(r为圆的半径，n是扇形的圆心角的度数，l为扇形的弧长)【提示】在扇形面积公式中，对于S,l，n，r四个量，可以“知二求二”【针对练习】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以BC为直径的圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积是__1__． 圆柱与圆锥侧面积和全面积的计算3．圆柱侧面积和全面积的计算侧面积：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长为圆柱的底面周长C，另一边长为圆柱的母线长为l，若圆柱的底面半径为r，则S圆柱侧＝__Cl__＝2πrl，全面积：S圆柱侧＝S圆柱侧＋2S圆柱底＝__2πrl__＋__2πr2__．4．圆锥侧面积和全面积的计算(1)侧面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C，半径等于圆锥的母线长l，若圆锥的面底半径为r，这个扇形的圆心角为α，则α＝·360°，S圆锥侧＝Cl＝____．(2)全面积：S圆锥全＝S圆锥侧＋S圆锥底＝__＋πr2__．9\n【针对练习】已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为∠1，则sin∠1的值为______．,重点难点解析) 正多边形中有关的计算【命题规律】考查正多边形中的有关计算，题目以填空、选择题的形式出现．【例1】如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为( A )A.－ B.－C．2－ D．2－【解析】由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB＝60°，故△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG＝OA·sin60°，再根据S阴影＝S△OAB－S扇形OMN，进而可得出结论．【答案】A【针对训练】1．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( C )A．3 B．3 C. D.2．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是__4__． 弧长、扇形的面积的计算【命题规律】考查弧长、扇形面积的计算公式、题目以填空、选择题的形式出现．9\n【例2】(2022天水中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝4，则S阴影＝( B )A．2π B.πC.π D.π【解析】根据垂径定理求得CE＝ED＝2，然后由圆周角定理知∠DOE＝60°，然后通过解直角三角形求得线段OD，OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影＝S扇形ODB－S△DOE＋S△BEC.【答案】B【针对训练】3．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为( A )A.cm B.cmC．3cmD.cm4.(2022宁波中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2，以BC的中点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为( B )A. B.C．πD．2π5．(临沂中考)如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．解：(1)连接OC.∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠CAB＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAB＝30°.∴∠OCD＝180°－∠CAB－∠D－∠OCA＝90°.∴CD是⊙O的切线；(2)∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°.∴S扇形BOC＝＝π.在Rt△OCD中，9\n∵＝tan60°，∴CD＝2.∴SRt△OCD＝OC×CD＝×2×2＝2.∴图中阴影部分的面积为：2－. 圆柱、圆锥侧面积、全面积的计算【命题规律】考查用扇形围成圆锥侧面或用直角三角形绕一边旋转所得几何体的全面积的计算，题目以填空、选择题的形式出现．【例3】(2022绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积是( C )A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2D．100πcm2【解析】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积．【答案】C【针对训练】6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是( A )A.πcm2 B．2πcm2C．6πcm2 D．3πcm27．如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10cm.(1)求圆锥的全面积；(2)若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM＝3AM，求它所走的最短距离．解：(1)由题意，可得圆锥的母线SA＝＝40(cm)，圆锥的侧面展开扇形的弧长l＝2π·OA＝20πcm，∴S侧＝l·SA＝400πcm2，S圆＝πAO2＝100πcm2，9\n∴S全＝S圆＋S底＝(400＋100)π＝500π(cm2)；(2)沿母线SA将圆锥的侧面展开，如图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离．由(1)知，SA＝40cm，弧AA′＝20πcm，∵＝20πcm，∴∠S＝n＝＝90°，∵SA′＝SA＝40cm，SM＝3A′M，∴SM＝30cm，∴在Rt△ASM中，由勾股定理得AM＝50(cm)．所以，蚂蚁所走的最短距离是50cm. 有关圆计算的综合问题【命题规律】将计算圆的弧长、扇形的面积与三角形、四边形等知识综合起来，考查学生综合解决问题的能力．【例4】(昆明中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．(结果保留根号和π)【解析】(1)由OD＝OB得∠1＝∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，而∠A＝2∠1，所以∠DOC＝∠A，由于∠A＋∠C＝90°，所以∠DOC＋∠C＝90°，则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；(2)由∠A＝60°得到∠C＝30°，∠DOC＝60°，根据含30°的直角三角形三边的关系得CD＝OD＝2，然后利用阴影部分的面积＝S△COD－S扇形DOE和扇形的面积公式求解．【答案】解：(1)连接OD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，而∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠A＋∠C＝90°，∴∠DOC＋∠C＝90°，∴OD⊥DC，∴AC是⊙O的切线；(2)∵∠A＝60°，∴∠C＝30°，9\n∠DOC＝60°，在Rt△DOC中，OD＝2，∴CD＝OD＝2，∴阴影部分的面积＝S△COD－S扇形DOE＝×2×2－＝2－.【针对训练】8．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2cm，⊙A与BC相切于点D，阴影部分的面积为( B )A．1＋πB．2－C．3－D．4－9．已知：如图，在半径为4的⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，以半径OA，OB的中点C，F为顶点作矩形CDEF，顶点D，E在⊙O的劣弧AB上，OM⊥DE于点M.试求图中阴影部分的面积．解：∵OA＝OB＝4，∴AB＝4，∴CF＝2，∴DM＝.连结OD,在Rt△ODM中，OM2＝16－()2＝14，∴OM＝，∴MN＝－2，∴S阴＝S扇形OAB－S△OAB－S矩PDEQ＝4π－8－2(－2)＝4π－4.9\n,当堂过关检测) 1．(2022咸宁中考)如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为( C )A．πB.πC．2πD．3π,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2022重庆中考)如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是( B )A．2－ B.－C．2－ D.－3．(2022济宁中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1.将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是( A )A.B.C.－D.,(第3题图)) ,(第5题图))4．已知扇形的圆心角是120°，半径6cm，把它围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面圆半径是__2__cm.5．(2022恩施中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC＝2，则图中阴影部分的面积为__3－π__．(结果不取近似值)6.9\n(2022吉林中考)如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，.若AB＝1，则阴影部分图形的周长为__π＋1__.(结果保留π)7．一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1，则这个圆锥形零件的全面积是__5π____．8．(2022枣庄中考)如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为__π__．,(第8题图)) ,(第9题图))9．(2022德州中考)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．⊙O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF＝45°，则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为____．10．(2022苏州中考)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC.若用扇形OAC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是____．,(第10题图)) ,(第11题图))11．(2022济宁中考)如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是____．9
