易错点30抛物线及其性质一、单选题1.以抛物线 ሺ 的焦半径 焦半 为直径的圆与y轴的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.不确定2.设抛物线 香的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆 香 ሺ交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则 ܣ ȁ 的最小值为A. B. C.香 D.香 3.已知P为抛物线 香 上一个动点，Q为圆 香 香上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是A.4B.3C.2D.1 ܣ半 4.抛物线 香的焦点为F，点ܣ , 为该抛物线上的动点，又点 香,ሺ ，则的最 ܣ 小值是香 A.B.C.D. 5.已知半香,半 分别是椭圆 香 ሺ 的左、右焦点，以半 为焦点的抛物线与椭圆 交于点P，且 ܣ半香半 ，则椭圆的离心率是香 A. 香B. 香C.D. 6.已知抛物线 ሺ ，F为抛物线的焦点，O为坐标原点， 香, 香 , , 为抛物线上的两点， , 的中点到抛物线准线的距离为5， 䁞的重心为F，则 A.1B.2C.3D.47.已知抛物线 香的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于焦,〶两点，且焦半 〶半，则直线l的斜率为 A. B. C. D. 香8.设抛物线 香的焦点为F，过点ܣ ,ሺ 的直线与抛物线相交于 , 两点，与抛物线 半的准线相交于C，若BF ，则 BCF与 ACF的面积之比 半 A.B.C.D. 二、填空题\n9.设抛物线 px ሺ 的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心， FA 为半径的圆交l于 , 两点，若 ABD ሺ ，且 ABF的面积为 ，则此抛物线的方程为_________．10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 香，直线l过抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB长为8，则直线l的方程为________． 11.若双曲线 香 ሺ, ሺ 的两条渐近线与抛物线 香的准线围成的三角 形面积为2，则双曲线C的离心率为 12.抛物线 ሺ 上的点到直线 的最短距离为 ，则正数p的值为_____________________。三、解答题13.已知抛物线C： ሺ的焦点为F，直线l： 交抛物线C于 , 两点，P是线段AB的中点，过作x轴的垂线交抛物线C于点Q． 香 若 香，且 香〰，求直线l的方程； 若 ，且ȁ ȁ ，求抛物线C的方程．\n14.已知抛物线 ሺ 的焦点为F，准线方程是 香． 香 求此抛物线的方程 设点M在此抛物线上，且 焦半 ，若O为坐标原点，求 䁞半焦的面积．15.如图，已知抛物线C： ሺ 的焦点为半 若焦 , ሺ 为抛物线C上一点，且 焦半 香． 香 求p的值； 已知点 香,ሺ ，延长MF交抛物线C于点N，试判断 焦 半与 〶 半的大小关系．\n已知抛物线E： ሺ ，直线 与E交于A，B两点，且䁞 䁞 ，其中O为坐标原点． 香 求抛物线E的方程； 点C坐标为 ሺ, ，记直线CA，CB的斜率分别为 ， ，证明： 为定香 香 值一、单选题1.以抛物线 ሺ 的焦半径 焦半 为直径的圆与y轴的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.不确定【答案】B 【解析】解：抛物线 ሺ 的焦点F的坐标为 ,ሺ ， 设点M坐标为 香, 香 ， 香 香则以MF为直径的圆的圆心是 , ，香 根据抛物线的定义 焦半 与M到直线 是等距离的， 香 所以MF为直径的圆的半径为，香因此以MF为直径的圆与y轴的位置关系是相切．故选B．2.设抛物线 香的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆 香 ሺ交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则 ܣ ȁ 的最小值为A. B. C.香 D.香 【答案】C【解析】解：因为圆的方程为即为，所以圆心为即为抛物线的焦点且半径，因为，所以，又因为，，\n所以，设，联立，消去y，整理得，所以，所以，取等号时．综上可知：．故选：C．3.已知P为抛物线 香 上一个动点，Q为圆 香 香上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】解：如图所示，抛物线 香 焦点半 ሺ, ，圆 香 香的圆心为 香,ሺ ，半径 香．设P在准线上的射影为R， ܣȁ ܣ ȁ ܣ 香， ܣ ܣ半 ， ܣȁ ܣ ܣ ܣ半 香， ܣ ܣ半 半 ሺ 香 ， ܣȁ ܣ 香 香，当且仅当F，P，Q，S共线且依序排列时取等号， 则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值：香 香 香， 故选D．\n ܣ半 4.抛物线 香的焦点为F，点ܣ , 为该抛物线上的动点，又点 香,ሺ ，则的最 ܣ 小值是香 A.B.C.D. 【答案】B【解析】解：作抛物线 香的准线方程为 香，如图，过P作PN垂直于直线 香于N，由抛物线的定义，可知 ܣ半 ܣ〶 ，ܣ〶在 ܣ 〶中，sin ܣ 〶 ，ܣ ܣ〶ܣ半当 最小时，sin ܣ 〶最小，即 ܣ 〶最小，即 ܣ 半最大，ܣ ܣ 此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为 香 ， 香 联立 ，得 香 ሺ， 香所以 香 香 香 ሺ，解得 香，所以 ܣ 半 ܣ 〶 香 ，\n ܣ半 所以 sin香 ， ܣ min故选B 5.已知半香,半 分别是椭圆 香 ሺ 的左、右焦点，以半 为焦点的抛物线与椭圆 交于点P，且 ܣ半香半 ，则椭圆的离心率是香 A. 香B. 香C.D. 【答案】B【解析】解：由题意，设ܣ半 ，则ܣ半香 ，半香半 㘳，由， 㘳 㘳由余弦定理得， 香㘳 香㘳 ，化简整理得 ， 㘳又设点P的横坐标为ሺ， 则由题意，抛物线方程为 香㘳，与 香 ሺ 联立， 消去y得 香 㘳 ሺ，解得 㘳 ，ሺ 㘳又由题意， ሺ 㘳， 㘳 㘳 㘳 可得 㘳， 㘳 㘳化简整理得， 香 香 ሺ，解得 香，故选B．6.已知抛物线 ሺ ，F为抛物线的焦点，O为坐标原点， 香, 香 , , 为抛物线上的两点， , 的中点到抛物线准线的距离为5， 䁞的重心为F，则 A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】解：由题知抛物线 ሺ 的焦点半,ሺ，准线为 ， 香, 香 , , ，香 香 , 的中点,， 䁞的重心为F，香 ሺ 且 , 的中点在x轴上， \n , 的中点到抛物线准线的距离为5，香 ， 联立 得 香．故选D．7.已知抛物线 香的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于焦,〶两点，且焦半 〶半，则直线l的斜率为 A. B. C. D. 香【答案】B【解析】解：依题意半 香,ሺ ，设直线AB的方程为 䁢 香，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得 香䁢 香 ሺ，设 香, 香 ， , ，所以 香 香䁢， 香 香， 因为 焦半 〶半 ，所以 香 ， 联立 和 ，消去 香， ，得䁢 ，香所以直线AB的斜率是 故选：B．8.设抛物线 香的焦点为F，过点ܣ ,ሺ 的直线与抛物线相交于 , 两点，与抛物线 半的准线相交于C，若BF ，则 BCF与 ACF的面积之比 半 A.B.C.D. 【答案】B【解析】解：如图过B作准线l： 香的垂线，垂足分别为 香， 香，\n 半 ， 半 又 香 ∽ 香 、 香 ， 香由拋物线定义 香 半 ． 香 半 半 由 半 香 知 香， ， ሺ ： ሺ ，即 香代入抛物线方程解得 香， 香，香 半 香 ． 故 半 半 ． 半 半 故选B二、填空题9.设抛物线 px ሺ 的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心， FA 为半径的圆交l于 , 两点，若 ABD ሺ ，且 ABF的面积为 ，则此抛物线的方程为_________．【答案】 〰 【解析】因为以F为圆心， 半 为半径的圆交l于B，D两点， ሺ，由抛物线的定义可得 半 半 ， 半是等边三角形， 半 ሺ． 半的面积为 ， 半 香 半 〰，点F到准线的距离为 半 sin ሺ ，则该抛物线的方程为 〰．10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 香，直线l过抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB长为8，则直线l的方程为________．【答案】 香或 香【解析】思路1：由题意知，直线l过 香,ሺ ．当斜率不存在时，直线l为 香，此时 香, ， 香, ， 香，不满足题意．\n当斜率存在时，可设直线l的方程为 香， 香, 香， , ． 香,联立，得 香 整理，得 香 香 ሺ． 香所以香 ． 香又 香 香，所以 香， 解得 香，所以直线l的方程为 香或 香．思路2：由题意知，直线l过点 香,ሺ ，所以设直线l的方程为 䁢 香． 䁢 香,联立 香,得 香䁢 香 ሺ， 香 香䁢， 香 香．所以 香 䁢 香 香香 䁢 香，解得䁢 香．所以直线l的方程为 香或 香． 11.若双曲线 香 ሺ, ሺ 的两条渐近线与抛物线 香的准线围成的三角 形面积为2，则双曲线C的离心率为 【答案】 【解析】解： 香的准线方程为l： 香， 双曲线 香 ሺ, ሺ 的两条渐近线分别为： ， ， 双曲线 香 ሺ, ሺ 的两条渐近线与抛物线 香的准线相交于A，B两点， 䁞 的面积为2，\n香 香 ， 香, ， 香, ， ，即 ， 㘳 香 ，㘳 ． 故答案为 ．12.抛物线 ሺ 上的点到直线 的最短距离为 ，则正数p的值为_____________________。【答案】6 【解析】解：设抛物线 ሺ 上的点坐标为 , ， 则由点A到直线 的距离公式可得： 香 ，解之得 〰，故答案为6．三、解答题13.已知抛物线C： ሺ的焦点为F，直线l： 交抛物线C于 , 两点，P是线段AB的中点，过作x轴的垂线交抛物线C于点Q． 香 若 香，且 香〰，求直线l的方程；\n 若 ，且ȁ ȁ ，求抛物线C的方程．【答案】【解答】 香 解： 香 抛物线 香 ，由得 香 香〰 ሺ， 故 香 〰香 〰香 香香 香〰，解得 香，故直线l的方程为 ሺ或 ሺ． 直线 ，由得 香 香 ሺ， 香 香 设 香,, ,，从而ܣ ,，故ȁ , ， 香 香 ȁ 香 , ，ȁ , ， 因ȁ ȁ ，故ȁ ȁ ሺ， 香 所以香 ሺ， 整理得 香 香 香 香 香 香 ሺ，而香 香 ，香 香 ，从而香 香 ሺ，香解得 香 舎 或 ．香 香所以抛物线的方程为 ． 14.已知抛物线 ሺ 的焦点为F，准线方程是 香． 香 求此抛物线的方程 设点M在此抛物线上，且 焦半 ，若O为坐标原点，求 䁞半焦的面积．【答案】解： 香 因为抛物线的准线方程为 香， 所以 香，得 ， 所以抛物线的方程为 香． 设焦 ሺ, ሺ ，因为点焦 ሺ, ሺ 在抛物线上，且 焦半 ， 由抛物线的定义，知 焦半 ሺ ，得ሺ ． \n将 , ሺ 代入方程 香，得 ሺ ，香香所以 䁞半焦的面积为 䁞半 ሺ 香 ． 15.如图，已知抛物线C： ሺ 的焦点为半 若焦 , ሺ 为抛物线C上一点，且 焦半 香． 香 求p的值； 已知点 香,ሺ ，延长MF交抛物线C于点N，试判断 焦 半与 〶 半的大小关系． 【答案】解： 香 根据抛物线的定义有 焦半 香，解得 ； 由 香 知抛物线C的方程为 香，点焦 , ，半 香,ሺ ， 直线MF的方程是 香 ． 香 , 由 香ሺ ሺ, 香香解得香 或 ， 香 点〶, ， 又点 香,ሺ ， ሺ ሺ 焦 ， 〶 香 ， 香 香 tan 焦 半 tan 〶 半，又 焦 半， 〶 半 ሺ, ，\n 焦 半 〶 半．16.已知抛物线E： ሺ ，直线 与E交于A，B两点，且䁞 䁞 ，其中O为坐标原点． 香 求抛物线E的方程； 点C坐标为 ሺ, ，记直线CA，CB的斜率分别为 ， ，证明： 香 香 为定值．【答案】 香 解：设 香, 香 ， , ， 由，整理得 香 ሺ， 其中 香 香〰 ሺ，则香 ,香 香 ，香 䁞 䁞 香 香 香 香 香， 香由题知， 香 香 ，解得 ， 抛物线E的方程为 ． 证明：由 香 知，香 ,香 ， 香 香 香 香 香 香 ，香香香同理 香，所以 香 香〰香 香 香 香
